2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式檢測(cè)試題 新人教A版必修5

3、 解析:法一　由a>b>0?0<b+,故選C. 法二　(特值法)令a=2,b=1,排除A,B,D,故選C. 5.若f(x)=的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　C　) (A){k|01} (C){k|0≤k≤1} (D){k|k>1} 解析:①當(dāng)k=0時(shí),8>0成立, ②當(dāng)k≠0時(shí),只需? 解得0

4、根是 x1=-4a,x2=5a, 則由關(guān)于x的不等式x2-ax-20a2<0的任意兩個(gè)解的差不超過9, 得|x1-x2|=|9a|≤9, 即-1≤a≤1. 故a的最大值與最小值的和為1+(-1)=0.故選C. 7.已知+=1(x>0,y>0),則x+y的最小值為(　D　) (A)12 (B)14 (C)16 (D)18 解析:x+y=(+)(x+y)=2+8++≥10+2=18,當(dāng)且僅當(dāng)x=6,y=12時(shí),取等號(hào).故選D. 8.若變量x,y滿足約束條件則z=2x+3y的最大值為(　B　) (A)2 (B)5 (C)8 (D)10 解析: 約束條件表示的可行域如圖陰影部分所示

5、,而z=2x+3y可變形為y=-x+,表示直線y=-x+在y軸上的截距,由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(4,-1)時(shí)z取最大值,最大值為z=2×4+3×(-1)=5.故選B. 9.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件,則平均倉儲(chǔ)時(shí)間為天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品(　B　) (A)60件 (B)80件 (C)100件 (D)120件 解析:設(shè)每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為y元,由題意得 y=+≥2=20, 當(dāng)且僅當(dāng)=(x>0),即x=80時(shí),等號(hào)成立. 故選B. 10.設(shè)x,y滿足約束條

6、件若z=x+y的最大值為6,則的最大值為(　C　) (A) (B)2 (C)4 (D)5 解析: 作出x,y滿足約束條件 表示的平面區(qū)域,由 解得A(,a),直線z=x+y,經(jīng)過交點(diǎn)A時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值6,可得+a=6.解得a=4.則=的幾何意義是可行域的點(diǎn)與(-4,0)連線的斜率,由可行域可知(-4,0)與B連線的斜率最大,由可得B(-3, 4),則的最大值為4.故選C. 11.若不等式x2+ax+1≥0對(duì)一切x∈(0,]都成立,則a的最小值為(　D　) (A)0 (B)-2 (C)-3 (D)- 解析:由對(duì)一切x∈(0,],不等式x2+ax+1≥0都成立,

7、 所以ax≥-x2-1, 即a≥-x-. 設(shè)g(x)=-x-,只需a≥g(x)max, 而g(x)=-x-在x∈(0,]上是增函數(shù), 所以g(x)=-x-的最大值是g()=-. 故選D. 12.設(shè)變量x,y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為40,則+的最小值為(　B　) (A) (B) (C)1 (D)4 解析: 作出可行域如圖陰影部分所示(不包括坐標(biāo)軸邊界上的點(diǎn)). 由z=ax+by得y=-x+z.因?yàn)閍>0,b>0,所以-<0,作直線l0:y=-x并向上平移,數(shù)形結(jié)合知,當(dāng)l0平移至過點(diǎn)A時(shí)z取得最大值.由得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8,10), 即z

8、max=8a+10b=40,得+=1,于是+=(+)(+)=+(+)≥+2=(當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取“=”). 所以(+)min=.故選B. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13.已知a,b,x,y∈(0,+∞),且+=1,x2+y2=8,則ab與xy的大小關(guān)系為　　　　.? 解析:因?yàn)?=+≥2=, 所以ab≥4. 因?yàn)?=x2+y2≥2xy,所以xy≤4. 所以ab≥4≥xy. 答案:ab≥xy 14.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形及其內(nèi)部,則a的取值范圍是　　　　.? 解析: 作出可行域如圖所示,由題意可知當(dāng)直線x+y=a經(jīng)過點(diǎn)A(,)時(shí),a=,

9、滿足條件,當(dāng)a>時(shí)滿足條件,當(dāng)直線x+y=a經(jīng)過點(diǎn)B(1,0)時(shí), a=1,所以當(dāng)00的解集為　　　　.? 解析:由題意得方程x2-ax+b=0的兩根為2,3. 所以a=5,b=6,所以不等式bx2-ax-1>0可化為6x2-5x-1>0,即(x-1)(6x+1)>0, 所以x<-或x>1. 答案:(-∞,-)∪(1,+∞) 16.已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-ab+4b2-c=0,當(dāng)取最小值時(shí),a+b-

10、c的最大值為　　　　.? 解析:正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-ab+4b2-c=0,可得c=a2-ab+4b2,==+-1≥2-1=3.當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí),取得等號(hào),則a=2b時(shí),取得最小值,且c=6b2,所以a+b-c=2b+b-6b2=-6b2+3b=-6(b-)2+,當(dāng)b=時(shí),a+b-c有最大值為. 答案: 三、解答題(本大題共6小題,共70分) 17.(本小題滿分10分) 若a,b,c都是正數(shù),且a+b+c=1, 求證:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc. 證明:因?yàn)閍,b,c都是正數(shù),且a+b+c=1, 所以(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+

11、b)≥2·2·2=8abc. 18.(本小題滿分12分) 已知f(x)=x2-(a+)x+1. (1)當(dāng)a=時(shí),解不等式f(x)≤0; (2)若a>0,解關(guān)于x的不等式f(x)≤0. 解:(1)當(dāng)a=時(shí),有不等式f(x)=x2-x+1≤0, 所以(x-)(x-2)≤0,所以≤x≤2, 即所求不等式的解集為[,2]. (2)因?yàn)閒(x)=(x-)(x-a)≤0,a>0,且方程(x-)(x-a)=0的兩根為x1=a,x2=, 所以當(dāng)>a,即01時(shí),不等式的解集為[,a]; 當(dāng)=a,即a=1時(shí),不等式的解集為{1}. 19.

12、(本小題滿分12分) 已知lg(3x)+lg y=lg(x+y+1). (1)求xy的最小值; (2)求x+y的最小值. 解:由lg(3x)+lg y=lg(x+y+1), 得 (1)因?yàn)閤>0,y>0,所以3xy=x+y+1≥2+1. 所以3xy-2-1≥0. 即3()2-2-1≥0. 所以(3+1)(-1)≥0. 所以≥1,所以xy≥1. 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí),等號(hào)成立. 所以xy的最小值為1. (2)因?yàn)閤>0,y>0, 所以x+y+1=3xy≤3·()2. 所以3(x+y)2-4(x+y)-4≥0. 所以[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0.所以x

13、+y≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào).所以x+y的最小值為2. 20.(本小題滿分12分) 某糖果廠生產(chǎn)A,B兩種糖果,A種糖果每箱可獲利潤(rùn) 40元,B種糖果每箱可獲利潤(rùn)50元.其生產(chǎn)過程分混合、烹調(diào)、包裝三道工序.下表為每箱糖果生產(chǎn)過程中所需平均時(shí)間(單位:min). 混合 烹調(diào) 包裝 A 1 5 3 B 2 4 1 每種糖果的生產(chǎn)過程中,混合的設(shè)備至多用機(jī)器12 h,烹調(diào)的設(shè)備最多只能用機(jī)器30 h,包裝的設(shè)備最多只能用機(jī)器15 h,每種糖果各生產(chǎn)多少箱可獲得最大利潤(rùn)? 解:設(shè)生產(chǎn)A種糖果x箱,生產(chǎn)B種糖果y箱,可獲利潤(rùn)為z元,即求z=40x+50y在

14、約束條件下的最大值. 作出可行域,如圖, 作直線l0:40x+50y=0,平移l0,經(jīng)過點(diǎn)P時(shí),z=40x+50y取最大值. 解方程組 得點(diǎn)P坐標(biāo)為(120,300). 所以zmax=40×120+50×300=19 800. 所以生產(chǎn)A種糖果120箱,生產(chǎn)B種糖果300箱時(shí),可以獲得最大利潤(rùn)19 800元. 21.(本小題滿分12分) 設(shè)函數(shù)f(x)=x2-1,對(duì)任意x∈[,+∞),f()-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解:因?yàn)閒(x)=x2-1,f()-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)對(duì)x∈[,+∞)恒成立,即-1-4m

15、2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)對(duì)x∈[,+∞)恒成立. 所以-4m2-1≤對(duì)x∈[,+∞)恒成立.令g(x)=,則g(x)=--= -3(+) =-3(+)2+. 因?yàn)閤≥,所以0<≤, 所以當(dāng)=時(shí),g(x)min=-, 所以-4m2-1≤-,整理得12m4-5m2-3≥0, (3m2+1)(4m2-3)≥0,4m2-3≥0, 解得m≥或m≤-. 故m的取值范圍為(-∞,-]∪[,+∞). 22.(本小題滿分12分) 某投資商到一開發(fā)區(qū)投資72萬元建起一座蔬菜加工廠,經(jīng)營(yíng)中,第一年支出12萬元,以后每年支出增加4萬元,從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元,

16、設(shè)f(n)表示前n年的純利潤(rùn)總和(f(n)=前n年總收入-前n年的總支出-投資額72萬元). (1)該廠從第幾年開始盈利? (2)該廠前幾年平均純利潤(rùn)達(dá)到最大?并求出年平均純利潤(rùn)的最大值. 解:(1)依題意,根據(jù)f(n)=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額72萬元, 可得f(n)=50n-[12n+×4]-72 =-2n2+40n-72, 由f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得2