2019-2020年高三數(shù)學(xué)《直線和圓的方程》復(fù)習(xí)教案 新人教A版

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1、2019-2020年高三數(shù)學(xué)《直線和圓的方程》復(fù)習(xí)教案新人教A版 一、本講進度 《直線和圓的方程》復(fù)習(xí) 二、本講主要內(nèi)容 1、直線方程的五種表現(xiàn)形式，如何求直線方程；二元一次不等式的幾何意義及運用。 2、圓的方程三種形式，如何求圓的方程。 3、直線和圓位置關(guān)系的研究。 三、復(fù)習(xí)指導(dǎo) 1、曲線和方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的兩種常見研究對象。借助于平面直角坐標(biāo)系，形和數(shù)可以得到高度的統(tǒng)一，它們最基本的對應(yīng)關(guān)系是點和有序數(shù)對的一一對應(yīng)。當(dāng)點運動形成軌跡時，對應(yīng)坐標(biāo)便會滿足一個方程。當(dāng)曲線C和方程F（x,y）=0滿足如下關(guān)系時：①曲線C上點的坐標(biāo)都是方程F（x，y）=0的解；②以方程F（x，y）=

2、0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上，則稱曲線C為方程F（x，y）=0表示的曲線；方程F（x，y）=0是曲線C表示的方程。從集合角度看，點集（曲線）與方程解集相等。解析幾何研究的內(nèi)容就是給定曲線C,如何求出它所對應(yīng)的方程，并根據(jù)方程的理論研究曲線的幾何性質(zhì)。其特征是以數(shù)解形。坐標(biāo)法是幾何問題代數(shù)化的重要方法。 2、直線的傾斜角a和斜率k是描述直線位置的重要參數(shù)，它們之間關(guān)系是正切函數(shù)關(guān)系：k=tana，a丘［0,,當(dāng)a=時，直線斜率不存在，否則由a求出唯一的k與之對應(yīng)。 當(dāng)已知k,求傾斜角a時：k三0時，a二arctank；k<0時，a=n+arctank?；颍簁=0時，a=0；kM0時，cota

3、=,a=arccot。 由正切函數(shù)可知，當(dāng)ae（0,），a遞增時，斜率k—+s。當(dāng)a￡（，n），a遞減時，斜率k—-8。 當(dāng)涉及到斜率參數(shù)時，通常對k是否存在分類討論。 3、直線是平面幾何的基本圖形，它與方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2工0）——對應(yīng)。 從幾何條件看，已知直線上一點及直線方向與已知直線上兩點均可確定直線；從對應(yīng)方程看，直線方程兩種典型形式：點斜式（斜截式），兩點式（截距式），因此求直線方程，常用待定系數(shù)法。即根據(jù)題意，選擇方程的適當(dāng)形式；由已知條件，列關(guān)于參數(shù)的方程（組）。 當(dāng)點P（x0，y/在直線Ax+By+C=0上時，其坐標(biāo)滿足方程Ax0+By0

4、+C=0；當(dāng)P不在直線Ax+By+C=0上時，AXo+By°+CM0,即A^+By+00或Ax+By+C<0。這就是二元一次不等式的幾何意義：二元一次不等式Ax+By+C>0（或〈0）表示直線Ax+By+C=0上方或下方區(qū)域，其具體位置的確定常用原點（0，0）代入檢驗。利用此幾何意義，可以解決一類二元函數(shù)的最值問題。這就是線性規(guī)劃的內(nèi)容。 因直線與二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2工0）——對應(yīng)，即由有序數(shù)組（A,B,C）確定,因此研究直線與直線之間的位置關(guān)系就是考察直線對應(yīng)的數(shù)組間關(guān)系。 設(shè)直線：Ax+By+C=0（A2+B2^0）,直線：Ax+By+C=0（A2+B2^0）

5、111111222222 貝y：〃 12 與相交ABMAB 121221 其夾角公式為，其中k1,k2分別表示］及2斜率，當(dāng)］或2斜率不存在時，畫圖通過三角形求解，］與2夾角為e丘（0,］ 特例：］丄2A1A2+B1B2=0（此時不能用夾角公式求解） 利用點P（x0,y0）到直線：Ax+By+C=O的距離公式宀=可以求出兩平行直線：Ax+By+CjO,Ax+By+C=0（CMC）間的距離d=。 212 4、當(dāng)直線位置不確定時，直線對應(yīng)的方程中含有參數(shù)。含參數(shù)方程中有兩種特殊情形，它們的對應(yīng)的直線是有規(guī)律的，即旋轉(zhuǎn)直線系和平行直線系。 在點斜式方程y-y0=k（x-x0）中，

6、當(dāng)（x。，y。）確定，k變化時，該方程表示過定點（x0，y。）的旋轉(zhuǎn)直線系，當(dāng)k確定，（x0，y0）變化時，該方程表示平行直線系。 這些直線系還有其它表示形式： （1）已知直線：Ax+By+C=0，則 方程Ax+By+m=0（m為參數(shù)）表示與平行的直線系；方程-Bx+Ay+n=O（n為參數(shù)）表示與垂直的直線系。 （2）已知直線:Ax+By+C=0,直線:Ax+By+C=0，則方程Ax+By+C+入（Ax+By+C）=0 111=12222111222表示過］與2交點的直線系（不含2） 掌握含參數(shù)方程的幾何意義是某種直線系，不僅可以加深數(shù)形結(jié)合的思想，還可以優(yōu)化解題思想。 5、圓與

7、二元二次方程一一對應(yīng)，這些二元二次方程方程特征為：（1）二次項中無xy交叉項；（2）x2,y2項前面系數(shù)相等；（3）x，y的一次項系數(shù)D，E及常數(shù)項F滿足D2+E2-4F〉0。 圓方程常見形式：（1）標(biāo)準(zhǔn)式：（x-a）2+（y-b）2=R2（R〉0）,其中（a,b）為圓心，R為半徑；（2）—般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0；（3）參數(shù)式：（x-a）2+（y-b）2=R2（R〉0）的參數(shù)式為：x=a+Rcose,y=b+Rsine，其中e為參數(shù)，表示旋轉(zhuǎn)角，參數(shù)式常用來表示圓周上的點。 求圓方程的原理與求直線方程完全類似。 直線和圓位置關(guān)系及圓和圓位置關(guān)系常借助于平面幾何知識，而不采用

8、方程組理論（厶法）。 6、對稱是平面幾何的基本變換。在掌握點關(guān)于點及直線對稱的基礎(chǔ)上，理解曲線與曲線之間的中心對稱及軸對稱。善于利用對稱的知識解題。 7、本章主要思想方法：數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)與方程，等價變換等。 四、典型例題 例1、已知定點P（6,4）與定直線1：y=4x,過P點的直線與］交于第一象限Q點，與x軸正半軸交于點M,求使△0QM面積最小的直線方程。 解題思路分析： 直線是過點P的旋轉(zhuǎn)直線，因此是選其斜率k作為參數(shù)，還是選擇點Q（還是M）作為參數(shù)是本題關(guān)鍵。 通過比較可以發(fā)現(xiàn)，選k作為參數(shù)，運算量稍大，因此選用點參數(shù)。 設(shè)Q(x，4x)，M(m，0)00 TQ

9、,P,M共線 k=k PQPM ?? 解之得： Tx>0，m>0 0 .x-1>0 0 110x2 ..S=IOM14x=2mx=iAOMQ200x_1 0 令x°T二t,則t>0 c10(t+1)21 S==10(t+-+2)240 tt 當(dāng)且僅當(dāng)t=1，x0=11時，等號成立 此時Q(11,44),直線：x+y-10=0 評注：本題通過引入?yún)?shù)，建立了關(guān)于目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，再由基本不等式再 △OQM 此目標(biāo)函數(shù)的最值。要學(xué)會選擇適當(dāng)參數(shù)，在解析幾何中，斜率k,截距b角度0,點的坐標(biāo)都是常用參數(shù)，特別是點參數(shù)。 例2、已知△ABC中，A(2,-1

10、),B(4,3),C(3,-2),求: 1)BC邊上的高所在直線方程；(2)AB邊中垂線方程； (3) ZA平分線所在直線方程。解題思路分析： (1) Tk=5 BC .BC邊上的高AD所在直線斜率k=.AD所在直線方程y+1=(x-2)即x+5y+3=0 (2) TAB中點為(3，1)，k=2 AB .AB中垂線方程為x+2y-5=0 (3) 設(shè)ZA平分線為AE,斜率為k,則直線AC到AE的角等于AE到AB的角。 Tk=-1，k=2 ACAB .k2+6k-1=0 k=_3-(舍),k=_3+ ???AE所在直線方程為(-3)x-y-2+5=0 評注：在求角A平

11、分線時，必須結(jié)合圖形對斜率k進行取舍。一般地涉及到角平分線這類問題時，都要對兩解進行取舍。也可用軌跡思想求AE所在直線方程，設(shè)P(x,y)為直線AE上任一點，則P到AB、AC距離相等，得，化簡即可。還可注意到，AB與AC關(guān)于AE對稱。 例3、(1)求經(jīng)過點A(5，2)，B(3，2)，圓心在直線2x-y-3=0上圓方程； (2)設(shè)圓上的點A(2,3)關(guān)于直線x+2y=0的對稱點仍在這個圓上，且與直線x-y+l=O相交的弦長為，求圓方程。 解題思路分析：研究圓的問題，既要理解代數(shù)方法，熟練運用解方程思想，又要重視幾何性質(zhì)及定義的運用，以降低運算量?？傊?，要數(shù)形結(jié)合，拓寬解題思路。 (1)法

12、一：從數(shù)的角度 若選用標(biāo)準(zhǔn)式：設(shè)圓心P(x,y),則由丨PA|=|PB|得：(X0-5)2+(y0-2)2=(X0-3)2+(y0-2)2又2x-y-3=0 00 兩方程聯(lián)立得：,|PA|= ?°?圓標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+(y-5)2=10 若選用一般式：設(shè)圓方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，則圓心() 52+22+5D+2E+F=0 ???卜+22+3D+2E+F=0 DF 2x(--)-(--)-3=0〔22 ‘D=-8 解之得：＜E=-10 F=31 法二：從形的角度 AB為圓的弦，由平幾知識知，圓心P應(yīng)在AB中垂線x=4上，則由得圓心P(4,5) ?

13、半徑r=|PA|= 顯然，充分利用平幾知識明顯降低了計算量 (2)設(shè)A關(guān)于直線x+2y=0的對稱點為A' 由已知AA'為圓的弦 AA'對稱軸x+2y=0過圓心 設(shè)圓心P(-2a，a)，半徑為R 則R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2 又弦長， ? ? ? 4(a+1)2+(a-3)2=2+ ? a=-7或a=-3 當(dāng)a=-7時，R二；當(dāng)a=-3時，R= 所求圓方程為(x-6”+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244 例4、已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(l-4m2)y+16m4+9=0表示一個圓，(1)求實數(shù)m取值范圍;(2)求圓半徑

14、r取值范圍；(3)求圓心軌跡方程。 解題思路分析： (1)m滿足[-2(m+3)]2+[2(l-4m2)]2-4(16m4+9)〉0,即7m2-6m-l〈0 (3)半徑r=丫'一7m2+6m+1=■-7(m——)2H 77 ???時， ???O〈rW (3)設(shè)圓心P(x,y),則消去m得：y=4(x-3)2-1又 ???所求軌跡方程為(x-3)2=(y+1)() 例5、如圖，過圓0：x2+y2=4與y軸正半軸交點A作此圓的切線，M為上任一點，過 M作圓0的另一條切線，切點為Q,求AMAQ垂心P的軌跡方程。 解題思路分析： 從尋找點P滿足的幾何條件著手，著眼于平幾知識的運

15、用。 連OQ,則由OQ丄MQ,AP丄MQ得OQ〃AP同理，OA〃PQ 又OA=OQ ? OAPQ為菱形 ? |PA|=|OA|=2 設(shè)P(x，y)，Q(x0，y0)，則 又x2+y2=4 00 x2+(y—2”=4(xMO) 評注：一般說來，當(dāng)涉及到圓的切線時，總考慮過焦點的弦與切線的垂直關(guān)系；涉及到 圓的弦時，常取弦的中點，考慮圓心、弦的中點、弦的端點組成的直角三角形。六、同步練習(xí) (一) 選擇題 1、若直線(m2-1)x-y+1-2m=0不過第一象限，則實數(shù)m取值范圍是 A、-1〈mWB、WmW1C、

16、1=0的夾角為，則m值為 A、或-3B、-3或C、-3或3D、或3 3、點P在直線x+y-4=0上,O為原點，則|OP|的最小值是 A、2B、C、D、 4、過點A(1，4)，且橫縱截距的絕對值相等的直線共有 A、1條B、2條C、3條D、4條 5、圓x2+y2-4x+2y+C=0與y軸交于A、B兩點，圓心為P,若ZAPB=90。，則C的值是 A、-3B、3C、D、8 6、若圓(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有兩個點到直線4x-3y-2=0距離等于1,則半徑r取值范圍是 A、(4，6)B、[4，6)C、(4，6]D、[4，6] 7、將直線x+y-1=0繞點(1,0)順時

17、針旋轉(zhuǎn)后，再向上平移一個單位，此時恰與圓x2+(y-1)2=R2相切，則正數(shù)R等于 A、B、C、1D、 8、方程x2+y2+2ax-2ay=0所表示的圓 A、關(guān)于x軸對稱B、關(guān)于y軸對稱 C、關(guān)于直線x-y=0對稱D、關(guān)于直線x+y=0對稱 (二) 填空題 9、直線ax+by+c=0與直線dx+ey+c=0的交點為(3,-2)，則過點(a,b)，(d,e)的直 線方程是。 10、已知{(x,y)|(m+3)x+y=3m-4}A{(x,y)|7x+(5-m)y-8=0}=?，則直線(m+3)x+y二 3m+4與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是。 ‘3x+8y+15>0 11、已知x

18、,y滿足<5x+3y-6<0，則x-y的最大值為，最小值為。 2x—5y+10>0 12、過點A(2,1),且在坐標(biāo)軸截距相等的直線方程是。 13、已知圓：(x-1)2+y2=1,作弦0A,則OA中點的軌跡方程是。 (三) 解答題 14、已知y=2x是厶ABC中ZC平分線所在直線方程，A(-4,2),B(3,1),求點C坐標(biāo)，并判斷△ABC形狀。 15、已知n條直線：x-y+c=0(i=1,2,…，n),其中C=,C

19、+C=0與x-y+C=0與x軸、y軸圍成的圖形面積。 n-1n 16、已知與曲線C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線交x、y軸于A、B兩點,O為原點,|OA|=a, |OB|=b,a>2,b>2,(1)求證：(a-2)(b-2)=2；(2)求線段AB中點的軌跡方程；(3)求△AOB面積的最小值。 17、已知兩圓x2+y2=4和x2+(y-8)2=4(1)若兩圓分別在直線y=x+b兩側(cè)求b取值范圍；(2)求過點A(0,5)且和兩圓都沒有公共點的直線的斜率k的范圍。 18、當(dāng)01，y>1） （3） 17、(1)畫圖3WbW5 (2)k￡() 18、