2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo) 第五十講《生活中的數(shù)學(xué)(三)——鏡子中的世界》教案1 北師大版

《2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo) 第五十講《生活中的數(shù)學(xué)(三)——鏡子中的世界》教案1 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo) 第五十講《生活中的數(shù)學(xué)(三)——鏡子中的世界》教案1 北師大版（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)第五十講《生活中的數(shù)學(xué)（三） ――鏡子中的世界》教案1北師大版 在日常生活中，人們?yōu)榱擞^察自己的服裝儀表是否整潔漂亮，常常要照鏡子.如果鏡面是很平的，那么在鏡子中，人或物體與其像是完全一樣的.而且我們都有這樣的經(jīng)驗(yàn)：當(dāng)人走近鏡面，人在鏡中的像也走進(jìn)鏡面；當(dāng)人遠(yuǎn)離鏡面，人在鏡中的像也遠(yuǎn)離鏡面.如果你留心的話，就可以發(fā)現(xiàn)：人和像與鏡面的距離保持相等（圖2-155），這種現(xiàn)象叫作面對(duì)稱.如果我們只取一個(gè)側(cè)面，那么鏡面就可用一條直線來(lái)表示，人和人在鏡中的像可用一個(gè)平面圖形來(lái)表示，這樣，人、像與鏡就成了軸對(duì)稱，也叫直線對(duì)稱（圖2-155）. 如果實(shí)物是△

2、ABC,那么它在鏡中的像就成了圖形AA，BzC'.直線l表示鏡, 這時(shí)稱lABC和AA，BzC'的對(duì)稱軸（圖2-156）?圖中，A與A‘，B與Bz,C 與C'是對(duì)稱點(diǎn).以對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)所連結(jié)的線段AA，，BB，，CC，被對(duì)稱軸l垂直平分，因此，如果以直線l為折痕，把AABC翻折過(guò)來(lái)，它必與AA，B，C，重合，所以成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形必全等. 例1設(shè)圖形ABCDEF是半個(gè)蝴蝶形（圖2-157（a）），試以直線l為對(duì)稱軸，畫(huà)出整個(gè)蝴蝶來(lái). 11 (a) EJQE (b) 圖Z-157 解為了畫(huà)出整個(gè)蝴蝶，只需要畫(huà)出圖形ABCDEF關(guān)于直線l的軸對(duì)稱圖形就可以了.因?yàn)锳

3、點(diǎn)、F點(diǎn)在直線l上,所以它們的對(duì)稱點(diǎn)分別和A，F(xiàn)是同一點(diǎn)，這樣,只要畫(huà)出B，C，D，E關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)就行了.為此，先分別過(guò)B,C,D,E向l作垂線，設(shè)垂足分別為M,N,P,Q,然后在BM,CN,DP,EQ的延長(zhǎng)線上取B‘，C',D'和E'點(diǎn)，使得BzM=MB,CzN=NC,DzP=PD,EzQ=QE,最后連結(jié)AB',B‘C‘，CzD',D'E',E'F,于是就得到完整的蝴蝶形ABCDEFE'D'CB‘了(圖2-157(b)). 例2設(shè)直線L和直線l2平行，且L和l2間的距離為a.如果線段AB在l』勺右側(cè)，并設(shè)AB關(guān)于l；的對(duì)稱圖形是A'B'',而A'B'關(guān)于l2的對(duì)稱圖形是A〃B；(圖2-1

4、58)，那么，線段AB和A〃B〃有什么關(guān)系？" 簽2-158 解因?yàn)長(zhǎng)平行于l2，并且AA'A〃垂直于-當(dāng)然也垂直于打，同理BB'B〃也垂直于l和l.我們知道：“在平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”, 12 所以 AA'A〃〃BB'B〃.① 另一方面，因?yàn)锳P=PA',A'P'=P'A〃，所以 AA'A〃=2PP'=2a, 同理BB'B〃=2a，所以 AA'A〃=BB'B〃.② 由①，②可知，ABB-A卩為平行四邊舷所以a-B擰全血E. 通過(guò)例2,我們可知，如果在平面上兩條直線互相平行，有一個(gè)圖形以這兩條直線 為對(duì)稱軸，連續(xù)作了兩次軸對(duì)稱移動(dòng)，那么相當(dāng)于

5、這個(gè)圖形作了一次平行移動(dòng)，平行移動(dòng)的距離剛好是這兩個(gè)對(duì)稱軸間距離的2倍. 如果我們反復(fù)利用例2的原理，就可以做成帶形的花邊圖案.例如，我們把一張等寬的長(zhǎng)紙條像圖2-159那樣折疊起來(lái)，并在上面用小刀刻出一個(gè)三角形的洞，然后再展開(kāi)這張紙條，就會(huì)得到如圖2-160那樣的帶形圖案. I丨丨丨丨iIfa 翦S-159 如果我們把圖2-160中的m2,mi，mo,巴，巴，巴看成鏡子，Ao看作實(shí)物，那么A1，A2和A-1，A-2就是A0在鏡子中的像了?其實(shí)，圖中的A1是Ao以mo為對(duì)稱軸作對(duì)稱移動(dòng)的對(duì)稱圖形，也可以把A看作是A作一次平行移到所得到的圖形.由此，怎樣看待A1和A?的關(guān)系以及A2和Ao

6、的關(guān)系呢？請(qǐng)同學(xué)們自己乍出回答. 有了上面的知識(shí)，同學(xué)們不僅可以自己設(shè)計(jì)一些帶形花邊圖案，還可以了解某些廣告上畫(huà)的花邊圖案的原理了.下面的圖2-161和圖2-162是兩個(gè)帶形圖案，你能看出它們是怎樣設(shè)計(jì)的嗎？ 圖2-161 圖2-162 如果我們把前面圖2-160中的m,m,m,m,m等看作平行的鏡子，A看作一 210-1-20 個(gè)人，如果這個(gè)人在鏡子中m和IQ］之間反復(fù)映照，那么就會(huì)看到圖2-163的情況. m3叫ftiqm-im-2rn-3m-4 九1 % A-! ^-2 A-s ;1

7、 ^]'-2-163 可以想象，在鏡子m中的像A,A,A，…，以及在鏡子m中的像A,A,A，… 01231-1-2-3 是無(wú)限多的.還可以知道：A在鏡m中的像是A，A在鏡m中的像是A，A在鏡 0011-1-2-2 m中的像是A，…如此等等.因?yàn)锳和A，A和A是軸對(duì)稱移動(dòng)，所以A到A是平 03011202 行移動(dòng). 例3設(shè)直線11和直線12相交，交點(diǎn)為0,其夾角為a.如果線段AB關(guān)于1』勺軸對(duì)稱圖形是AzBz，而A’B'關(guān)于l的軸對(duì)稱圖形是A〃B〃.試問(wèn)AB和A〃B〃 2 間有什么關(guān)系？（見(jiàn)圖2-164） 解因?yàn)橐阎狝B關(guān)于11的對(duì)稱圖形是AzBZ

8、,AZB'關(guān)于12的對(duì)稱圖形是A〃 B〃，所以AB=AZBz，AzBz=A〃B〃，所以 AB=A〃B〃，① 0 國(guó)：2—lE4 由于ZA0P=ZAz0P，ZAzOP'=ZA〃OP',所以 ZA0A〃=2ZP0P'=2a. 同理ZB0B〃=2ZP0P'=2a，所以 ZA0A〃=ZB0B〃=2a.② 由①，②可知：在平面上，如果兩條直線相交，一個(gè)圖形以這兩條直線為對(duì)稱軸，連續(xù)作兩次對(duì)稱移動(dòng)，那么相當(dāng)于這個(gè)圖形以這兩條直線的交點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，以這兩條直線的交角的2倍為旋轉(zhuǎn)角，作了一個(gè)旋轉(zhuǎn)移動(dòng)，在旋轉(zhuǎn)移動(dòng)下，圖形的大小不變. 例4同學(xué)們小時(shí)候常常玩萬(wàn)花筒，它是由三塊等寬、等長(zhǎng)

9、的玻璃片圍成的?為什么在萬(wàn)花筒中會(huì)出現(xiàn)美麗奇特的圖案呢？試用前邊的知識(shí)揭開(kāi)萬(wàn)花筒的秘密. 解萬(wàn)花筒中所以能呈現(xiàn)千變?nèi)f化、美麗而奇特的圖案，主要是利用了圖形的對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)原理.為具體說(shuō)明，給出的圖2-165為萬(wàn)花筒中的一個(gè)圖案，它是用一個(gè)小圓、一個(gè)平行四邊形和一段短線在萬(wàn)花筒中連續(xù)反射而成的圖形. 為了清楚地說(shuō)明上圖形成的原理，我們?nèi)〕鰣D形中的一部分（圖2-166）加以分析. 正厶ABO以O(shè)B為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱移動(dòng)，就得到△CB0；ACB0以O(shè)C為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱移動(dòng)，就得到厶CDO.經(jīng)過(guò)這樣兩個(gè)軸對(duì)稱移動(dòng)，實(shí)際上相當(dāng)于△ABO以0為中心，以120°為旋轉(zhuǎn)角，作了一個(gè)旋轉(zhuǎn)移動(dòng)

10、?這樣： 點(diǎn)A-點(diǎn)C,邊A0-邊C0， 點(diǎn)B-點(diǎn)D,邊AB-邊CD， 點(diǎn)0-點(diǎn)0,邊B0-邊D0. 在這樣旋轉(zhuǎn)移動(dòng)下‘△ABO中的平行四邊形、小圓和曲線也跟著旋轉(zhuǎn)了120°.經(jīng)多次反復(fù)，就形成了圖2-165的綺麗景色.如果同學(xué)們有興趣，可以自己在紙上再現(xiàn)萬(wàn)花筒中的世界！ 練習(xí)二十九 1. 設(shè)l和l是兩面平行相對(duì)的鏡子，如果把一個(gè)小球放在l和l之間(圖 1212 2-167)，試問(wèn): 11 A ■*—：=L—* 魁Z—167 (1) 小球A在鏡l1中的像A'在什么位置? (2) 小球A在鏡li中的像A'在鏡l2中的像A〃又在什么位置？分別畫(huà)在圖上；

11、 (3) 小球A和像A〃之間的距離與l和l之間的距離有什么關(guān)系？ 12 2. 圖2-168是萬(wàn)花筒中的一個(gè)圖案，其中菱形FJKG變成菱形FDAC，如果看成經(jīng)過(guò)以F點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角為x的旋轉(zhuǎn)移動(dòng)得到的，那么x等于多少度？請(qǐng)從下面的四個(gè)答案中選出一個(gè)正確的答案來(lái). 圖2^168 (A) 60°； (B) 120°； (0180°； (D)以上答案都不對(duì). 3. 圖2-169是游樂(lè)園中的大型旋轉(zhuǎn)車的簡(jiǎn)圖，游人坐在旋轉(zhuǎn)車的車斗中，任憑旋轉(zhuǎn)車不停地旋轉(zhuǎn)，但總是頭朝上，絕不會(huì)掉下來(lái)?試問(wèn)車斗所作的移動(dòng)是什么移動(dòng)？請(qǐng)?jiān)谙旅娲鸢钢羞x一個(gè)正確的答案. (A)旋轉(zhuǎn)；(B)對(duì)稱； (C) 平移；(D)以上答案都不對(duì). 4. 圖2-170表示一張長(zhǎng)方形球臺(tái)，設(shè)P，Q為兩個(gè)球，若擊P球，使它碰CD邊后，反彈正好擊中Q球.試問(wèn)P應(yīng)碰撞CD邊的哪一點(diǎn)？