內(nèi)蒙古伊圖里河高級中學高三數(shù)學復(fù)習 第一講函數(shù)(理科)

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1、此資料由網(wǎng)絡(luò)收集而來，如有侵權(quán)請告知上傳者立即刪除。資料共分享，我們負責傳遞知識。 第一節(jié) 初等函數(shù) 函數(shù)是高中知識的主干知識，是高中知識的一條主線，它涉及了函數(shù)的概念和性質(zhì)，基本初等函數(shù)，數(shù)列，不等式，方程，導(dǎo)數(shù)，解析幾何和立體幾何等，是歷年高考的重點、熱點和必考點.初等函數(shù)（由基本初等函數(shù)經(jīng)過運算或復(fù)合組成的）是基礎(chǔ). 一般地, 在高考試題中，考察函數(shù)知識都是以初等函數(shù)為載體.單獨以定義域、值域、奇偶性等命題大多是選擇題或填空題，綜合題中涉及函數(shù)性質(zhì)的往往只是試題的一部分. 難度值一般控制在0.5～0.8之間. 考試要求： ①了解映射概念,理解函數(shù)的概念,會選擇適當方法

2、表示函數(shù);②會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；③了解函數(shù)的奇偶性,能判斷簡單函數(shù)的奇偶性；④了解反函數(shù)的概念及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)；⑤理解有理指數(shù)冪的含義,掌握冪的運算(性質(zhì)),掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念,對數(shù)的運算性質(zhì). 題型一 判定初等函數(shù)的性質(zhì) 例1 求函數(shù)的值域. 點拔 函數(shù)是三次函數(shù)與三角函數(shù)復(fù)合函數(shù)而成的，令得，本題 就轉(zhuǎn)化為求，的值域. 三次函數(shù)求值域常用導(dǎo)數(shù)的方法. 解 ,則,∴, 由,得或；由,，得，列表： t 1 0 0 減函數(shù) 有極小值 增函數(shù) 函數(shù)有極小值 又,,∴. 易錯點 ①令，

3、忽略了；②錯誤地認為最值一定在端點處取得. 變式與引申1： （2020江西文第6題） 函數(shù)的值域為（ ） A. B. C. D. 題型二 抽象函數(shù)的性質(zhì) 例2 已知函數(shù)對任意實數(shù)都有，且當時， ，求在上的值域. 點拔 此題是抽象函數(shù)，但是初等函數(shù)中，可以找到一個具體函數(shù)滿足條件，如，由此 猜想抽象函數(shù)在是遞增函數(shù)，再用定義證明遞增.：設(shè)，且，則，再利用判斷與的大小關(guān)系.下面只要求出的值就行. 解 設(shè)，且，則，由條件當時， 又 為增函數(shù)， 令得，再令用得出, 令 得 上的值域為 易錯點 利用性質(zhì)“當時，”

4、證明單調(diào)性，易出錯. 變式與引申2： 設(shè)函數(shù)y=是定義在R上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件： ①對任意正數(shù)有；②當時，；③ . (1)求的值; （2）證明上是減函數(shù). 題型三 函數(shù)奇偶性的判斷 例3 判斷函數(shù)的奇偶性. 點拔 利用定義判斷函數(shù)的奇偶性：第一步：看定義域是否關(guān)于原點對稱:若定義域不關(guān)于原點對稱，則 為非奇偶非函數(shù)；若定義域關(guān)于原點對稱，則進行第二步：驗證與的關(guān)系，若（或）則為偶函數(shù)；若 （或）則為奇函數(shù).當難于得出和 的時候，可以考慮驗證特殊值. 解 當時，為偶函數(shù)； 當時，, ∵,∴；∵,，,∴既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 易錯點 ①用定義判斷奇偶性時

5、，容易漏掉的情況. ②的情況難于得出與的關(guān)系，易出錯. 變式與引申3： 設(shè)為實數(shù)，函數(shù)．討論的奇偶性. 題型四 函數(shù)思想的應(yīng)用 例4 關(guān)于 x的方程有四個不同的解，求的取值范圍. 點拔 此題有多種思考方法：法1： 原方程看作含絕對值的方程，則采用去絕對值的方法，分段討論解一 元二次方程：和.原方程有四個不同的解，等價于有2個不等的正解，且有2個不同的負數(shù)解.問題就轉(zhuǎn)化為兩個一元二次方程根的分布問題. 法2：把原方程看作是關(guān)于的一元二次方程，則令，則原問題等價于有2個不等的正數(shù)解. 法3：采用函數(shù)思想來觀察方程，則可以把原方程變?yōu)椋海瑔栴}等價于函數(shù)和的圖像有四個不同的交點.事實

6、上，我們還有下面各種變形： 解 法1 有四個不同的解等價于有2個不等的正解， 且有2個不同的負數(shù)解. 有2個不等的正解 有2個不同的負數(shù)解 綜上所述：. 法2 令則原問題等價于有2個不等的正數(shù)解. . 法3 在同一直角坐標系內(nèi)畫出直線與曲線的圖像，如圖觀圖可知， 圖 的取值必須滿足,解得. 易錯點 ①作為二次方程分類，運算量大，易出錯; ②易忽略; ③同學們很難將四個不同解等價轉(zhuǎn)化其它問題.. 變式與引申4： (2020山東理)若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是. 本節(jié)主要考查 ①初等函數(shù)的基本性質(zhì)（定義域，值域，奇

7、偶性等）,理解函數(shù)的基本問題是初等函數(shù)問題；②通過變量代換將一般函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)問題解題；③熟練作出初等函數(shù)的圖像利用數(shù)形結(jié)合；④函數(shù)思想. 點評 （1）基本方法：①熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)和圖像；②初等函數(shù)利用變量代換轉(zhuǎn)化為基本初 等函數(shù)； ③求出中間變量的范圍. （2）求定義域的常用方法: 根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)的定義域，利用函數(shù)式有意義，列出不等式組，再解出.函數(shù)式有意義的依據(jù)是： ①分式分母不為；②偶次方根的被開放數(shù)不能小于；③對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于,底數(shù)大于且不等于1； ④終邊在軸上的角的正切沒有意義；⑤沒有意義；⑥復(fù)合函數(shù)的定義域，要保證內(nèi)函數(shù)的值域是外函數(shù)的定義域

8、. （3）求值域的常用方法:①觀察法；②配方法；③導(dǎo)數(shù)法；④不等式法；⑤單調(diào)性法；⑥數(shù)形結(jié)合法； 求定義域 開始 關(guān)于原 點對稱 是 否 輸出“為 非奇非偶函數(shù)” 否 輸出“為 非奇非偶函數(shù)” 輸出“為 奇或偶函數(shù)” 是 結(jié)束 ⑦判別式法；⑧有界性法；⑨換元法. （4）判斷函數(shù)奇偶性的步驟： 習題1—1 1. 函數(shù)的圖象( ). A．關(guān)于原點對稱 B．關(guān)于直線y＝x對稱 C．關(guān)于x軸對稱 D．關(guān)于y軸對稱 2. 已知函數(shù)的值域是,則實數(shù)的取值范圍是____________

9、____． 3. 已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，求的值. 4. 定義在上的函數(shù),,當時,,且對任意的、,有. （1）求證：f(0)=1；（2）求證：對任意的,恒有； 5. 設(shè)函數(shù).試討論關(guān)于的方程:在區(qū)間上的根的個數(shù). 第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)與積分 導(dǎo)數(shù)是高考命題的熱點,也是難點.縱觀近幾年的各省高考試題,導(dǎo)數(shù)的考題分兩個層次. （1）知識性試題 以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，以考查函數(shù)諸多性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)極值理論、單調(diào)性質(zhì)、幾何意義及其應(yīng)用為目標，是高考導(dǎo)數(shù)與函數(shù)交匯試題的顯著特點和命題趨向（其中多項式函數(shù)一般不超過三次，以e為底的對數(shù)函數(shù)較多）. （2）綜合性試題

10、導(dǎo)數(shù)與不等式、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列常是高考壓軸題，同時考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想，尤其是分類討論思想，是近三年來高考命題的熱點.難度值一般控制在之間. 考試要求 ⑴了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景；⑵理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；⑶能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；⑷能用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑸了解函數(shù)在某點取得極值的充分條件和必要條件,會求極大值、極小值及閉區(qū)間上的最值；⑹會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題；（7）了解定積分的實際思想、基本思想及概念，了解微積分基本定理. 題型一 導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值理論及單調(diào)性質(zhì)等 例題1 給定兩個函數(shù)解決下列問題： （I）若在處取得極大

11、值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若在區(qū)間為增函數(shù)，求的取值范圍； （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若關(guān)于的方程有三個不同的根，求的取值范圍. 點拔:第（I）小題在處取得極大值，即知，能解決函數(shù)所含參數(shù)，進而求單調(diào)區(qū)間.第（Ⅱ）小題是運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的逆向問題,即求導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值在區(qū)間上恒大于,進而轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立求函數(shù)最值.第（Ⅲ）小題可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與軸有三個不同的交點,通過導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性與極值,利用數(shù)形結(jié)合求解. 解:（I）因為在處取得極值,所以.故.所以.易知函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是;單調(diào)遞減區(qū)間是. （Ⅱ）由題意可知,因為在區(qū)間（2，+）為增函數(shù),所以在區(qū)間上恒成

12、立,即恒成立.由于,所以,故. （Ⅲ）設(shè)故 .令，得，由（Ⅱ）知. ①當時，，在上是單調(diào)遞增，顯然不合題意. ②當時,隨的變化情況如下表： 1 + 0 — 0 + 極大值 極小值 欲使方程有三個不同的根，即函數(shù)與軸有三個不同的交點，則有，解得. 綜上，的取值范圍是. 易錯點:①本題中在不同區(qū)間單調(diào)時用“和”,而不能用“”連接.②恒成立問題分離 變量易錯求是.③通過導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性與極值,并利用數(shù)形結(jié)合求 解,學生難以掌握. 圖1-2-1 變式與延申1： (2020江西考試大綱調(diào)研卷七第21題)函數(shù)的圖象如圖所示

13、. ⑴若函數(shù)在處的切線方程為 ⑵求函數(shù)的解析式；在（1）條件下，是否存在實數(shù)，使得的圖 象與的圖象有且只有在三個不同的交點？若存在，求出 的取值范圍；若不存在，請說明理由. 題型二 導(dǎo)數(shù)與不等式 例題2 （2020新課標全國卷第21題）設(shè)函數(shù). (1)若求的單調(diào)區(qū)間; (2)若時,求的取值范圍. 點拔:本題主要考查導(dǎo)數(shù)與不等式的相關(guān)知識,主要涉及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,由(1)可得出的不等式(此不等式較隱蔽,有時甚至需要構(gòu)造函數(shù)以便產(chǎn)生這樣的不等式),是本小題的突破口,然后討論參數(shù)的取值對導(dǎo)函數(shù)值符號的影響.分類討論思想在此應(yīng)用甚為關(guān)鍵. 解:(1) 時, 當當 故

14、在單調(diào)減少,在單調(diào)增加. (2) .由(1)知當且僅當時等號成立.故,從而當即時, ,而,于是當時, .又由可得,從而當時, 故當時, ,而,于是當,,綜合得的取值范圍為 易錯點: ①第(2)小題利用導(dǎo)數(shù)求的最小值,但方程難以求解;②對(1)式提供的不等式使用意識較低;③需強化分類討論思想方法在解決含參不等式中的應(yīng)用. 變式與延申2： （2020湖北卷第21題）已知函數(shù)級的圖象在點處的切線方程為. (1)用表示出; (2)若在上恒成立,求的取值范圍; (3) 題型三 導(dǎo)數(shù)與數(shù)列 例題3 （2020湖南卷第21題）數(shù)列中，是函數(shù)的極值點. （1）當時，求通項； （2）

15、是否存在，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在的取值范圍；若不存在，請說明理由. 點拔:本題導(dǎo)數(shù)的使用有如用藥的“藥引”，由極值的討論喚出了的數(shù)列系列問題.由題明確求數(shù)列通項的本質(zhì)是找遞推式,而題中的遞推式變化較大，應(yīng)細致討論.第(2)問中構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)將不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值. 解:易知,令 ① 故在 ② ③. (1)當時,,則.由①知, . 因,則由①知,.因為則由②知, ,又因為則由②知, .由此猜想:當時,. 下面用數(shù)學歸納法證明:當時, 事實上,當時,由前面的討論知結(jié)論成立. 假設(shè)當時, 成立,則由②知,,從而 ,所以.所以

16、當時,成立. 于是由②知,當,,而因此 (2)存在，使數(shù)列是等比數(shù)列.事實上,由②知,若對任意的,都有,則,即數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,且.而要使,即對一切都成立,只需對一切都成立.記，則. 令,因此,當時,,從而函數(shù)在上單調(diào)遞減,故當,數(shù)列單調(diào)遞減,即數(shù)列中最大項為,于是當時,必有,這說明,當時, 數(shù)列是等比數(shù)列. 當時,可得,由③知,無極值,不合題意. 當,可得數(shù)列不是等比數(shù)列. 當時, 由③知,無極值,不合題意. 當可得數(shù)列不是等比數(shù)列. 綜上,存在，使數(shù)列是等比數(shù)列,且 易錯點:①多情況的分類討論;②知識和方法較為綜合. 變式與延申3： 當正整數(shù)時,比較與

17、的大小.（本題可將去掉,供思考） 題型四 導(dǎo)數(shù)與積分 例題4 （2020福建卷第20題）（Ⅰ）已知函數(shù)，其圖象記為曲線C. （i）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （ii）證明：若對于任意非零實數(shù)，曲線C與其在點處的切線交于另一點，曲線C與其在點處的切線交于另一點，線段與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為，則為定值； （Ⅱ）對于一般的三次函數(shù)請給出類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明. 點拔:需把握好兩點：一是定積分上下限的確定；二是降維思想的應(yīng)用，尋求上下限變量之間的關(guān)系，其他變量全用變量表示.另外本題對運算能力要求，計算時需謹慎，力求每步精確. 解法一（Ⅰ）（i）由得=， 當和

18、時，； 當時，， 因此，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為. （ii）曲線C與其在點處的切線方程為，即，由，得即，解得或，故，進而有，用替代，重復(fù)上述計算過程，可得和，又，所以，因此. （II）記函數(shù)的圖象為曲線，類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題為：若對任意不等于的實數(shù)，曲線與其在點處的切線交于另一點，曲線與其在點處的切線交于另一點，線段與曲線所圍成封閉圖形的面積分別記為，則為定值； 證明： 因為平移變換不改變面積的大小，故可將曲線的對稱中心平移至坐標原點，因而不妨設(shè)，類似（Ⅰ）（ii）計算可得，因此 解法二(Ⅰ)同解法一 （II）記函數(shù)的圖象為曲線，類似于（Ⅰ）（ii）的正確命

19、題為：若對任意不等于的實數(shù)，曲線與其在點處的切線交于另一點，曲線與其在點處的切線交于另一點，線段與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為，則為定值； 證明：由得，所以曲線在點處的切線方程方程為， 由，得， 化簡：得到，，即，故 =，用代替，重復(fù)上述過程，可得和 所以 易錯點:①本題思維量較小，但由積分公式計算面積，字母計算的整體代換等運算求解能力要求較高，不容易正確；②對曲線的對稱中心會有理解障礙，影響化歸與轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用. 變式與延申4： 已知通過點，與有一個交點，且,. （1）求與所圍的面積S. （2）,為何值時，S取得最小值. 本節(jié)主要考查：（1）求切線方程，討論單

20、調(diào)性，求極值和最值，導(dǎo)數(shù)與不等式問題，利用積分計算圖形面積.（2）構(gòu)造函數(shù)，證明不等式. 函數(shù)含參時，不等式有解或恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值或?qū)?shù)進行分類討論. 討論極值點位置時用到根的分布知識.（3）考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想，尤其是分類討論思想，是近年來高考命題的熱點. 點評: 導(dǎo)數(shù)的思想方法和基本理論能在的許多問題上起到居高臨下和化繁為簡的作用.備考應(yīng)注意以下幾個方面: (1)導(dǎo)數(shù)的意義:變化率和切線的斜率,能夠設(shè)切點坐標求切線方程.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)的區(qū)別； (2)導(dǎo)數(shù)作為工具使用:如利用單調(diào)性求最值、證明不等式、解決數(shù)列、解決不等式恒立

21、或方程解等問題；(3)注意各小題之間的承接與提示作用，以及以為底的指對數(shù)與一次多項式之間的不等關(guān)系(如例2中)； (4) 積分是大學內(nèi)容的下放,要求能對公式進行應(yīng)用,求面積方面問題較多. (5) 注重導(dǎo)數(shù)與其他知識的交匯,重點知識重點抓,使常見數(shù)學思想方法融會貫通. 習題1-2 1．已知= . 2．(2020北京卷第18題)已知函數(shù) (Ⅰ)當=2時，求曲線=()在點(1，)處的切線方程； (Ⅱ)求()的單調(diào)區(qū)間. 3.（2020江蘇卷第14題）設(shè)函數(shù)，若對于任意的都有成立，求實數(shù)的值. 4．設(shè). （I）判斷函數(shù)的單調(diào)性； （Ⅱ）是否存在實數(shù)，使得關(guān)于的不等

22、式在上恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由； （Ⅲ）求證：，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）. 圖1-2-3 5．已知二次函數(shù)，直線，直線 （其中，為常數(shù)）；.若直線1、2與函數(shù)的圖象以及 、軸與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形如圖陰影所示. （Ⅰ）求、、的值； （Ⅱ）求陰影面積關(guān)于的函數(shù)的解析式； （Ⅲ）若問是否存在實數(shù)，使得的圖象與 的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出的值；若不 存在，說明理由. 第三節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性、最值和極值 函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值是高考的熱點，新課程中函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值的要求提高了，可能更會成為高考的熱點、難點.

23、在高考試題中，函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值往往是以某個初等函數(shù)為載體出現(xiàn)，綜合題往往與不等式、數(shù)列等聯(lián)系起來，處理方法除了定義法之外，一般采用導(dǎo)數(shù)法.難度值控制在0.3～0.6之間. 考試要求：①理解函數(shù)單調(diào)性的概念；②能判斷簡單函數(shù)的單調(diào)性；③能求函數(shù)的最大（?。┲?；④掌握基本初等函數(shù)的單調(diào)性和最值；⑤數(shù)形結(jié)合思想；⑥函數(shù)思想. 題型一：已知函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，求參變量的值. 例1 （2020年江西文科卷第17題） 設(shè)函數(shù). （1）若的兩個極值點為且，求實數(shù)的值； （2）是否存在實數(shù)，使得是上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，說明理由. 點拔：因為是三次函數(shù)，所以只

24、要①利用“極值點的根”，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題；②利用在上單調(diào)＞0（＜0），轉(zhuǎn)化為判斷一元二次函數(shù)圖像能否在軸上方的問題. 解： （1）由已知有，從而,所以； （2）由，得總有兩個不等的實根，不恒大于零，所以不存在實數(shù)，使得是上的單調(diào)函數(shù). 易錯點：①三次函數(shù)的極值點與原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系不清； ②含參變量的問題是逆向思維，學生易出現(xiàn)錯誤； ③學生不會將在上是單調(diào)函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題. 變式與引申1：已知函數(shù) （1）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍； （2）求在區(qū)間上的最大值. 題型二：已知最（極）值或其所在區(qū)域，通過單調(diào)性分析參變量的范圍. 例2 （2020年全國

25、文科卷第21題） 已知函數(shù) （1）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間； （2）設(shè)在區(qū)間(2,3)上有一個極值點，求的取值范圍. 點拔：第（1）問中，即為一個三次函數(shù)求單調(diào)區(qū)間問題：先求導(dǎo)，再解不等式，最后得出結(jié)論.第（2）問利用“極值點”的根轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題. 解：（1）當時, . 當時，在單調(diào)遞增； 當時，在單調(diào)遞減； 當時，在單調(diào)遞增. 綜上，的單調(diào)增區(qū)間是和,的單調(diào)減區(qū)間是. （2）解法一：，. 當，即時，,為增函數(shù),故無極值點. 當，即時，有兩個根，. 由題意知 ① 或 ② ①式無解,②式的解為. 因此的取值范圍. 解法二：,由題意的必有一根在(2

26、,3)上, 故,即,解得.因此的取值范圍. 易錯點：①單調(diào)增區(qū)間易誤寫成；②解不等式出錯；③第（2）問的解法一，不易分析. 變式與引申2：將（2）中改為“在區(qū)間(2,3)上有兩個極值點”，或改為“存在極值點，但在區(qū)間(2,3)上沒有極值點”，如何求的取值范圍？ 題型三：函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值與不等式結(jié)合的問題 例3 設(shè)函數(shù)，已知和為的極值點． （1）求和的值； （2）討論的單調(diào)性； （3）設(shè)，試比較與的大小． 點拔：此題是由指數(shù)函數(shù)與多項式函數(shù)等組合的超越函數(shù)，分析第（1）問先由極值點轉(zhuǎn)化為方程的根，再用待定系數(shù)法；第（3）問中比較兩個函數(shù)與的大小，可構(gòu)造新函數(shù)，再通

27、過分析函數(shù)的單調(diào)性來討論與0的大小關(guān)系. 解：（1）因為， 又和為的極值點，所以， 因此解方程組得，． （2）因為，，所以， 令，解得，，． 因為當時，；當時，． 所以在和上是單調(diào)遞增的；在和上是單調(diào)遞減的． （3）由（1）可知，故， 令，則．令，得， 因為時，，所以在上單調(diào)遞減． 故時，； 因為時，，所以在上單調(diào)遞增． 故時，． 所以對任意，恒有，又，因此， 故對任意，恒有． 易錯點：①求導(dǎo)數(shù)時，易出錯；②比較兩個函數(shù)的大小屬于不等式問題，學生容易只從不等式的簡單知識出發(fā)，而無法從構(gòu)造的新函數(shù)的單調(diào)性來分析. 變式與引申3：將第（3）問改為：設(shè)，試證恒成立．

28、 題型四：函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值問題的綜合應(yīng)用 例4 （2020年浙江文科卷第21題） 已知函數(shù). （1）當時，求曲線在點（2，）處的切線方程； （2）設(shè)是的兩個極值點，是的一個零點，且，，求證：存在實數(shù)，使得按某種順序排列后成等差數(shù)列，并求. 點拔：本題為函數(shù)的極值概念、導(dǎo)數(shù)運算法則、切線方程、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識的綜合運用；分析第（2）時應(yīng)從先，來確定，再用等差中項的性質(zhì)求出確定，同時確定的順序. 解：（1）當時，因為=（x－1）（3x－5），故，， 所以在點（2,0）處的切線方程為. （2）證明：因為＝3（x－a）（x－）， 由于，故. 所以f（x）的兩個極

29、值點為x＝a，x＝. 不妨設(shè)x1＝a，x2＝，因為，，且x3是f（x）的零點，故x3＝b. 又因為－a＝2（b－），x4＝（a＋）＝， 所以a，，，b依次成等差數(shù)列.所以存在實數(shù)x4滿足題意，且x4＝. 易錯點：學生遇到綜合類問題容易出現(xiàn)知識上的漏洞. 變式與引申4：（2020年浙江理科卷第22題）已知是給定的實常數(shù)，設(shè)函數(shù) ，，是的一個極大值點． (Ⅰ)求的取值范圍； (Ⅱ)設(shè)是的3個極值點，問是否存在實數(shù)，可找到，使得的某種排列(其中=)依次成等差數(shù)列?若存在，求所有的及相應(yīng)的；若不存在，說明理由． 本節(jié)主要考查： （1）函數(shù)單調(diào)性； （2）單調(diào)性、極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)

30、系； （3）函數(shù)思想； （4）數(shù)形結(jié)合思想. 點評：（1）討論函數(shù)單調(diào)性必須在其定義域內(nèi)進行，因此要研究函數(shù)單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集； （2）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：定義法、圖像法、復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等； （3）利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的正負問題，從而轉(zhuǎn)化為不等式問題，再而研究函數(shù)的最（極）值.需靈活應(yīng)運用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想和分類討論思想等. 習題1—3 1.（2020年全國文科卷I第7題）已知函數(shù).若且，則的取值范圍是

31、 ( ) A. B. C. D. 2.已知函數(shù)的定義域均為非負實數(shù)集，對任意的，規(guī)定 . 3.（2020年浙江文科卷第21題）已知函數(shù)． （1）若函數(shù)的圖像過原點，且在原點處的切線斜率是-3，求a，b的值； （2）若函數(shù)在區(qū)間（1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍． 4.（2020年陜西文科卷第21題）已知函數(shù)，. （I）若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；

32、（II）設(shè)函數(shù)，當)存在最小值時，求其最小值的解析式； （III）對（2）中的，證明：當時，1. 5.（2020屆惠州市高三文科第一次調(diào)研）設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)． （1）當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性； （2）時，求的極值點； （3）求證對任意不小于3的正整數(shù)，不等式都成立． 第四節(jié) 函數(shù)的綜合應(yīng)用(1) 函數(shù)內(nèi)容是每年高考都要考查的重點內(nèi)容之一，函數(shù)的觀點和思想方法是高中數(shù)學的一條重要的主線，選擇、填空、解答三種題型每年都有，函數(shù)題的身影頻現(xiàn)，而且?？汲Ｐ拢瘮?shù)和其它內(nèi)容如導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列等內(nèi)容的結(jié)合是近幾年的考查熱點，題目由易到難幾乎都有，與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合更是經(jīng)常作為壓軸

33、題出現(xiàn). 考試要求 （1）了解映射概念，理解函數(shù)的概念；（2）了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法；（3）掌握指、對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).（4）根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法. 題型一 函數(shù)解析式問題 例 ⑴（2020陜西文數(shù)）某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表.那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整數(shù)）可以表示為 A y＝[]

34、B y＝[] C y＝[] D y＝[] ⑵設(shè)函數(shù)若方程有四個不同的實數(shù)解， 若方程g(x)=a有四個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是___________________. 點撥：⑴用具體數(shù)據(jù)代入選項，確定哪個函數(shù)比較符合；（2）在同一坐標系中畫出和的圖象，再根據(jù)題意畫出，根據(jù)圖象得出a的取值范圍. 解：⑴法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以選B 法二：設(shè)， ，所以選B ⑵在坐標系中作出和的圖象，可知圖象如圖所示， 故a的取值范圍是. 易錯點：⑴對抽象函數(shù)理解不強，缺少處理方法容易造成錯誤； ⑵正確理解解析式所表示

35、的意義是解題的關(guān)鍵，如果討論和的大小再得出的解析式，然后畫圖，一是計算量比較多，再是容易出錯. 變式與引申1： （１）設(shè)函數(shù)若,則關(guān)于x的方程的解的個數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 （２） 設(shè)函數(shù)由方程確定，下列結(jié)論正確的是.（請將你認為正確的序號都填上） （１）是上的單調(diào)遞減函數(shù)； （２）對于任意，恒成立； （３）對于任意，關(guān)于的方程都有解； 題型二 函數(shù)的性質(zhì)與圖象 例 已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根，則

36、 點撥：由求出的周期，又根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，得出在一個周期[-2,2]中的單調(diào)性，再根據(jù)對稱性求值. 解：因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱且，由知，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又因為在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以在區(qū)間[-2,0]上也是增函數(shù)．如圖所示，那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根,不妨設(shè),由對稱性知,.所以. 易錯點：對函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性，對稱性，周期性等其中的一個知識點掌握不好，都容易出錯；不能得出是周期函數(shù)，或不能得出對稱軸及單調(diào)區(qū)間等. 變式與引申2： （１）函數(shù)的圖象的大致形狀是 (

37、 ) （2）設(shè)函數(shù)的集合， 平面上點的集合 ， 則在同一直角坐標系中，中函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過中兩個點的函數(shù)的個數(shù)是 ( ) A 4 B 6 C 8 D 10 題型三 函數(shù)零點與二分法思想 例 設(shè)函數(shù) （1）當時，求函數(shù)在上的最大值； （2）記函數(shù)，若函數(shù)有零點，求的取值范圍. 點撥：（1）這是一道含絕對值的函數(shù)題，對與1的大小進行討論，去掉絕對值后求值；（2）函數(shù)有零點轉(zhuǎn)化為方程有解，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的值域得出的取值范圍. 解：（1）當時，＝ ∴當時， 當時，＝ ∵

38、函數(shù)在上單調(diào)遞增 ∴ 由得又 ∴當時，，當時，. （2）函數(shù)有零點即方程有解，得. 令， 當時，， 所以函數(shù)在上是增函數(shù)，； 當時，， 所以函數(shù)在上是減函數(shù)，. 所以方程有解時，即函數(shù)有零點時的取值范圍. 易錯點：（1）去絕對值和對求值大小進行討論時考慮不周造成的錯誤；（2）零點問題不能轉(zhuǎn)化成方程有解問題，從而不能使問題得到有效的解決. 變式與引申3： ⑴函數(shù)的零點一定位于下列哪個區(qū)間( ) A. B. C. D. ⑵已知函數(shù)，，的零點分別為，則的大小關(guān)系是( ) A． B．

39、 C． D． 題型四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題 例 已知函數(shù)． (1) 若直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f(x)的切線，求a的取值 范圍； (2)設(shè)g(x)=|f(x)|，x∈[－l，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式． 點撥：(1) 求曲線y=f(x)的切線的斜率就是對的求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)值不能取到已知直線的斜率-1；(2) g(x)是偶函數(shù)，只須求g(x)在[0,1]上最大值. 解：（1） ∵ ∴要使直線=0對任意的總不是曲線的切線，當且僅當-1<-3a,∴. （2）因在[-1,1]上為偶函數(shù),故只求在 [0,1]上最大值， ① 當時，，在

40、上單調(diào)遞增且, ∴，∴. ② 當時 i .當，即時，在上單調(diào)遞增，此時 ii. 當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 10 當即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故. 20當即時， （ⅰ）當即時， （ⅱ） 當即時， 綜上 易錯點：本題第二問分類討論比較多，計算量也很大，考慮不周都會產(chǎn)生錯誤. 變式與引申4： 已知函數(shù)，，和直線，又. （1）求的值； （2）是否存在的值，使直線既是曲線的切線，又是的切線；如果存在，求出的值；如果不存在,說明理由． 本節(jié)主要考查：（1）函數(shù)的解析式和函數(shù)的圖象，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等函數(shù)性質(zhì)；（

41、2）結(jié)合圖象，直觀地反映函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想和基本的作圖、運算、分析等解題能力；（3）零點和二分法體現(xiàn)了函數(shù)和方程的關(guān)系；（4）考查了用導(dǎo)數(shù)作為工具求曲線的切線和函數(shù)的最值等思想方法. 點評：（1）數(shù)形結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)是高考考查的重點內(nèi)容．解決一些函數(shù)單調(diào)性和奇偶性，對稱性等要從數(shù)形結(jié)合的角度去認識，以形輔數(shù)，以數(shù)畫形，化抽象為直觀；（2）要充分利用導(dǎo)數(shù)這一工具，結(jié)合函數(shù)的一些思考方法解決函數(shù)中的如求最大值和最小值等問題；（4）重視計算能力，畫圖能力及分類討論的思想方法. 習題1-4 .已知[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，為取整函數(shù)， 的零點，則等于 （ ）

42、 A．1 B．2 C．3 D．4 .設(shè)函數(shù)，則的值為. 3．已知函數(shù)對任意的實數(shù)x,y都有且. (1)若,試求的表達式; (2)若且時,不等式成立,求實數(shù)的取值范圍. 4．已知函數(shù)R，且 （1）若能表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和，求的解析式； （2）命題P：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)； 命題Q：函數(shù)是減函數(shù) 如果命題P、Q有且僅有一個是真命題，求a的取值范圍； 5．（2020北京理數(shù)）已知函數(shù)()=In(1+)-+(≥0). (1)當=2時，求曲線=()在點(1，(1))處的切線方程； (2)求()的單調(diào)區(qū)間. 第五節(jié) 函數(shù)的綜合應(yīng)用(2) 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)

43、、不等式等這三部分或它們的綜合，在每年高考試題中都有大量出現(xiàn)，綜合性都比較強，題目都有較高的難度；利用函數(shù)解不等式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最值等是考查的重點.特別今后，高考的應(yīng)用題不一定是概率題，那么函數(shù)作為解決生活實際問題的重要方法，其應(yīng)用題出現(xiàn)在高考試題中，并且可能常態(tài)化那也在情理之中. 考試要求 能結(jié)合實例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值以及生活中的優(yōu)化問題.能夠利用函數(shù)解決一些生活實際問題. 題型一 函數(shù)與不等式 例 （1）（2020天津理數(shù)）已知函數(shù)f(x)=,若f(a)>f(-a

44、),則實數(shù)a的取值范圍是 A （-1，0）∪（0，1） B （-∞，-1）∪（1,+∞） C （-1，0）∪（1,+∞） D （-∞，-1）∪（0,1） （2）（2020全國卷1理數(shù)）已知函數(shù)f(x)=|lgx|.若0

45、當時，函數(shù)單調(diào)遞減，， 故選C. 易錯點：（1）分段函數(shù)不等式一般通過分類討論的方式求解，解對數(shù)不等式?jīng)]注意到真數(shù)大于0，或沒注意底數(shù)在（0，1）上時，或不等號的方向?qū)戝e等；（2）直接利用均值不等式求解得最小值為等錯誤. 變式與引申1： （1）已知函數(shù)若在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為 ． （2）已知二次函數(shù)，不等式的解集為． ①若方程有兩個相等的實根，求的解析式； ②若的最大值為正數(shù)，求實數(shù)的取值范圍． 題型二 函數(shù)與數(shù)列 例 已知函數(shù) （1）求的值； （2）若數(shù)列，求列數(shù)的通項公式； （3）若數(shù)列{bn}滿足，則實數(shù)k為何值時，不等式恒成立

46、. 點撥：（2）注意到，及，構(gòu)成對進行運算；（3）求出，將裂項，并求和求出，再利用二次函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)求解. 解：（1）令 令 （2）∵ ① ∴ ② 由（1），知 ∴①+②，得 （3）∵,,∴,∴ 由條件，可知當恒成立時即可滿足條件.設(shè), 當k＞0時，又二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能恒成立 當k=0時，f（n）=－n－2＜0恒成立； 當k＜0時，由于對稱軸直線 ∴f（n）在上為單調(diào)遞減函數(shù)∴只要f（1）＜0，即可滿足恒成立 ∴由，∴k＜0 綜上知，k≤0，不等式恒成立 易錯點：沒有發(fā)現(xiàn)，可以結(jié)合，進行逆序求和；對不能裂項求和或求和中出錯，對

47、恒成立的討論不夠嚴謹造成錯誤. 變式與引申2： ⑴已知定義在R上的函數(shù)，對于任意的實數(shù)a，b都有，且 ①求的值； ②求的解析式（） （2）一企業(yè)生產(chǎn)的某產(chǎn)品在不做電視廣告的前提下，每天銷售量為件. 經(jīng)市場調(diào)查后得到如下規(guī)律：若對產(chǎn)品進行電視廣告的宣傳，每天的銷售量（件）與電視廣告每天的播放量（次）的關(guān)系可用如圖所示的程序框圖來體現(xiàn). ①試寫出該產(chǎn)品每天的銷售量（件）關(guān)于電視廣告每天的播放量（次）的函數(shù)關(guān)系式； ②要使該產(chǎn)品每天的銷售量比不做電視廣告時的銷售量至少增加，則每天電視廣告的播放量至少需多少次？ 題型三 含參數(shù)的函數(shù)極值問題 例 設(shè)x1、 的兩個極值點.

48、（1）若，求函數(shù)f(x)的解析式； （2）若的最大值； （3）若，求證： 點撥：（2）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得出兩根異號，則，再用導(dǎo)數(shù)求的最大值；（3）將不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題. 解： （1）是函數(shù)f(x)的兩個極值點， （2）∵x1、x2是 f(x)是兩個極值點， ∴x1、x2是方程的兩根.∵△= 4b2 + 12a3， ∴△>0對一切a > 0，恒成立. 由 令 在（0，4）內(nèi)是增函數(shù)； ∴h (a)在（4，6）內(nèi)是減函數(shù). ∴a = 4時，h(a)有極大值為96，上的最大值是96， ∴b的最大值是

49、 （3）證法一：∵x1、x2是方程的兩根， ， 證法二：∵x1、x2是方程的兩根，. ∵x1 < x < x2， 易錯點：本題討論、計算較多，不小心都容易出錯，對問題的轉(zhuǎn)化能力要求較高. 變式與引申3： （1）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍． （2）已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍； 題型四 函數(shù)應(yīng)用題 例 2020年上海世博會組委會為保證游客參觀的順利進行，對每天在各時間段進入園區(qū)和離開園區(qū)的人數(shù)作了一個模擬預(yù)測. 為了方便起見，以10分鐘為一個計算單位，上午9點10分

50、作為第一個計算人數(shù)的時間，即；9點20分作為第二個計算人數(shù)的時間，即；依此類推，把一天內(nèi)從上午9點到晚上24點分成了90個計算單位. （圖1-5-2） 10800 3600 1 1 24 36 72 90 n 對第個時刻進入園區(qū)的人數(shù)和時間（）滿足以下關(guān)系（如圖1-5-2）： ， 對第個時刻離開園區(qū)的人數(shù)和時間 （）滿足以下關(guān)系（如圖1-5-3）： （1）試計算在當天下午3點整（即15點整）時，世博園區(qū)內(nèi)共有多少游客？ （2）請求出當天世博園區(qū)內(nèi)游客總?cè)藬?shù)最多的時刻. 點撥：（1）計算出入園游客總數(shù)

51、與出園游客總數(shù)，其差就是所求；（2）當入園游客總數(shù)與出園游客總數(shù)之差最大，則游客總?cè)藬?shù)最多，按每段函數(shù)分別計算. 解：（1）當且時，， 當且時， 所以 ××； 另一方面，已經(jīng)離開的游客總?cè)藬?shù)是： ×；……2分 所以（人） 故當天下午3點整（即15點整）時，世博園區(qū)內(nèi)共有位游客. （2）當時園內(nèi)游客人數(shù)遞增；當時園內(nèi)游客人數(shù)遞減. (i)當時，園區(qū)人數(shù)越來越多，人數(shù)不是最多的時間； (ii)當時，令，得出， 即當時，進入園區(qū)人數(shù)多于離開人數(shù)，總?cè)藬?shù)越來越多； 當時，，進入園區(qū)人數(shù)多于離開人數(shù)，總?cè)藬?shù)越來越多； (iii)當時， 令時，， 即在下午點整時

52、，園區(qū)人數(shù)達到最多. 此后離開人數(shù)越來越多，故園區(qū)內(nèi)人數(shù)最多的時間是下午4點整. 易錯點：（1）下午3點是哪個時段算不清出錯； （2）不能讀懂題意和看圖，無從下手. 變式與引申：如圖1-5-4，兩鐵路線垂直相交于站A，若已知AB=100千米，甲火車從A站出發(fā)，沿AC方向以50千米/小時的速度行駛，同時乙火車以v千米/小時的速度從B站沿BA方向行駛致A站即停止前行（甲車仍繼續(xù)行駛） （1）求甲，乙兩車的最近距離（兩車的車長忽略不計） （2）若甲，乙兩車開始行駛到甲，乙兩車相距最近所用時間為小時，問v為何值時最大？ 本節(jié)主要考查：函數(shù)與不等式、數(shù)列等知識的綜合運用能力

53、；考查了如何用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中含參數(shù)的與極值有關(guān)的綜合題，考查了用函數(shù)如何建模，如何解決實際生活中出現(xiàn)的問題.考查了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學思想方法，以及運算求解能力. 點評：導(dǎo)數(shù)常作為高考的壓軸題，對考生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識、基本技能，還要求考生具有較強的分析能力和計算能力.估計以后對導(dǎo)數(shù)的考查力度不會減弱.作為壓軸題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或解決數(shù)列中的一些問題等，常伴隨對參數(shù)的討論，這也是難點之所在. 習題1-5 .設(shè)函數(shù)，則使得的自變量的取值范圍為（ ） A. B. C. D

54、. .擬定從甲地到乙地通話分鐘的電話費由（元）決定，其中m>0,是大于或等于m的最小整數(shù)，（如,），則從甲地到乙地通話時間為5.5分鐘的電話費為 . .已知函數(shù) (1) 求證: 函數(shù)是偶函數(shù); (2) 判斷函數(shù)分別在區(qū)間、上的單調(diào)性, 并加以證明; (3) 若, 求證: .有一種密英文的明文(真實文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z的26個字母(不分大小寫),依次對應(yīng)1,2,3,…,26這26個自然數(shù),見如下表格: a b c d e f g h i j k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9

55、 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 給出如下一個的變換公式: X’= (x∈N,1≤x≤26,x不能被2整除) +13(x∈N,1≤x≤26,x能被2整除) 將明文轉(zhuǎn)換成密文,如8→+13=17,即h變成q；5→=3，即e變成c. ①按上述規(guī)定，將明文good譯成的密文是什么？ ②按上述規(guī)定，若將某明文譯成的密文是shxc，那么原來的明文是什么？ .已知函數(shù)， （1

56、）判斷函數(shù)的奇偶性； （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （3）若關(guān)于的方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍． 第一講 測試卷 一．選擇題 本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．設(shè)則( ) A. B. C. D. 2． 如果對于任意實數(shù)，表示不超過的最大整數(shù). 例如，. 那么“”是“”的 ( ) A．充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件? D.既不充

57、分也不必要條件 3. 設(shè)函數(shù) 若是奇函數(shù)，則的值是 （ ） A. B. C. D. 4 4．已知，則下列不等式成立的是 （ ） A． B． C． D． 5．在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數(shù)的點的個數(shù)是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．若函數(shù)的定義域R分成了四個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)滿足 ( ) A. B. C. D. 7．設(shè)函數(shù)，集合，判斷在上的奇

58、偶性為（ ） A. 偶函數(shù) B .奇函數(shù) C. 非奇非偶函數(shù) D. 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 8. 定義在R上的函數(shù)滿足，當x∈［3，5］時,=2－|x－4|，則（ ） A.＜ B. ＞ C.＞ D. ＜ 9. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C. D. 10. 設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上，恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”．已知．若當實數(shù)滿足時，函數(shù)在上總為“凸函數(shù)”，則的最大值為（ ） A.1 B.2 C.3 D. 7 二、填空題：本大題共

59、5小題，每小題5分,共25分．把答案填在題中橫線上． 11．若函數(shù)有且僅有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍 12．定義在R上的函數(shù)， 則 ． 13. 已知f(x+)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函數(shù)f(x)的最小值為____ 14．已知的展開式中的常數(shù)項為，是以為周期的偶函數(shù)，當時，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是 ． 15．已知函數(shù)，則下列說法①在上是減函數(shù)；②的最大值是2；③方程有2個實數(shù)根；④在R上恒成立.正確的命題是 （寫出所有正確命題的序號） 三．解答題 本大題共75分.解答應(yīng)寫出文

60、字說明、證明過程和演算步驟 16．（本小題滿分12分）設(shè)是定義在上的函數(shù)，對一切均有，且當時，，求當時，的解析式． 17. （本小題滿分12分）某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為、5000輛.本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為x（0＜x＜1，則出廠價相應(yīng)提高的比例為0.7x，年銷售量也相應(yīng)增加.已知年利潤=（每輛車的出廠價－每輛車的投入成本）×年銷售量. （Ⅰ）若年銷售量增加的比例為0.4x，為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ （

61、Ⅱ）年銷售量關(guān)于x的函數(shù)為，則當x為何值時，本年度的年利潤最大？最大利潤為多少？ 18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（為常數(shù)）是實數(shù)集上的奇函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù). （1）求的值； （2）若在恒成立，求的取值范圍； （3）討論關(guān)于的方程的根的個數(shù). 19. （本題滿分12分）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同． （I）用表示，并求的最大值； （II）求證：（）．20. （本題滿分13分）設(shè)函數(shù) 21．對于定義在D上的函數(shù)，若存在，對任意的，都有，則稱函數(shù)在區(qū)間上有下界，把稱為函數(shù)在上的“下界”. （1）分別判斷下列函數(shù)是否有“下界”？如果有，寫出“下界”否則請說明理由；， （2）請你類比函數(shù)有“下界”的定義，寫出函數(shù)在區(qū)間上有“上界”的定義； 并判斷函數(shù)（）是否有“上界”？說明理由； （3）若函數(shù)在區(qū)間上既有“上界”又有“下界”，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“有界函數(shù)”，把“上界”減去 “下界”的差稱為函數(shù)在上的“幅度”. 對于實數(shù)，試探究函數(shù)是否是上的“有界函數(shù)”？如果是，求出“幅度”的值.