高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 等價轉(zhuǎn)化法 人教版

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1、高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 等價轉(zhuǎn)化法 等價轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉(zhuǎn)化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧。 轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化。等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果。非等價轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的，要對結(jié)論進(jìn)行必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗(yàn)根），它能給人帶來思維的閃光點(diǎn)，找到解決問題的突破口。我們在應(yīng)用時一定要注意轉(zhuǎn)

2、化的等價性與非等價性的不同要求，實(shí)施等價轉(zhuǎn)化時確保其等價性，保證邏輯上的正確。 著名的數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”。數(shù)學(xué)的解題過程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程。 等價轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時，沒有一個統(tǒng)一的模式去進(jìn)行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；它可以在宏觀上進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實(shí)際問題的過程中，普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯；它可以在符號系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換，即所說的恒等變形。消去法、換元法、數(shù)

3、形結(jié)合法、求值求范圍問題等等，都體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想，我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化?？梢哉f，等價轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計(jì)好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。 在數(shù)學(xué)操作中實(shí)施等價轉(zhuǎn)化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問題，變成比較簡單的問題，比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式…等；或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題，以便準(zhǔn)確把握問題的求解過程，比如數(shù)形結(jié)合法；或者從

4、非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)化過程省時省力，有如順?biāo)浦?，?jīng)常滲透等價轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力。 一、方法簡解： 1. f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x，則f(7.5)等于_____。 A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5 2.設(shè)f(x)＝3x－2，則f[f(x)]等于______。 A. B. 9x－8 C. x D. 3. 若m、n、p、q∈R且m＋n＝a，p＋q＝b，ab≠0，則mp＋nq的最

5、大值是______。 A. B. C. D. 4. 如果復(fù)數(shù)z滿足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值為______。 A. 1 B. C. 2 D. 5. 設(shè)橢圓＋＝1 （a>b>0）的半焦距為c，直線l過(0,a)和(b,0)，已知原點(diǎn)到l的距離等于c，則橢圓的離心率為_____。 A. B. C. D. 6. 已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，則四棱錐S-BCE

6、D的體積為_____。 A. B. 10 C. D. 【簡解】1小題：由已知轉(zhuǎn)化為周期為2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，選B； 2小題：設(shè)f(x)＝y(tǒng)，由互為反函數(shù)的值域與定義域的關(guān)系，選C； 3小題：由mp＋nq≤＋容易求解，選A； 4小題：由復(fù)數(shù)模幾何意義利用數(shù)形結(jié)合法求解，選A； 5小題：ab＝×，變形為12e－31e＋7＝0，再解出e，選B； 6小題：由S＝S和三棱椎的等體積轉(zhuǎn)化容易求，選A。 二、舉例分析： 例1. 若x、y、z∈R且x＋y＋z＝1，求(－1)( －1)( －1)的最小值。 【分析】

7、由已知x＋y＋z＝1而聯(lián)想到，只有將所求式變形為含代數(shù)式x＋y＋z，或者運(yùn)用均值不等式后含xyz的形式。所以，關(guān)鍵是將所求式進(jìn)行合理的變形，即等價轉(zhuǎn)化。 【解】(－1)( －1)( －1)＝（1－x）(1－y)(1－z) ＝(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝(xy＋yz＋zx－xyz) ＝＋＋－1≥3－1＝－1≥－1＝9 【注】對所求式進(jìn)行等價變換：先通分，再整理分子，最后拆分。將問題轉(zhuǎn)化為求＋＋的最小值，則不難由平均值不等式而進(jìn)行解決。此題屬于代數(shù)恒等變形題型，即代數(shù)式在形變中保持值不變。 例2. 設(shè)x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范圍。 【分析】 設(shè)k＝x＋

8、y，再代入消去y，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解時求參數(shù)k范圍的問題。其中要注意隱含條件，即x的范圍。 【解】由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。 設(shè)k＝x＋y，則y＝k－x，代入已知等式得：x－6x＋2k＝0 ， 即k＝－x＋3x，其對稱軸為x＝3。 由0≤x≤2得k∈[0,4]。 所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4。 【另解】 數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為解析幾何問題）： 由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如圖所示橢圓，其一個頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。x＋y的范圍就是橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方。由圖可知最小值是0,距離最大的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的圓與橢圓相切的切點(diǎn)。設(shè)圓方程為x＋y＝k

9、，代入橢圓中消y得x－6x＋2k＝0。由判別式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4。 【再解】 三角換元法，對已知式和待求式都可以進(jìn)行三角換元（轉(zhuǎn)化為三角問題）： 由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，設(shè)，則 x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα ＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4] 所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4。 【注】本題運(yùn)用多種方法進(jìn)行解答，實(shí)現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系了多個知識點(diǎn)，有助于提高發(fā)散思維能力。此題還可以利用均值換元法進(jìn)行解答。各種方法的運(yùn)用，分別將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為了其它問題，屬于問題轉(zhuǎn)換題型。 例

10、3. 求值：ctg10°－4cos10° 【分析】分析所求值的式子，估計(jì)兩條途徑：一是將函數(shù)名化為相同，二是將非特殊角化為特殊角。 【解一】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝ ＝＝ ＝＝＝＝ （基本過程：切化弦→通分→化同名→拆項(xiàng)→差化積→化同名→差化積） 【解二】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝＝ （基本過程：切化弦→通分→化同名→特值代入→積化和→差化積） 【解三】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ （基本過程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式） 【注】無條

11、件三角求值問題，是高考中常見題型，其變換過程是等價轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。此種題型屬于三角變換型。一般對，對于三角恒等變換，需要靈活運(yùn)用的是同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和差角公式、倍半角公式、和積互化公式以及萬能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、將次與升次、和積互化、異名化同名、異角化同角、化特殊角等等。對此，我們要掌握變換的通法，活用2公式，攻克三角恒等變形的每一道難關(guān)。 例4. 已知f(x)＝tgx，x∈(0, )，若x、x∈(0, )且x≠x， 求證：[f(x)＋f(x)]>f() （94年全國高考） 【分析】從問題著手進(jìn)行思考，運(yùn)用分析法，一步步探求問題成立的充分條件。

12、【證明】[f(x)＋f(x)]>f() [tgx＋tgx]>tg (＋)> > 1＋cos(x＋x)>2cosxcosx 1＋cosxcosx＋sinxsinx>2cosxcosx cosxcosx＋sinxsinx<1 cos(x－x)<1 由已知顯然cos(x－x)<1成立，所以[f(x)＋f(x)]>f() S A M D N C B 【注】 本題在用分析法證明數(shù)學(xué)問題的過程中，每一步實(shí)施的都是等價轉(zhuǎn)化。此種題型屬于分析證明型。 例5. 如圖，在三棱錐S-ABC中，S在底面上

13、的射影N位于底面的高CD上，M是側(cè)棱SC上的一點(diǎn)，使截面MAB與底面所成角等于∠NSC。求證：SC垂直于截面MAB。（83年全國高考） 【分析】 由三垂線定理容易證明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面幾何知識證明SC⊥DM。 【證明】由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜線SC在底面AB的射影， ∴ AB⊥SC。 ∵ AB⊥SC、AB⊥CD ∴ AB⊥平面SDNC ∴ ∠MDC就是截面MAB與底面所成的二面角 由已知得∠MDC＝∠NSC 又∵ ∠DCM＝∠SCN ∴ △DCM≌△SCM ∴ ∠DMC＝∠SNC＝Rt∠ 即 SC⊥DM 所以SC⊥截面MAB

14、。 【注】立體幾何中有些問題的證明，可以轉(zhuǎn)化為平面幾何證明來解決，即考慮在一個平面上的證明時運(yùn)用平面幾何知識。 三、鞏固訓(xùn)練： 1. 正方形ABCD與正方形ABEF成90°的二面角，則AC與BF所成的角為_____。 A. 45° B. 60° C. 30° D. 90° 2. 函數(shù)f(x)＝|lgx|，若0f(b)，則下列各式中成立的是_____。 A. ab≤1 B. ab<1 C. ab>1 D. a>1且b>1 3. [－] (n∈N)的值為______。 A.

15、 B. C. 0 D. 1 4. (a＋b＋c)展開式的項(xiàng)數(shù)是_____。 A. 11 B. 66 C. 132 D. 3 5. 已知長方體ABCD-A’B’C’D’中，AA’＝AD＝1，AB＝，則頂點(diǎn)A到截面A’BD的距離是_______。 6. 已知點(diǎn)M(3cosx，3sinx)、N(4cosy，4siny)，則|MN|的最大值為_________。 7. 函數(shù)y＝＋的值域是____________。 8. 不等式log（x＋x＋3）>log(x＋2)的解是____________。 9．設(shè)x>0，y>0，求證：(x＋y)>(x＋y) (86年上海高考) 10. 當(dāng)x∈[0, ]時，求使cosx－mcosx＋2m－2>0恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。 11. 設(shè)△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若三邊a、b、c順次成等差數(shù)列，求復(fù)數(shù)z＝[cos(π＋)＋ｉsin(π＋)]·[sin(－)＋ｉcos(－)]的輻角主值argz的最大值。 12. 已知拋物線C：y＝(t＋t－1)x－2(a＋t)x＋(t＋3at＋b)對任何實(shí)數(shù)t都與x軸交于P(1,0)點(diǎn)，又設(shè)拋物線C與x軸的另一交點(diǎn)為Q(m,0)，求m的取值范圍。