高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 3.3 綜合法與分析法 3.3.1 綜合法知識(shí)導(dǎo)航素材 北師大版選修1-2（通用）

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1、3.1 綜合法 自主整理 1.從命題的條件出發(fā),利用____________、____________、____________及____________,通過____________,一步步地接近要證明的結(jié)論,直到完成命題的證明,這種思維方法稱為____________. 高手筆記 1.綜合法的思考過程為“由因?qū)Ч钡捻樞颍菑臈l件逐步推演到結(jié)論. 2.對于命題“若P則Q”的綜合法證明可用框圖表示為： 名師解惑 綜合法的解釋 剖析:綜合法是從已知條件出發(fā),經(jīng)過推理,導(dǎo)出所要的結(jié)論,步驟比較簡潔明了,但入手點(diǎn)比較難找.一般地,對于命題“若A則D”,用綜合法證明時(shí),思考過程

2、可表示為 綜合法的思考過程是由因?qū)Ч捻樞?是從A推演到D的途徑,但由A推演出的中間結(jié)論未必唯一,如B,B1,B2等.由B,B1,B2推演出的進(jìn)一步的中間結(jié)論則可能更多,如C,C1,C2,C3,C4等,最終能有一個(gè)(或多個(gè))可推演出結(jié)論D即可. 在綜合法中,每個(gè)推理都必須是正確的,每個(gè)論斷都應(yīng)當(dāng)是前面一個(gè)論斷的必然結(jié)果.因此所用語氣必須是肯定的. 講練互動(dòng) 【例1】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(其中m為常數(shù),n∈N+),且m≠-3. (1)求證:{an}為等比數(shù)列; (2)若數(shù)列{an}的公比q=f(m),數(shù)列{bn}滿足b1=a1,bn=

3、f(bn-1)(n∈N+,n≥2),求證:{}為等差數(shù)列. 分析：本題要證數(shù)列為等差、等比數(shù)列,所以需按定義研究an+1與an的關(guān)系,而已知為Sn,需將Sn化為an,它們之間的關(guān)系為 an=S1,Sn-Sn-1, n=1,n≥2. 證明：(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3, ∴(3+m)an+1=2man(m≠-3). ∴. ∴{an}為等比數(shù)列. (2)由已知q=f(m)=,b1=a1=1, ∴當(dāng)n≥2時(shí),bn=f(bn-1)=·. ∴bnbn-1+3bn=3bn-1. ∴. ∴{}是首項(xiàng)為1、公差為的等差數(shù)列. 綠

4、色通道 證明數(shù)列為等差、等比數(shù)列需緊扣定義,找到an+1與an之間的關(guān)系,由已知前n項(xiàng)和Sn,求出an=由已知條件逐步變形得到,從而得證. 變式訓(xùn)練 1.已知f(x)=,Pn(an,)在曲線y=f(x)上(n∈N+)且a1=1,an>0. (1)求{an}的通項(xiàng)公式. (2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,且滿足+16n2-8n-3.設(shè)定b1的值,使得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列. 解:(1)由已知Pn在曲線y=f(x)上, ∴=. ∴=4. ∴{}是等差數(shù)列, =1+4(n-1)=4n-3. ∵an>0,∴an=. (2)∵=+16n2-8n-3=+(4n-3)(4n+1),

5、 即(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1), ∴=+1. ∴{}為等差數(shù)列,首項(xiàng)為=b1,=b1+(n-1)=n+(b1-1). ∴Tn=(4n-3)［n+(b1-1)］=4n2+(4b1-7)n-3(b1-1). 要使{bn}為等差數(shù)列,需使b1-1=0,∴b1=1. 當(dāng)b1=1時(shí),Tn=4n2-3n,bn=8n-7. ∴{bn}為等差數(shù)列. 【例2】如圖所示,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F. 求證:AF⊥SC. 分析：本題所要證的是線線垂直,可通過線面垂直來判定,而已知條件為線線垂直、線

6、面垂直,通常我們需要將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直,再由線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直,從而得證. 證明： ∵SA⊥面ABC,∴SA⊥BC. ∵AB⊥BC,∴BC⊥面SAB. ∵AE面SAB,∴BC⊥AE. ∵AE⊥SB,∴AE⊥面SBC. ∴AE⊥SC.又∵EF⊥SC, ∴SC⊥面AEF.∴SC⊥AF. 綠色通道 從已知條件及已有定理入手,直接推證,線線垂直與線面垂直相互轉(zhuǎn)化來加以證明. 變式訓(xùn)練 2.如圖所示,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD. 求證:PC⊥BD. 證明:∵PA⊥面ABCD,PC為平面ABCD的斜線, PC在面ABCD內(nèi)的射

7、影為AC,連結(jié)BD, ∵四邊形ABCD為正方形,∴AC⊥BD. ∴PC⊥BD. 【例3】若a、b、c∈R+,求證:≥abc. 分析：不等式的形式對稱,分子出現(xiàn)平方和,可利用重要不等式,用綜合法證明. 證明：∵a2b2+b2c2≥2ab2c, b2c2+c2a2≥2abc2, c2a2+a2b2≥2a2bc, ∴a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc, 即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c). ∵a、b、c∈R+,∴a+b+c>0. ∴≥abc. 綠色通道 不等式中出現(xiàn)平方和,而其他出現(xiàn)乘積結(jié)構(gòu),可從重要不等式入手用綜合法證明. 變式

8、訓(xùn)練 3.已知a+b+c=0,求證:ab+bc+ca≤0. 證明:∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0. ∴ab+bc+ac=≤0. 【例4】已知△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b.AB邊上的中線CD=m,求證:a2+b2=c2+2m2. 分析：從已知條件這些長度中可放入到兩個(gè)三角形中研究,這兩個(gè)三角形有一對角是互補(bǔ)關(guān)系,可利用三邊與這一角的關(guān)系即余弦定理解答. 證明：設(shè)∠ADC=θ,則∠BDC=π-θ. ∴cos∠BDC=cos(π-θ)=-cosθ=-cos∠ADC, 即. ∴. ∴+2m2=a2+b2成立.

9、 綠色通道 有關(guān)三角形的邊長問題常與正、余弦定理聯(lián)系. 變式訓(xùn)練 4.在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c,且A、B、C成等差數(shù)列,a、b、c成等比數(shù)列, 求證:△ABC為等邊三角形. 證明:因?yàn)锳、B、C為△ABC的內(nèi)角, 所以A+B+C=π.① 因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列, 所以2B=A+C.② 由①②,得B=.③ 由a、b、c成等比數(shù)列,有b2=ac.④ 由余弦定理及③,可得 b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac. 再由④,得a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0. 因此a=c,從而有A=C.⑤ 由②③⑤,得A=B=C=,所以△ABC為等邊三角形.