高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 3.1 函數(shù)的單調(diào)性與極值 3.1.2 函數(shù)的極值教材基礎(chǔ)素材 北師大版選修2-2（通用）

《高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 3.1 函數(shù)的單調(diào)性與極值 3.1.2 函數(shù)的極值教材基礎(chǔ)素材 北師大版選修2-2（通用）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 3.1 函數(shù)的單調(diào)性與極值 3.1.2 函數(shù)的極值教材基礎(chǔ)素材 北師大版選修2-2（通用）（3頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1.2 函數(shù)的極值 伴隨著社會進步和生產(chǎn)力的不斷發(fā)展,在工程技術(shù),科學(xué)研究,經(jīng)濟活動分析諸多領(lǐng)域都提出了大量最優(yōu)化問題.這些問題的本質(zhì)特征是:在一定的投入水平下,如何尋求最大的效益；或在設(shè)定的效益水平下,如何降低投入.刻畫這類問題的數(shù)學(xué)語言是:對于變量之間的函數(shù),當(dāng)自變量取何值時,函數(shù)變量的值能達到相對的最大或最小.這就是函數(shù)的極值,本節(jié)課就要學(xué)習(xí)如何利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值. 高手支招1細(xì)品教材 一、函數(shù)的極值 狀元筆記 極大值點與極小值點可以同時存在著若干個或一個都不存在;并且極大值點并不一定比極小值點的極值大. 1.極大值與極小值 (1)極大值:一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在點x0

2、附近有定義,如果對于x0附近的所有的點,都有f(x)＜f(x0),就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值,記作y極大值=f(x0),x0是極大值點. (2)極小值:一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義,如果對于x0附近的所有的點,都有f(x)＞f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值,記作y極小值=f(x0),x0是極小值點. 2.極值 極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點,極大值和極小值統(tǒng)稱為極值. 【示例1】 對于導(dǎo)函數(shù)f′(x)存在的函數(shù)f(x)上的點,在一點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號是這點為極值點的（ ） A.充分條件

3、 B.必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路分析:由極大、極小值的判別方法可以知道是充要條件.由極大值點的定義,對任意x＜x0,f(x)＜f(x0).所以左側(cè)是增函數(shù),所以f′(x)＞0;對任意x＞x0,f(x)＜f(x0).右側(cè)是減函數(shù),所以f′(x)＜0,所以x0兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號,當(dāng)x0是極小值點時,同樣可以證明. 答案:C 【示例2】函數(shù)f(x)=asinx+sin3x在x=處有極值,求a的值. 思路分析:∵f(x)在x=處有極值,根據(jù)一點是極值點的必

4、要條件可知,f′()=0,可求出a的值. 解:f′(x)=(asinx+sin3x)′=acosx+cos3x, ∵f′()=0,∴a·cos+cos(3×)=0,a-1=0,∴a=2. 二、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值 狀元筆記 若x0為f(x)的極值點,則f′(x0)=0.反之,導(dǎo)數(shù)為零的點不一定為極值點.因此導(dǎo)數(shù)為零僅是該點為極值點的必要條件. 1.當(dāng)函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x)存在時,判別f(x0)是極大(小)值的方法是: (1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0,右側(cè)f′(x)＜0,那么f(x0)是極大值. (2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0,右側(cè)f′(x)

5、＞0,那么,f(x0)是極小值. 2.當(dāng)f′(x)存在時，求函數(shù)f(x)的極值的步驟 (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)f′(x). (2)求方程f′(x)=0的根. (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點,順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個小開區(qū)間,并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號,如果左正右負(fù),那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個根處取得極小值;如果左右不改變符號,那么f(x)在這個根處無極值. 狀元筆記 f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)為0是f(x)在x0處取得極值的必要不充分條件. 【示例】求函數(shù)y=x4x2-1的極值. 思路分析:利用求極值的一般方法

6、步驟. 解:y′=x3-x,令y′=0,得x1=-1,x2=0,x3=1.將x、y及在相應(yīng)區(qū)間上y′的符號關(guān)系列表如下: X (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) y′ - 0 + 0 - 0 + y ↘ 極小值 ↗ 極大值-1 ↘ 極小值 ↗ 所以當(dāng)x=-1時,函數(shù)有極小值;當(dāng)x=0時,函數(shù)有極大值-1;當(dāng)x=1時,函數(shù)有極小值. 高手支招2基礎(chǔ)整理 本節(jié)學(xué)習(xí)了函數(shù)的極大值、極小值的定義、判別方法以及求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的三個步驟.要弄清函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的,在整個定義區(qū)間上可能有多個極值.可導(dǎo)函數(shù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點,要看這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否異號.函數(shù)的不可導(dǎo)點可能是極值點.