高考數(shù)學 第2講數(shù)形結(jié)合思想 新人教版（通用）

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1、 第2講　數(shù)形結(jié)合思想 感悟高考 明確考向 (2020·全國)已知函數(shù)f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是 (　　) A．(1,10)　　　B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24) 解析　作出f(x)的大致圖象． 由圖象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨設(shè)a

2、考查了解決問題的方法即數(shù)形結(jié)合的思想方法．體現(xiàn)了對知識和能力的雙重考查． 易錯提醒 (1)找不到問題解決的突破口．即想不到用數(shù)形結(jié)合． (2)f(x)的圖象的特征不清，忽視對(1,0)和(10,1)這兩個特殊點的分析． (3)不會借助圖形進行分析． 考題分析 本小題考查了分段函數(shù)的特征及性質(zhì)．考查了對數(shù)函數(shù)及其運算．重點考查了解決問題的方法即數(shù)形結(jié)合的思想方法．體現(xiàn)了對知識和能力的雙重考查． 易錯提醒(1)找不到問題解決的突破口．即想不到用數(shù)形結(jié)合． (2)f(x)的圖象的特征不清，忽視對(1,0)和(10,1)這兩個特殊點的分析． (3)不會借助圖形進行分析． 考題分析

3、 本小題考查了分段函數(shù)的特征及性質(zhì)．考查了對數(shù)函數(shù)及其運算．重點考查了解決問題的方法即數(shù)形結(jié)合的思想方法．體現(xiàn)了對知識和能力的雙重考查． 易錯提醒(1)找不到問題解決的突破口．即想不到用數(shù)形結(jié)合． (2)f(x)的圖象的特征不清，忽視對(1,0)和(10,1)這兩個特殊點的分析． (3)不會借助圖形進行分析． 思想方法概述 1． 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù) 輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性

4、，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)． 2．運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原 則： (1)等價性原則．在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞．有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負面效應(yīng)． (2)雙方性原則．既要進行幾何直觀分析，又要進行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分析容易出錯． (3)簡單性原則．不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合．具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；

5、三要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應(yīng)設(shè)法選擇動直線與定二次曲線． 3．數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種： (1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍； (2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍； (3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系； (4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式； (5)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題； (6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題； (7)構(gòu)建方程模型，求根的個數(shù)； (8)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等． 4．數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學試題的一

6、種常用方法 與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度．具體操作時，應(yīng)注意以下幾點： (1)準確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域； (2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式(有時可能先作適當調(diào)整，以便于作圖)，然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解． 5．在運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時，需做 到以下四點： (1)要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征； (2)要恰當設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；

7、(3)要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏； (4)精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，以便于問題求解． 很多數(shù)學概念都具有明顯的幾何意義，善于利用這些幾何意義，往往能收到事半功倍的效果． 題型一　數(shù)形結(jié)合思想在解決方程的根的個數(shù)、不等式解集的問題中的應(yīng)用 例1 (1)已知：函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系． ①f(x＋1)＝f(x－1)； ②當x∈[－1,1]時，f(x)＝x2. 則方程f(x)＝lg x解的個數(shù)是 (　　) A．5　　　　B．7　　　　C．9　　　　D．10 (2)設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，

8、且f(1)＝0，則不等式<0的解集為 (　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) (2)∵f(x)為奇函數(shù)， ∴f(x)－f(－x)＝2f(x) 畫出y＝2f(x)的大致圖象． 如圖，則f(x)與x異號的區(qū)間 如圖陰影所示， ∴解集為(－1,0)∪(0,1)，故選D. 探究提高 (1)用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式(

9、不熟悉時，需要作適當變形轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù)． (2)解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來解決不等式的解的問題，往往可以避免繁瑣的運算，獲得簡捷的解答． (3)函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降；奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對稱性；最值(值域)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點的縱坐標． 變式訓練1 已知f(x)是定義在(－3,3)上的奇函數(shù)，當 0

10、 (　　) A．(－3，－)∪(0,1)∪(，3) B．(－，－1)∪(0,1)∪(，3) C．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3) D．(－3，－)∪(0,1)∪(1,3) 解析　不等式f(x)cos x<0等價于 或 畫出f(x)在(－3,3)上的圖象，cos x 的圖象又熟知，運用數(shù)形結(jié)合，如圖所示，從“形”中找出圖象分別在x軸上、下部分的對應(yīng)“數(shù)”的區(qū)間為(－，－1)∪(0,1) ∪(，3)． 題型二　數(shù)形結(jié)合思想在求參數(shù)、代數(shù)式的取值范圍、 最值問題中的應(yīng)用 例2 已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2a|x|＋2x－a，若函數(shù) y＝

11、f(x)有且僅有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 __________________． 思維啟迪函數(shù)零點→方程的根→函數(shù)圖象交點→數(shù)形結(jié)合． 解析　易知a≠0，f(x)＝0，即2a|x|＋2x－a＝0， 變形得|x|－＝－x，分別畫出函數(shù)y1＝|x|－，y2＝－x的圖象(如圖所示)，由圖易知： 當0<－<1或－1<－<0時，y1和y2的圖象有兩個不同的交點， ∴當a<－1或a>1時，函數(shù)y＝f(x)有且僅有兩個零點， 即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 探究提高 解決函數(shù)的零點問題，通常是轉(zhuǎn)化為方程的根，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點問題．

12、在解決函數(shù)圖象的交點問題時，常用數(shù)形結(jié)合，以“形”助“數(shù)”，直觀簡潔． 變式訓練2 (2020·江西)若不等式≤k(x＋2)－ 的解集為區(qū)間[a，b]，且b－a＝2，則k＝____. 解析　令y1＝， y2＝k(x＋2)－，在同一個坐標系中 作出其圖象，因≤k(x＋2)－ 的解集為[a，b]且b－a＝2. 結(jié)合圖象知b＝3，a＝1，即直線與圓 的交點坐標為(1,2)． ∴k＝＝. 題型三　數(shù)形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用 例3 已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA、PB 是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最

13、小值． 思維啟迪 同一坐標系中畫出直線與圓． 作出圓的切線PA、PB，則四邊形PACB的 面積S四邊形PACB＝S△PAC＋S△PBC＝2S△PAC.把 S四邊形PACB轉(zhuǎn)化為2倍的S△PAC可以有以下多 條數(shù)形結(jié)合的思路． → → 解　方法一　從運動的觀點看問題，當動點P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下方無窮遠處運動時，直角三角形PAC的面積SRt△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時，S四邊形PACB變小，顯然，當點P到達一個最特殊的位置，即CP垂直直線時，S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最

14、小值，此時|PC|＝＝3， 從而|PA|＝＝2. ∴(S四邊形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2. 這是運動變化的思想幫助我們打開了解題的思路． 方法二　利用等價轉(zhuǎn)化的思想，設(shè)點P坐標為(x，y)，則 |PC|＝，由勾股定理及|AC|＝1，得 |PA|＝＝，從而 S四邊形PACB＝2S△PAC＝2·|PA|·|AC|＝|PA|＝， 從而欲求S四邊形PACB的最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|2＝(x－1)2＋(y－1)2的最小值，即定點C(1,1)與直線上動點P(x，y)距離的平方的最小值，它也就是點C(1,1)到直線3x＋4y＋8＝0的距離的平方，這個

15、最小值d2＝()2＝9， ∴(S四邊形PACB)min＝＝2. 方法三　利用函數(shù)思想，將方法二中S四邊形PACB＝中的y由3x＋4y＋8＝0中解出，代入化為關(guān)于x的一元函數(shù)，進而用配方法求最值，也可得(S四邊形PACB)min＝2. 探究提高 本題的解答運用了多種數(shù)學思想方法：數(shù)形結(jié)合思想，運動變化的思想，等價轉(zhuǎn)化的思想以及配方法，靈活運用數(shù)學思想方法，能使數(shù)學問題快速得以解決． 變式訓練3 已知點P在拋物線y2＝4x上，那么點P到點Q(2，－1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為 (　　) A．(，－1)　　　　　B．(，1)

16、 C．(1,2) D．(1，－2) 解析　定點Q(2，－1)在拋物線內(nèi)部， 由拋物線的定義知，動點P到拋物線 焦點的距離等于它到準線的距離，問 題轉(zhuǎn)化為當點P到點Q和到拋物線的 準線距離之和最小時，求點P的坐標， 顯然點P是直線y＝－1和拋物線y2＝4x的交點，解得這個點的坐標是(，－1)． 律方法總結(jié) 1．利用數(shù)形結(jié)合解題，只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象． 2．數(shù)形結(jié)合思想是解決高考數(shù)學試題的一種常用方法 與技巧，特別在解選擇題、填空題時更方便，可以提高解題速度． 3．數(shù)形結(jié)合思想常用模型： 一次、二次函數(shù)圖象；斜率公式

17、；兩點間的距離公式(或向量的模、復(fù)數(shù)的模)，點到直線的距離公式等. 知能提升演練 一、選擇題 1．設(shè)全集I是實數(shù)集R.M＝{x|x2>4}與N＝{x|≥1} 都是I的子集(如圖所示)，則陰影部分所表示的集合 為 (　　) A．{x|x<2} B．{x|－2≤x<1} C．{x|1

18、－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　方法一　因為f(x0)＞1，當x≤0時， －1＞1, ＞2，－x0＞1，∴x0＜－1；當x0＞0 時， ＞1，∴x0＞1. 綜上，x0的取值范圍為(－∞，－1)∪(1，＋∞) 方法二　首先畫出函數(shù)y＝f(x)與y＝1的圖象(如圖)，解方程f(x)＝1，得x＝－1，或x＝1.由圖中易得 f(x0)＞1時，所對應(yīng)x0的取值范圍為(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 3．定義在R上的偶函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當 x∈[3,4]時，f(x)＝x－2，則 (　　) A．f(sin)

19、 B．f(sin)>f(cos) C．f(sin 1)f(cos) 解析　由f(x)＝f(x＋2)知T＝2為f(x)的一個周期，設(shè)x∈[－1,0]，知x＋4∈[3,4]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4－2＝x＋2，畫出函數(shù)f(x)的圖象， 如圖所示： sinf(cos)； sin>cos?f(sin)cos 1?f(sin 1)cos?f(sin)

20、4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是 (　　) A．2 B．3 C. D. 解析　記拋物線y2＝4x的焦點為F，則 F(1,0)，注意到直線l2：x＝－1是拋物線 y2＝4x的準線，于是拋物線y2＝4x上的 動點P到直線l2的距離等于|PF|，問題即 轉(zhuǎn)化為求拋物線y2＝4x上的動點P到直線 l1：4x－3y＋6＝0的距離與它到焦點F(1,0)的距離之和的最小值，結(jié)合圖形，可知，該最小值等于焦點F(1,0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，即等于＝2，故選A. 5．不

21、等式x2－logax<0，在x∈(0，)時恒成立，則a的 取值范圍是 (　　) A．01 D．0

22、|FF′|·h≤bc. 當A與短軸端點重合時，(S△ABF)max＝bc. 7．y＝f(x)＝，若不等式f(x)≥2x －m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是____________． 解析　在平面直角坐標系中作出函數(shù)y＝2x－m及y＝f(x)的圖象(如圖)，由于不等式f(x)≥2x－m恒成立，所以函數(shù)y＝2x－m的圖象應(yīng)總在函數(shù)y＝f(x)的圖象的下方，因此，當x＝－2時，y＝－4－m≤0，所以m≥－4，所以m的取值范圍是[－4，＋∞)． 8．函數(shù)f(θ)＝的最大值為________． 解析　可以與兩點連線的斜率聯(lián)系起來，它實際上是點P(cos θ，sin θ)與點A(－，0)

23、連線的斜率，而點P(cos θ，sin θ)在單位圓上移動，問題變?yōu)椋呵髥挝粓A上的點與A(－，0)連線斜率的最大值．如圖，顯然，當P點移動到B點(此時，AB與圓相切)時，AP的斜率最大，最大值為tan∠BAO＝＝1. 三、解答題 9．不等式x2＋|2x－4|≥p對所有x都成立，求實數(shù)p的 最大值． 三、解答題 9．不等式x2＋|2x－4|≥p對所有x都成立，求實數(shù)p的最大值．構(gòu)造函數(shù)f(x)＝|x－2|，g(x)＝－＋ ，解不等式f(x)≥g(x)，即確定使函數(shù) y＝f(x)的圖象在函數(shù)y＝g(x)“上方”的 點的橫坐標x的取值范圍，而本題是已知 這個范圍對一切x成立，求

24、p的最大值． 如圖，y＝－＋的圖象可以由y＝－的圖象的頂點在y軸上下移動而得，滿足題目條件的解應(yīng)為y＝|x－2|的圖象在y＝－＋的圖象上方的極端情況． 只有一解． ∴－＋＝2－x， 即x2－2x－(p－4)＝0，Δ＝4＋4(p－4)＝0，p＝3. 即p的最大值為3. 10．已知實系數(shù)一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有兩個根， 一個根在區(qū)間(0,1)內(nèi)，另一個根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求： (1)點(a，b)對應(yīng)的區(qū)域的面積； (2)的取值范圍； (3)(a－1)2＋(b－2)2的值域． 解　方程x2＋ax＋2b＝0的兩根在區(qū)間(0,1)和(1,2)上的幾何意義分別是：函數(shù)y＝

25、f(x)＝x2＋ax＋2b與x軸的兩個交點的橫坐標分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi)， 由此可得不等式組? 由解得A(－3,1)． 由解得B(－2,0)， 由解得C(－1,0)． ∴在如圖所示的aOb坐標平面內(nèi)，滿足 約束條件的點(a，b)對應(yīng)的平面區(qū)域為 △ABC(不包括邊界)． (1)△ABC的面積為S△ABC＝×|BC|×h＝(h為A到Oa軸的距離)． (2)幾何意義是點(a，b)和點D(1,2)連線的斜率． ∵kAD＝＝，kCD＝＝1， 由圖可知kAD<