高中數(shù)學(xué) 平面向量的數(shù)量積教案

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1、第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積 考綱解讀 1、 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。 2、 了解平面向量數(shù)量積的與向量投影的關(guān)系。 3、 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。 4、 能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。 考點(diǎn)梳理 1．平面向量的數(shù)量積 (1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 . 向量的投影：︱︱cos=∈R，稱(chēng)為向量在方向上的投影。投影的絕對(duì)值稱(chēng)

2、為射影； (2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a方向上的投影 的乘積． 2．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝ ＝ ．λ∈R； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3．平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 夾角 與 的關(guān)系 基礎(chǔ)自測(cè) 1、設(shè)、、是任意的非零平面向量,且相互不共線,則 ①（

3、·）－（·）= ②||－||<|－| ③（·）－（·）不與垂直 ④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命題的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 2、| |=1，| |=2，= + ，且⊥，則向量與的夾角為 （ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 3、已知向量與的夾角為，則等于（ ） A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．1 4.（11年遼寧)已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a·（2a-b）=0，則k=（ ） （A）-12 （B）-

4、6 （C）6 （D）12 5.已知向量滿(mǎn)足，與的夾角為，則在上的投影為 題型一：數(shù)量積的概念及運(yùn)算 例1．判斷下列各命題正確與否： （1）； （2）； （3）若，則； （4）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立； （5）對(duì)任意向量都成立； （6）對(duì)任意向量，有。 變式1． （1） 已知△中，過(guò)重心的直線交邊于，交邊于， ，，則 題型二：向量的夾角與模 例2．（1）過(guò)△ABC的重心任作一直線分別交AB，AC于點(diǎn)D、E．若，，，則的值為（ ） （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 （2）已知向量=(

5、cos,sin),=(cos,sin),且，那么與的夾角的大小是 。 （3）已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角。 變式2．（1）（09遼寧）平面向量a與b的夾角為，a＝(2,0), | b |＝1，則 | a＋2b |等于 A. B.2 C.4 D.12 題型三平面向量的垂直問(wèn)題 例3.已知平面向量， （1）證明：； （2）若存在不同時(shí)為的實(shí)數(shù)和，使,且，試求函數(shù)關(guān)系式. 變式3、設(shè)向量滿(mǎn)足若,求的值

6、 題型四 數(shù)量積的綜合應(yīng)用 例4（看80頁(yè)例4）已知，，其中． (1)求證： 與互相垂直； (2)若與的長(zhǎng)度相等，求的值(為非零的常數(shù))． 變式4 已知，函數(shù) （1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）若，求的值。 課后作業(yè) 一、選擇題 1．(2020·廣東)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)滿(mǎn)足條件(8a－b)·c＝30，則x＝(　　) A．6　　 　　B．5　　 　　C．4　　 　　D．3 2．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b與a垂直，則λ＝(　　) A．－1 B．1 C

7、．－2 D．2 3.（2020年全國(guó)卷文科3)設(shè)向量滿(mǎn)足||=||=1, ,則 （A） （B） （C） （D） 4．設(shè)非零向量a、b、c滿(mǎn)足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，則〈a，b〉＝(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° 5．設(shè)A(a,1)、B(2，b)、C(4,5)為坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若與在方向上的投影相同，則a與b滿(mǎn)足的關(guān)系式為(　　) A．4a－5b＝3 B．5a－4b＝3 C．4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14

8、二、填空題 6．已知向量a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，則|a－b|的最大值為_(kāi)_______． 7．關(guān)于平面向量a，b，c，有下列三個(gè)命題： ①若a∥b且a∥c，則b∥c. ②若a＝(2，k)，b＝(－2,6)，a∥b，則k＝－6. ③非零向量a和b滿(mǎn)足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為30°. 其中真命題的序號(hào)為_(kāi)_______(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))． 8．|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，則向量a與向量b的夾角是________． 三、解答題 9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1

9、)． (1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)； (2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿(mǎn)足(－t)·＝0，求t的值． 10．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)． (1)若·＝－1，求sin(α＋)的值； (2)若|＋|＝，且α∈(0，π)，求與的夾角． 一、選擇題: 4．（2020年重慶卷文科5)已知向量共線，那么的值為 A．1 B．2 C．3 D．4 5．(11年廣東)已知向量，若為實(shí)數(shù)，，則= A． B． C． D

10、． 二、填空題： 5. （2020年海南卷文科13)已知與為兩個(gè)不共線的單位向量,k為實(shí)數(shù),若向量與向量垂直,則 . 6. （2020年福建卷文科13)若向量a=（1,1），b（-1,2），則a·b等于_____________. 7. （2020年四川卷文科7)如圖，正六邊形ABCDEF中，= (A)0 (B) (C) (D) 8．（2020年湖南卷文科13)設(shè)向量滿(mǎn)足且的方向相反，則的坐標(biāo)為 ． 9．（2020年湖北卷文科2)若向量，則與的夾角等于 A. B. C. D. 10.（2020年浙江卷文科15)若平面向量α、β?滿(mǎn)足，且以向量α、

11、β為鄰邊的 平行四邊形的面積為，則α和β的夾角θ取值范圍是___。 11. (2020年天津卷文科14)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為 . 12.(2020年江蘇卷10)已知是夾角為的兩個(gè)單位向量， 若，則k的值為 . 例3、求與向量=，-1）和=（1，）夾角相等，且模為的向量的坐標(biāo)。 分析： 用解方程組思想 法一：設(shè)=（x，y），則·=x-y，·=x+y ∵ <，>=<，> ∴ ∴ 即 ① 又||= ∴ x2+y2=2 ② 由①②得 或（舍） ∴= 法二：從分析形的特征著手 ∵ ||=||=2 ·=0 ∴ △AOB為等腰直角三角形，如圖 ∵ ||=，∠AOC=∠BOC ∴ C為AB中點(diǎn) ∴ C（） 說(shuō)明：數(shù)形結(jié)合是學(xué)好向量的重要思想方法，分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡(jiǎn)化計(jì)算。