陜西省吳堡縣吳堡中學高中數(shù)學 第二章 三角形中的有關問題典例例題素材 北師大版必修5（通用）

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1、解三角形 三角形中的有關問題 1．正弦定理： 利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題： ⑴ 已知兩角和一邊，求其他兩邊和一角； ⑵ 已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，從而進一步求出其他的邊和角． 2．余弦定理： 利用余弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題． ⑴ 已知三邊，求三角； ⑵ 已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個角． 3．三角形的面積公式： 典型例題 例1. 在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求角A、C及邊c． 解

2、 A1＝60° C1＝75° c1＝ A2＝120° C2＝15° c2＝ 變式訓練1：(1)的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則 （ ） A． B． C． D． 解：B 提示：利用余弦定理 （2）在△ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是 （ ） A. B. C. D. 解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角時，若已知小角求大角，則有兩解；若已知大角求小角，則只有一解 （3）在△ABC中，已知，，則的值為（ ）

3、 A B C 或 D 解：A 提示:在△ABC中，由 知角B為銳角 （4）若鈍角三角形三邊長為、、，則的取值范圍是 ． 解： 提示：由可得 （5）在△ABC中，= ． 解：提示：由面積公式可求得，由余弦定理可求得 例2. 在△ABC中，若 sinA＝2sinB cos C， sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀． 解：sinA＝2sinBcosC sin(B＋C)＝2sinBcosC sin(B－C)＝0B＝C sin2A＝sin2B＋sin2Ca2＝b2＋c2 ∠A＝9

4、0° ∴ △ABC是等腰直角三角形。 變式訓練2：在△ABC中，sinA=，判斷這個三角形的形狀. 解：應用正弦定理、余弦定理，可得 a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形. 例3. 已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C． 解：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0， 所以sinB(sin

5、A－cosA)＝0 ∵B∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA＝sinA，由A∈(0, π)，知A＝從而B＋C＝，由sinB＋cos2C＝0得sinB＋cos2(－B)＝0 cos＝(－2B)＝cos[2π－(＋2B)]＝cos(＋2B)＝－sin2B 得sinB－sin2B＝0，亦即sinB－2sinBcosB＝0，由此各cosB＝，B＝，C＝ ∴A＝ B＝ C＝ 變式訓練3：已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圓半徑為. （1）求∠C； （2）求△ABC面積的最大值. 解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b

6、）·sinB得 2（－）=（a－b）. 又∵R=，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC==. 又∵0°＜C＜180°，∴C=60°. （2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A） =2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A =sin2A－cos2A+=sin（2A－30°）+. ∴當2A=120°，即A=60°時，Smax=. 例4. 如圖，已知△ABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點，線段MN經(jīng)過△ABC的中心G．設∠MGA＝()． (1)試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S1與S2）表示為的函數(shù)； (2)求y＝的最大值與最小值． 解 (1) AG＝，∠ 由正弦定理得， A N C B D M G （ ， (2) ∵∴當 當 變式訓練4：在在△ABC中，所對的邊分別為，，且 （1）求的值； （2）若，求的最大值； 解：（1）因為，故 （2） 又，當且僅當時， ，故的最大值是