陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 等比數(shù)列與等差數(shù)列概念及性質(zhì)對(duì)比典型例題素材 北師大版必修5（通用）

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1、等比數(shù)列與等差數(shù)列概念及性質(zhì)對(duì)比 1．?dāng)?shù)列的定義 顧名思義，數(shù)列就是數(shù)的序列，嚴(yán)格地說(shuō)，按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列． 數(shù)列的基本特征是：構(gòu)成數(shù)列的這些數(shù)是有序的． 數(shù)列和數(shù)集雖然是兩個(gè)不同的概念，但它們既有區(qū)別，又有聯(lián)系．?dāng)?shù)列又是一類特殊的函數(shù)． 2．等差數(shù)列的定義 顧名思義，等差數(shù)列就是“差相等”的數(shù)列．嚴(yán)格地說(shuō)，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列，叫做等差數(shù)列． 這個(gè)定義的要點(diǎn)有兩個(gè)：一是“從第2項(xiàng)起”，二是“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)”．這兩個(gè)要點(diǎn)，刻畫(huà)了等差數(shù)列的本質(zhì)． 3．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是：an= a1＋（n

2、－1）d ． ① 這個(gè)通項(xiàng)公式既可看成是含有某些未知數(shù)的方程，又可將an看作關(guān)于變量n的函數(shù)，這為我們利用函數(shù)和方程的思想求解問(wèn)題提供了工具． 從發(fā)展的角度看，將通項(xiàng)公式①進(jìn)行推廣，可獲得更加廣義的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)，并由此揭示等差數(shù)列公差的幾何意義，同時(shí)也可揭示在等差數(shù)列中，當(dāng)某兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)和等于另兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)和時(shí)，這四項(xiàng)之間的關(guān)系． 4．等差中項(xiàng) A稱作a與b的等差中項(xiàng)是指三數(shù)a，A，b成等差數(shù)列．其數(shù)學(xué)表示是： ，或2 A=a＋b． 顯然A是a和b的算術(shù)平均值． 2 A=a＋b（或）是判斷三數(shù)a，A，b成等差數(shù)列的一個(gè)依據(jù)，并且，2 A

3、=a＋b（或）是a，A，b成等差數(shù)列的充要條件．由此得，等差數(shù)列中從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等差數(shù)列末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)． 值得指出的是，雖然用2A=a＋b（或）可同時(shí)判定A是a與b的等差中項(xiàng)及A是b與a的等差中項(xiàng)，但兩者的意義是不一樣的，因?yàn)榈炔顢?shù)列a，A，b與等差數(shù)列b，A，a不是同一個(gè)數(shù)列． 5．等差數(shù)列前n項(xiàng)的和 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式是：， ① 或 ② 公式①和②均可看作方程．事實(shí)上，公式①和②中均含有四個(gè)量，若知其中任意三個(gè)量的值，便可通過(guò)解方程的辦法求一個(gè)量的值．若將前n項(xiàng)和的公式與

4、通項(xiàng)公式結(jié)合起來(lái)看，共有五個(gè)量，通常知道其中的任意三個(gè)量的值，通過(guò)解方程組就可求出其余的兩個(gè)量的值． 公式①的結(jié)構(gòu)形式與梯形的面積公式是一致的，這可由教材中碼放鋼管的示意圖得到印證． 公式②中的也可看作關(guān)于變量n的二次式（d≠0時(shí)），其圖像是在二次函數(shù)：的圖像上當(dāng)x取1，2，3，…時(shí)所對(duì)應(yīng)的那群孤立點(diǎn)．這為我們利用函數(shù)的觀點(diǎn)求解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值或最小值問(wèn)題提供了直觀的背景． 6．等比數(shù)列的定義 顧名思義，等比數(shù)列就是“比值相等”的數(shù)列．嚴(yán)格地說(shuō)，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列，叫做等比數(shù)列． 和等差數(shù)列類似，這個(gè)定義也有兩個(gè)要點(diǎn)：一是“從第2項(xiàng)起”，二是

5、“每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)”．它們刻畫(huà)了等比數(shù)列的本質(zhì)． 7．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是：an= a1qn－1． ① 這里，一方面，可將an看作是n的函數(shù)，另一方面公式本身也可視為一個(gè)方程．從發(fā)展的角度看，將公式①進(jìn)行適當(dāng)推廣，便可得更加廣義的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)． 8．等比中項(xiàng) G稱作a與b的等比中項(xiàng)是指三數(shù)a，G，b，成等比數(shù)列．其數(shù)學(xué)表示是 ，或 G2=ab． 顯然，只有同兩數(shù)才有等比中項(xiàng)；若兩數(shù)有等比中項(xiàng)，若兩數(shù)有等比中項(xiàng)，則必有兩個(gè)，它們是一對(duì)互為相反數(shù)；一個(gè)等比數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等比數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)． 9．等比數(shù)列前n項(xiàng)的和 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式是： 公式可視為一個(gè)方程，它含有四個(gè)量．若已知其中任意三個(gè)量的值，便可通過(guò)解方程求出另一個(gè)量的值． 公式 即． 從函數(shù)的觀點(diǎn)看，Sn是關(guān)于qn的一次式， 因此點(diǎn)（qn，Sn）在直線上．