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1、數(shù)列定義在解題中的潛在功能
高考作為一種選拔性考試，在重視基礎(chǔ)知識考查的同時，更加重視對應(yīng)用能力的考查.作為中學數(shù)學的重點內(nèi)容之一，等差（比）數(shù)列一直是高考考查時重點，特別是近幾年，有關(guān)數(shù)列的高考綜合題，幾乎都與等差（比）數(shù)列有關(guān).這里我們感興趣的是等差（比）數(shù)列的定義在解題中的潛在功能，即遇到數(shù)列問題，特別是證明通項為and 或前n項和首先要證明它是等差（比）數(shù)列，必要時再進行適當轉(zhuǎn)化，即將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差（比）數(shù)列.
例1.設(shè)等差數(shù)列的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（ ）.
（A）130 （B）170 （C）210
2、 （D）260
解 若等差數(shù)列前m項、次m項、又次m項和分別為S1，S2，S3，則S1，S2，S3也成等差數(shù)列.事實上，
所以S1，S2，S3成等差數(shù)列.
因為30，70，S3m－100成等差數(shù)列，所以30+S3m－100=140，即S3m=210.故應(yīng)選（C）.
例2.設(shè)｛an｝是等差數(shù)列，，已知，求等差數(shù)列的通項公式.
解 ∵｛an｝成等差數(shù)列，∴｛bn｝成等比數(shù)列,∴=b1b3.由b1b2b3=,得b2=.
從而有b1+b3= ,b1b3=.
∴b1,b3是方程x2－+兩根.解得或，
∴a1=－1,d=2或a1=3,d=－2.
故an=a
3、1+(n－1)d=2n－3或an=5－2n.
例3.一個數(shù)列｛an｝,當n為奇數(shù)時, an=5n+1;當n為偶數(shù)時,an=2,求這個數(shù)列的前2m項的和.
解:∵a1,a3,a5,…，a2m－1成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，
∴S2m=
.
例4.設(shè)數(shù)列前n項和Sn與an的關(guān)系是（其中k是與n無關(guān)的常數(shù)，且k≠1）.
（1）試寫出由n,k表示的an的表達式；（2）若，求k的取值范圍.
解：（1）當n=1時，由,得
當n≥2時，由，得
.
若k=0，則an=1(n=1)或an=0(n≥2).
若k≠0,則｛an｝是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.
（2）∵，∴＜1，解得k＜.
4、例5.已知數(shù)列｛an｝的前n項和的公式是.
（1）求證：｛an｝是等差數(shù)列，并求出它的首項和公差；
（2）記，求證：對任意自然數(shù)n，都有.
證明：（1）當n=1時，；當n≥2時，
=.
∴
∴｛an｝是首項為，公差為的等差數(shù)列.
（2）只要證明｛bn｝是首項為,公比為－1的等比數(shù)列.
，和
∴{bn}是首項為，公比為－1的等比數(shù)列，∴.
例6.設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對于所有自然數(shù)n,an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.
（1）寫出數(shù)列{an}的前3項；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式（寫出推證過程）；
（3）令，求
解 （
5、1）∵
，得＞0；，
解得：＞0)；，解得：＞0).
（2）當n≥2時，，
即，即.
.
＞0,.{an}是首項為2，公差為4的等差數(shù)列，
∴.
（3），
.
例7.已知數(shù)列{an}滿足條件：＞0），且{anan－1}是公比為q(q＞0)的等比數(shù)列.設(shè).
（1）求出使不等式＞成立的q的取值范圍；
（2）求bn和，其中；
（3）設(shè)，求數(shù)列的最大項和最小項的值.
解： （1）＞＞0，q＞0,＜0,∴0＜q＜ .
（2）.
又是首項為1+r，公比為q的等比數(shù)列，.
（3）.
記，則有≤≤c21.
故{cn}的最大項為c21=2.25，最小項為c20=－4.
6、
例8.設(shè)An為數(shù)列{an}前n項的和，數(shù)列{bn}的通項公式為
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若，則稱d為數(shù)列{an}與{bn}的公共項.將數(shù)列{an}與{bn}的公共項，按它們在原數(shù)列中的先后順序排成一個新的數(shù)列{dn}，證明數(shù)列{dn}的通項是
（3）設(shè)數(shù)列{dn}中的第n項是數(shù)列{bn}中的第r項，Br為數(shù)列{bn}前r項的和，Dn為數(shù)列{dn}前n項的和，Tn=Br－Dn，求
解: （1）當n=1時，由,得a1=3;
當n≥2時，由,得≥2)
∴{an}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，故
（2）證{dn}是等比數(shù)列.
顯然d1=a3=27,設(shè)ai=3k是數(shù)列{bn}中的第m項，則.
;
不是數(shù)列{bn}中的項.而
是數(shù)列{bn}中的第m+1項.
,∴{dn}是首項為27，公比為9的等比數(shù)列.
（3）由題意，
又
.
故.
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