江蘇省白蒲中學2020高二數(shù)學 極限與導數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性與極值教案 蘇教版

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1、函數(shù)的單調(diào)性與極值 教學目標：正確理解利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的原理； 掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法； 教學重點：利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性； 教學難點：利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性 教學過程： 一 引入： 以前，我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性.在假設x1

2、率為正，函數(shù)y=f(x)的值隨著x的增大而增大，即>0時，函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間（2，）內(nèi)為增函數(shù)；在區(qū)間（，2）內(nèi)，切線的斜率為負，函數(shù)y=f(x)的值隨著x的增大而減小，即0時，函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間（，2）內(nèi)為減函數(shù). 定義：一般地，設函數(shù)y=f(x) 在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)>0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；，如果在這個區(qū)間內(nèi)<0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)。 例1 確定函數(shù)在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)。 y 例2 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 x 0 2 2 極大值與極小值 觀察例2的圖可

3、以看出，函數(shù)在X=0的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都大，我們說f(0)是函數(shù)的一個極大值；函數(shù)在X=2的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都小，我們說f(0)是函數(shù)的一個極小值。 一般地，設函數(shù)y=f(x)在及其附近有定義，如果的值比附近所有各點的函數(shù)值都大，我們說f()是函數(shù)y=f(x)的一個極大值；如果的值比附近所有各點的函數(shù)值都小，我們說f()是函數(shù)y=f(x)的一個極小值。極大值與極小值統(tǒng)稱極值。 在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值。請注意以下幾點： （?。O值是一個局部概念。由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小。并不

4、意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小。 （ⅱ）函數(shù)的極值不是唯一的。即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個。 o a X1 X2 X3 X4 b a x y （ⅲ）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系。即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而>。 （ⅳ）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點。而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點。 由上圖可以看出，在函數(shù)取得極值處，如果曲線有切線的話，則切線是水平的，從而有。但反過

5、來不一定。如函數(shù)，在處，曲線的切線是水平的，但這點的函數(shù)值既不比它附近的點的函數(shù)值大，也不比它附近的點的函數(shù)值小。假設使，那么在什么情況下是的極值點呢？ o a X0 b a x y o a X0 b a x y 如上左圖所示，若是的極大值點，則兩側(cè)附近點的函數(shù)值必須小于。因此，的左側(cè)附近只能是增函數(shù)，即。的右側(cè)附近只能是減函數(shù)，即，同理，如上右圖所示，若是極小值點，則在的左側(cè)附近只能是減函數(shù)，即，在的右側(cè)

6、附近只能是增函數(shù)，即，從而我們得出結(jié)論：若滿足，且在的兩側(cè)的導數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值。 x o y 例3 求函數(shù)的極值。 三 小結(jié) 1求極值常按如下步驟： ① 確定函數(shù)的定義域； ② 求導數(shù)； ③ 求方程=0的根，這些根也稱為可能極值點； ④ 檢查在方程的根的左右兩側(cè)的符號，確定極值點。(最好通過列表法) 四 鞏固練習 1 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： （1） （2） 2 求下列函數(shù)的極值 （1） （2） （3） （4） 五 課堂作業(yè) 1 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： （1） （2） （3） （4） 2 求下列函數(shù)的極值 （1） （2） （3） （4） （5） （6）