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1、2020高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 不等式恒成立問題的幾種求解策略
不等式恒成立問題，把不等式、函數(shù)、數(shù)列、幾何等有機(jī)地結(jié)合起來，覆蓋知識點(diǎn)多，方法多種多樣，是近幾年數(shù)學(xué)高考、競賽中考查的熱點(diǎn)。但同學(xué)們對解決此類問題往往感到無從下手，得分率偏低。為此就這類問題的解題策略作一探討共同學(xué)們參考。
一、數(shù)形結(jié)合思想
例1 （2002年全國高考題）已知a>0，函數(shù)f(x)=ax-bx2.
(1)當(dāng)b>0時(shí)，若對任意x∈R,都有f(x)≤1,證明：a≤2；
(2)當(dāng)b>1時(shí)，證明：對任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2;
（3）當(dāng)0< b<1時(shí),討論:對任意x∈[0,1]
2、,|f(x)|≤1的充要條件.
證明（1）由已知ax-bx2≤1,得bx2-ax+1≥0.
要使bx2-ax+1≥0對任意x∈R恒成立，結(jié)合拋物線圖象（如圖1），可知，只需△=a2-4b≤0,∴a<2.
(2)|f(x)|≤1-1≤f(x)≤1.
結(jié)合拋物線圖象（如圖2，3），可知|f(x)|≤1的充要條件是
當(dāng)b>1時(shí)，2b>b+1，（II）無解。又由b>1，有b>≤,2b>2,∴由(1)得b-1≤a≤2√b
∴|f(x)|≤1b-1≤a≤2√b
(3)因?yàn)閍>0,0
3、 ≥-1
∵f(x) ≤1 ∴f(1) ≤1 ∴a-b≤1 ∴a≤b+1
∴當(dāng)a>0,0
4、圖象的對稱軸為
∵a<1, ∴,結(jié)合拋物線圖象知
要使②式對一切x∈R恒成立，只需
即2-a≤a2, ∴a≤-2.
例3 （2020年全國高考題）設(shè)a為常數(shù)，且an=3n-1-2an-1(n∈N*).
(1)證明：對任意n≥1,
(2)假設(shè)對任意 n≥1有a>a,求a的取值范圍.
解(1)略
(2)由(1)知
而 ①
1．當(dāng)n=2k-1時(shí)，①式為即 ②
令要使②式對一切k∈N*都成立，只需
2. 當(dāng)n=2k時(shí)，①式為即 ③
令,要使③式對一切k∈N*都成立，只需
綜上，①式對任意n∈N*都成立，有即a0的取值范圍
評注 （1）對于
5、不等式恒成立條件下求參數(shù)取值范圍問題，常常把所求參數(shù)從不等式的主元中分離出來，利用函數(shù)的值域或最值求得問題的解。如例2把參數(shù)a從主元x中分離出來；例3把參數(shù)a從主元n中分離出來。
（2）此題運(yùn)用了結(jié)論：
f(x)a恒成立
三、取特殊值
例4 同例3（2）。
解 假設(shè)對任意n∈N*,有an>an-1,則取n=1,2有
下面證明當(dāng)時(shí)，對任意n∈N*有an-an-1>0.
由通項(xiàng)公式得
(1)當(dāng)n=2k-1時(shí)，
(2)當(dāng)n=2k時(shí)，
故a0的取值范圍為（0，）。
例5．（07年高考）已知函數(shù)f(x)=e-e, f(x) ≥ax對x≥0恒
6、成立,求a的取值范圍.
解:令g(x)=f(x)-ax g(x)= e-e-a
(1)若a≤2則x≥0時(shí)g(x)= e-e-a>2-a≥0 ∴g(x)在x≥0時(shí)為增函數(shù)
∴g(x)≥g(0)=0 即f(x) ≥ax
(2)若a>2∵方程g(x)=0的正根為ln
此時(shí),若x∈(0,x)則g(x)<0 , g(x)在該區(qū)間為減函數(shù).
∴ x∈(0,x)時(shí)g(x)
7、 對|m|≤2的一切實(shí)數(shù)m，求使不等式2x-1>m(x2-1)都成立的x的取值范圍。
解 原不等式等價(jià)于不等式
(x2-1)m -(2x-1)<0.
設(shè)f(m)=(x2-1)m-(2x-1),則原問題轉(zhuǎn)化成求一次函數(shù)f(m)或常函數(shù)在[-2，2]內(nèi)恒為負(fù)值時(shí)，x取值范圍。
（1）當(dāng)x2-1=0時(shí)，x=±1.
當(dāng)x=1時(shí)，f(m)<0恒成立，
當(dāng)x=-1時(shí)，f(m)<0不成立。
（2）當(dāng)x2-1≠0時(shí)，由一次函數(shù)單調(diào)性知
綜上，所求的
評注 本題的關(guān)鍵是變元，構(gòu)造m的一次函數(shù)或常函數(shù)，利用一次函數(shù)單調(diào)性順利求解，從而避免了解關(guān)于x的不等式mx2-2x+1<0的大討論。
練習(xí):1.設(shè)f(x)=e-kx,若k>0對任意x∈R,f(|x|)>0恒成立,試求k的取值范圍.
2.設(shè)0≤<1,且對x≥R恒有ax+2bx-2b<0 (a<0)成立,求k的最小值.
3.若x+ax+1≥0對一切x∈(0,)成立,求a的最小值.
2020高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 不等式恒成立問題的幾種求解策略
