2020高中數(shù)學(xué) 2-3數(shù)學(xué)歸納法同步檢測(cè) 新人教B版選修2-2

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1、選修2-2 2. 3數(shù)學(xué)歸納法 一、選擇題 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+1)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式(  ) A.1+<2       B.1++<2 C.1++<3 D.1+++<3 [答案] B [解析] ∵n∈N*,n>1,∴n取第一個(gè)自然數(shù)為2,左端分母最大的項(xiàng)為=,故選B. 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+…+an+1=(n∈N*,a≠1),在驗(yàn)證n=1時(shí),左邊所得的項(xiàng)為(  ) A.1 B.1+a+a2 C.1+a D.1+a+a2+a3 [答案] B [解析] 因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí),an+1=a2,所以此時(shí)式子左邊=1+a+a

2、2.故應(yīng)選B. 3.設(shè)f(n)=++…+(n∈N*),那么f(n+1)-f(n)等于(  ) A. B. C.+ D.- [答案] D [解析] f(n+1)-f(n) = -=+- =-. 4.某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān),若n=k(k∈N*)時(shí),該命題成立,那么可推得n=k+1時(shí)該命題也成立.現(xiàn)在已知當(dāng)n=5時(shí),該命題不成立,那么可推得(  ) A.當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立 B.當(dāng)n=6時(shí)該命題成立 C.當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立 D.當(dāng)n=4時(shí)該命題成立 [答案] C [解析] 原命題正確,則逆否命題正確.故應(yīng)選C. 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí),xn

3、+yn能被x+y整除”,在第二步的證明時(shí),正確的證法是(  ) A.假設(shè)n=k(k∈N*),證明n=k+1時(shí)命題也成立 B.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+1時(shí)命題也成立 C.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+2時(shí)命題也成立 D.假設(shè)n=2k+1(k∈N),證明n=k+1時(shí)命題也成立 [答案] C [解析] ∵n為正奇數(shù),當(dāng)n=k時(shí),k下面第一個(gè)正奇數(shù)應(yīng)為k+2,而非k+1.故應(yīng)選C. 6.凸n邊形有f(n)條對(duì)角線,則凸n+1邊形對(duì)角線的條數(shù)f(n+1)為(  ) A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 [答案] 

4、C [解析] 增加一個(gè)頂點(diǎn),就增加n+1-3條對(duì)角線,另外原來的一邊也變成了對(duì)角線,故f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故應(yīng)選C. 7.用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)一切n∈N*,都有2n>n2-2”這一命題,證明過程中應(yīng)驗(yàn)證(  ) A.n=1時(shí)命題成立 B.n=1,n=2時(shí)命題成立 C.n=3時(shí)命題成立 D.n=1,n=2,n=3時(shí)命題成立 [答案] D [解析] 假設(shè)n=k時(shí)不等式成立,即2k>k2-2, 當(dāng)n=k+1時(shí)2k+1=2·2k>2(k2-2) 由2(k2-2)≥(k-1)2-4?k2-2k-3≥0 ?(k+1)(k-3)≥0?k≥3,因此需

5、要驗(yàn)證n=1,2,3時(shí)命題成立.故應(yīng)選D. 8.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N*,都能使m整除f(n),則最大的m的值為(  ) A.30 B.26 C.36 D.6 [答案] C [解析] 因?yàn)閒(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36,所以f(1),f(2),f(3)能被36整除,推測(cè)最大的m值為36. 9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2an(n≥2),而a1=1,通過計(jì)算a2、a3、a4,猜想an=(  ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 由Sn=n2an知Sn+1=(n

6、+1)2an+1 ∴Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an ∴an+1=(n+1)2an+1-n2an ∴an+1=an (n≥2). 當(dāng)n=2時(shí),S2=4a2,又S2=a1+a2,∴a2== a3=a2=,a4=a3=. 由a1=1,a2=,a3=,a4= 猜想an=,故選B. 10.對(duì)于不等式≤n+1(n∈N+),某學(xué)生的證明過程如下: (1)當(dāng)n=1時(shí),≤1+1,不等式成立. (2)假設(shè)n=k(k∈N+)時(shí),不等式成立,即

7、正確 C.歸納假設(shè)不正確 D.從n=k到n=k+1的推理不正確 [答案] D [解析] n=1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確,但從n=k到n=k+1的推理中沒有使用歸納假設(shè),而通過不等式的放縮法直接證明,不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求.故應(yīng)選D. 二、填空題 11.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n+1≥n2+n+2(n∈N*)”時(shí),第一步的驗(yàn)證為________. [答案] 當(dāng)n=1時(shí),左邊=4,右邊=4,左≥右,不等式成立 [解析] 當(dāng)n=1時(shí),左≥右,不等式成立, ∵n∈N*,∴第一步的驗(yàn)證為n=1的情形. 12.已知數(shù)列,,,…,,通過計(jì)算得S1=,S2=,S3=,由此可猜測(cè)Sn=____

8、____. [答案]  [解析] 解法1:通過計(jì)算易得答案. 解法2:Sn=+++…+ =+++…+ =1-=. 13.對(duì)任意n∈N*,34n+2+a2n+1都能被14整除,則最小的自然數(shù)a=________. [答案] 5 [解析] 當(dāng)n=1時(shí),36+a3能被14整除的數(shù)為a=3或5,當(dāng)a=3時(shí)且n=3時(shí),310+35不能被14整除,故a=5. 14.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2. (1)當(dāng)n0=________時(shí),左邊=____________,右邊=______________________;當(dāng)n=k時(shí),等式左邊

9、共有________________項(xiàng),第(k-1)項(xiàng)是__________________. (2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即_____________________________________成立. (3)當(dāng)n=k+1時(shí),命題的形式是______________________________________;此時(shí),左邊增加的項(xiàng)為______________________. [答案] (1)1;1×(3×1+1);1×(1+1)2;k; (k-1)[3(k-1)+1] (2)1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2 (3)1×4+2×7+…+(k+1)

10、[3(k+1)+1] =(k+1)[(k+1)+1]2;(k+1)[3(k+1)+1] [解析] 由數(shù)學(xué)歸納法的法則易知. 三、解答題 15.求證:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*). [證明] ①n=1時(shí),左邊=12-22=-3,右邊=-3,等式成立. ②假設(shè)n=k時(shí),等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)2. 當(dāng)n=k+1時(shí),12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(

11、4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],所以n=k+1時(shí),等式也成立. 由①②得,等式對(duì)任何n∈N*都成立. 16.求證:+++…+>(n≥2). [證明]?、佼?dāng)n=2時(shí),左=>0=右, ∴不等式成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí),不等式成立. 即++…+>成立. 那么n=k+1時(shí),++…+ ++…+ >++…+>+++…+ =+=, ∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立. 據(jù)①②可知,不等式對(duì)一切n∈N*且n≥2時(shí)成立. 17.在平面內(nèi)有n條直線,其中每?jī)蓷l直線相交于一點(diǎn),并且每三條直線都不相交于同一點(diǎn). 求證:這n條直線將它們所在

12、的平面分成個(gè)區(qū)域. [證明] (1)n=2時(shí),兩條直線相交把平面分成4個(gè)區(qū)域,命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí),k條直線將平面分成塊不同的區(qū)域,命題成立. 當(dāng)n=k+1時(shí),設(shè)其中的一條直線為l,其余k條直線將平面分成塊區(qū)域,直線l與其余k條直線相交,得到k個(gè)不同的交點(diǎn),這k個(gè)點(diǎn)將l分成k+1段,每段都將它所在的區(qū)域分成兩部分,故新增區(qū)域k+1塊. 從而k+1條直線將平面分成+k+1=塊區(qū)域. 所以n=k+1時(shí)命題也成立. 由(1)(2)可知,原命題成立. 18.(2020·衡水高二檢測(cè))試比較2n+2與n2的大小(n∈N*),并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論. [分析] 由

13、題目可獲取以下主要信息: ①此題選用特殊值來找到2n+2與n2的大小關(guān)系; ②利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論. 解答本題的關(guān)鍵是先利用特殊值猜想. [解析] 當(dāng)n=1時(shí),21+2=4>n2=1, 當(dāng)n=2時(shí),22+2=6>n2=4, 當(dāng)n=3時(shí),23+2=10>n2=9, 當(dāng)n=4時(shí),24+2=18>n2=16, 由此可以猜想, 2n+2>n2(n∈N*)成立 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: (1)當(dāng)n=1時(shí), 左邊=21+2=4,右邊=1, 所以左邊>右邊, 所以原不等式成立. 當(dāng)n=2時(shí),左邊=22+2=6, 右邊=22=4,所以左邊>右邊; 當(dāng)n=3時(shí),左邊=23+2=10,右邊=32=9, 所以左邊>右邊. (2)假設(shè)n=k時(shí)(k≥3且k∈N*)時(shí),不等式成立, 即2k+2>k2.那么n=k+1時(shí), 2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2·k2-2. 又因:2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3 =(k-3)(k+1)≥0, 即2k2-2≥(k+1)2,故2k+1+2>(k+1)2成立. 根據(jù)(1)和(2),原不等式對(duì)于任何n∈N*都成立.

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