2020高考數(shù)學復習 極限 連續(xù) 可導辨析

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1、2020高考數(shù)學復習 極限 連續(xù) 可導辨析 在高中數(shù)學第三冊（選修II）第三章導數(shù)與微分的學習過程中，不少同學對極限、連續(xù)、可導、最值等概念混淆不清，下面舉例談一談這些概念間的區(qū)別與聯(lián)系，以期對同學們的學習有所幫助。 1. （1）是指x從點x0左側(cè)（xx0）無限趨近于x0。而x→x0是指x可以用任何方式無限趨近于x0，即可以從點x0的左側(cè)無限趨近于x0,也可以從點x0右側(cè)無限趨近于x0，還可以從點x0的兩側(cè)交錯地無限趨近于x0等等，且有如下充要條件： (2) 存在與f(x)在x0處是否有定義無關，x→x0是x取值無限地趨近于x

2、0，不一定取到x0。 例1 （1）設討論f(x)在點x=0的極限； （2）已知,求； （3）設求與f(0). 解 （1） ∴f(x)在點x=0處無極限，即不存在（但f(0)=0, f(x)在x=0處有定義）。 2.函數(shù)f(x)在點x0處有極值與f(x)在點x0處連續(xù) （1）函數(shù)f(x)在點x0連續(xù)必須具備3個條件： （i）f(x)在點x=x0有定義； （ii）f(x)在點x=x0有極限； （iii） （2）極限是討論函數(shù)在某一點附近變化的趨勢，與函數(shù)在這點有無定義無關，但函數(shù)在某一點連續(xù)不僅要求該點有極限，而且要求函數(shù)在該點的極限值等于函數(shù)值（即函數(shù)在此點必須

3、有定義）。 例2 圖1中所表示的函數(shù)f(x)在x=a處是否連續(xù)。 分析 （1）f(x)在x=a處連續(xù)。 （2）在x=a處無定義，∴不連續(xù)。 （3）,∴不連續(xù)。 （4）不存在，∴不連續(xù)。 3.函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)與f(x)在點x0處可導 函數(shù)f(x)在點x0處可導時必有點x0連續(xù)；函數(shù)f(x)在點x0連續(xù)不一定在點x0可導，即可導必連續(xù)，連續(xù)不一定可導。 例3 已知函數(shù)f(x)在點x0可導，求證：f(x)在點x0連續(xù)。 證明 ∵函數(shù)f(x)在點x0可導， 而 ∴函數(shù)f(x)在點x0連續(xù)。 例4 請舉反例說明連續(xù)不一定可導。 解 如函數(shù)

4、f(x)=|x|= ∴f(x)在點x=0連續(xù)。 ∴不存在， ∴f(x)在點x=0不可導。 4.極值與可導 （1）函數(shù)極值的判定方法是： 設f(x)在點x0連續(xù)。 （i）若在x0附近左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是函數(shù)的一個極大值； （ii）若在x0附近左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是函數(shù)的一個極小值。 點x0是極值點的充分條件是該點附近兩側(cè)導數(shù)異號。 （2）f′(x0)存在時，x0是極值點的必要條件是f′(x0)=0,即x0是f(x)的極值點f′(x0)=0，反之不一定成立，例如f(x)=x3在x=0有f′(0)=0，

5、但x=0不是極值點。 （3）不可導點可能是極值點，也可能不是極值點，故找函數(shù)的極值點應該從f′(x)=0的根和不可導點兩方面去檢驗。 例如y=|x|, x=0是極值點，但函數(shù)在x=0不可導； 不是極值點，函數(shù)在x=0也不可導。 5.極值與最值 （1）極值是就某點附近而言，是一個局部性概念，在某區(qū)間內(nèi)，極值可以有多個，極大值也不一定比極小值大，極大值與極小值兩者沒有必然聯(lián)系，最值是一個整體性概念，在某區(qū)間內(nèi)函數(shù)的最值若存在，則必是唯一的，且最大值一定大于最小值。 如圖2所示，在區(qū)間[a, b]內(nèi)，函數(shù)在點x=x1, x=x3, x=x5取得極小值，在x=x2, x=x4取到極大值，而

6、最值得惟一的，分別在x=x1取得最小值，x=b取得最大值。 （2）極值點x0是區(qū)間[a, b]內(nèi)部的點，不會出現(xiàn)在端點a, b，而最值點可能在端點x=a或x=b取到。故區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)一定沒有極值，而閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必存在最值。 （3）極值有可能成為最值，最值點只要不在端點，必是極值點； （4）求函數(shù)最值的步驟是：設f(x)在[a, b]上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導。 （i）求f(x)在(a, b)內(nèi)極值； （ii）將各極值與端點值f(a), f(b)比較，最大的一個即為最大值，最小的一個即為最小值。 例5 已知f(x)=ax3-6ax2+b在[-1, 2]上最大值是3，最小值是-29，求a，b值。 解 顯然a≠0，否則f(x)=b，不可能有最大值3，最小值-29. f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4). 由f′(x)=0, 得x1=0, x2=4（舍去）。 當a>0時， x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 y′ + 0 — y b-7a ↑ b ↓ b-16a ∵b-16a