2020高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 用分類討論的思維策略解題

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1、2020高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 用分類討論的思維策略解題 分類討論實(shí)質(zhì)是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的思維策略。用分類討論的思維策略解數(shù)學(xué)問題的操作過程：明確討論的對象和動機(jī)→確定分類→逐類進(jìn)行討論→歸納綜合結(jié)論→檢驗分類是否完備（即分類對象彼此交集為空集，并集為全集）。其關(guān)鍵是“為什么分類，怎樣分類”。本文就此探討如下： 1．有些概念、性質(zhì)、公式本身就是分類給出的，運(yùn)用時應(yīng)按規(guī)定分類，再按常規(guī)方法求解。 中學(xué)數(shù)學(xué)中的絕對值，指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，不等式性質(zhì)和解法，等比數(shù)列的前n項和公式，直線的傾斜角和斜率、直線系、圓錐曲線的統(tǒng)一定義，復(fù)數(shù)的模和輻角主值，排列組合應(yīng)用，二次函數(shù)在某動區(qū)間上

2、的最值問題等都是分類給出的。要弄清限制條件，由概念的內(nèi)涵和限制條件按規(guī)定分類。 例1 （2020年江蘇卷）設(shè)a為實(shí)數(shù)，記函數(shù)的最大值為g(a)。 （Ⅰ）設(shè)t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)；（Ⅱ）求g(a)（Ⅲ）試求滿足的所有實(shí)數(shù)a 【思維展示】 換元化歸二次函數(shù)和分段函數(shù)區(qū)間上的問題，研究對稱軸和區(qū)間的關(guān)系合理分類切入， （I）∵， ∴要使有意義，必須且，即 ∵，且……① ∴的取值范圍是。 由①得：，∴，。 （II）由題意知即為函數(shù)，的最大值， ∵直線是拋物線的對稱軸，∴可分以下幾種情況進(jìn)行討論： （1）當(dāng)時，函數(shù)，的圖象是開口向上的拋物線

3、的一段， 由知在上單調(diào)遞增，故； （2）當(dāng)時，，，有=2； （3）當(dāng)時，，函數(shù)，的圖象是開口向下的拋物線的一段， 若即時，， 若即時，， 若即時，。 綜上所述，有=。 （III）分段函數(shù)值域問題，依據(jù)分段的意義合理分類， 當(dāng)時，； 當(dāng)時，，，∴， ，故當(dāng)時，； 當(dāng)時，，由知：，故； 當(dāng)時，，故或，從而有或， 要使，必須有，，即，此時，。 綜上所述，滿足的所有實(shí)數(shù)a為：或。 【學(xué)習(xí)體驗】 本題主要考查函數(shù)、方程等基本知識，更考查分類討論的數(shù)學(xué)思維方法和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，應(yīng)注重概念，公式，函數(shù)性質(zhì)中的分類原則和方法的積累。 2．有些問題

4、在推導(dǎo)過程中，在不同條件下有不同結(jié)論，就必須區(qū)分不同情況分別討論。 例2 已知等比數(shù)列的前n項和為，前n +1項和為，公比q >0令。求。 【思維展示】 公比q為參數(shù)，用公式求和需分類，用重要極限結(jié)論也要分類。 （1）當(dāng)q =1時，， （2）當(dāng)時，， 則。為用重要極限，再分類。 ①01時，。 綜上 【學(xué)習(xí)體驗】 等比數(shù)列求和公式應(yīng)按公比q =1和分類推導(dǎo)，求時，應(yīng)按分別求解，一般數(shù)列的切入點(diǎn)更體現(xiàn)如何分類的問題，這是求解數(shù)列及數(shù)列極限中的常見的分類方法。 3．由于參數(shù)和已知條件相對關(guān)系不確定而導(dǎo)致分類 例3 設(shè)k為實(shí)常數(shù)，問方程表示何

5、種曲線？ 【思維展示】 變形試圖化歸標(biāo)準(zhǔn)方程，借助參數(shù)的不同取值，合理分類切入， 方程可化為，但這需且，還需考慮的正負(fù)引起曲線類型的不同，同時應(yīng)注意圓的特殊性，則分界點(diǎn)k =4，6，8。所以k應(yīng)分成6類。方程表示的曲線為 【學(xué)習(xí)體驗】 曲線的形狀隨著參數(shù)的變化而變換，這是圓錐曲線的定義揭示的曲線的本質(zhì)屬性，也是討論曲線形狀常用的分類的思維策略，應(yīng)積累這種學(xué)習(xí)體驗 4．由圖形位置變化而引起分類 例4 正三棱柱底面一邊的長為a，側(cè)棱長為，過底面一邊作一個截面與底面所成角為，求此截面面積。 【思維展示】 截面所在位置的不同導(dǎo)致合理分類，由截面位置即形狀為三角形或梯

6、形，用平面角θ分類研究。 作截面，取BC中點(diǎn)M，連是二面角的平面角，記為a. 易求得，即。現(xiàn)應(yīng)分兩類求面積。 ①當(dāng)時，截面與相交于D，設(shè) 則 故。 ②當(dāng)時，截面與上底面相交，成梯形BCFE，， 梯形高。 又∽，則。故。 【學(xué)習(xí)體驗】 空間圖形的不同位置導(dǎo)致分類，要借助空間概念合理分類，將空間問題平面化，這是立體幾何本身的特點(diǎn)決定的，應(yīng)積累這種學(xué)習(xí)體驗。 5．有條件力爭避免或簡化分類討論 例5 若，求使關(guān)于x的方程有解的正數(shù)a的取值范圍。 【思維展示】 若用輔助角方法化為，則需分兩類研究。 若注意，平方可避免分類。平方整理為 由于，，同除以有且 構(gòu)造不等式且 所以 即 從而所求a的范圍為。 【學(xué)習(xí)體驗】 要充分挖掘問題潛在的特殊性和簡單性，靈活地采用相應(yīng)的解題策略，可簡化或避免分類討論.