2020年全國高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 第3講 解答題題型特點與技法指導(dǎo) 理

《2020年全國高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 第3講 解答題題型特點與技法指導(dǎo) 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年全國高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 第3講 解答題題型特點與技法指導(dǎo) 理（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3講　解答題題型特點與技法指導(dǎo) 高考解答題一般有六大方向：三角函數(shù)與平面向量、概率與統(tǒng)計、立體幾何、數(shù)列與不等式、解析幾何、不等式與函數(shù)及導(dǎo)數(shù)．一般來說，前三題屬于中、低檔題，第四題屬中檔偏難題，后兩題屬難題．三角函數(shù)與平面向量、概率與統(tǒng)計、立體幾何在前三題中出現(xiàn)的概率較高，掌握解這幾類題的解法是大多數(shù)學(xué)生成功的關(guān)鍵．目前的高考解答題已經(jīng)由單純的知識綜合型轉(zhuǎn)化為知識、方法和能力的綜合型解答題．能否做好解答題是高考成敗的關(guān)鍵． 1．三角函數(shù) 有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題，主要是考查基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法，且難度不大．凸顯恒等變換與三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)在三角形內(nèi)考查．主要考查以

2、下4個方面：①三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)、圖象變換，主要是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的圖象、性質(zhì)及圖象變換，考查三角函數(shù)的概念、奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值及圖象的平移和對稱等；②三角恒等變換，主要考查公式的靈活運用、變換能力，一般需要運用和差角公式、倍角公式，尤其是對公式的應(yīng)用與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合考查；③三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．通過解三角形來考查三角恒等變形及應(yīng)用三角函數(shù)性質(zhì)的綜合能力；④三角函數(shù)與平面向量、數(shù)列、不等式等知識的綜合問題． 【例１】已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,2cos ωx)，設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的圖

3、象關(guān)于直線x＝π對稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若y＝f(x)的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍． 點評　利用向量的工具作用，與向量結(jié)合在一起命制綜合題，體現(xiàn)了在知識交匯點處命題的指導(dǎo)思想．這類問題求解時，首先利用向量的運算，將向量式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，然后進行有關(guān)的三角恒等變換，最后研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 變式訓(xùn)練1　(2020·安徽高考，理16)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos＋sin2x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)設(shè)函數(shù)g(x)對任意x∈R，有g(shù)＝g(x)，且當(dāng)x∈時，g(x)＝－f(x)．求g(x)在區(qū)間[－π，0]

4、上的解析式． 2．立體幾何 立體幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識之一，命題形式比較穩(wěn)定．立體幾何解答題主要分兩類：一類是空間線面關(guān)系的判定和推理證明，主要是證明平行和垂直，求解這類問題要依據(jù)線面關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進行推理論證；另一類是空間幾何量(空間角、空間距離、幾何體的體積與面積)的計算．求解這類問題，常用方法是依據(jù)公理、定理以及性質(zhì)等經(jīng)過推理論證，作出所求幾何量并求之．一般解題步驟是“作、證、求”． 對以上兩類問題特別要加強空間向量法的訓(xùn)練． 【例２】(2020·河南豫東、豫北十校階段性檢測，18)如圖，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠E

5、AC＝60°，AB＝AC＝AE. (1)在直線BC上是否存在一點P，使得DP∥平面EAB？請證明你的結(jié)論； (2)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ的余弦值． 點評　線線平行、線面平行、面面平行的判定與證明是相互轉(zhuǎn)化的，垂直也是如此；對于二面角，常用兩種方法，幾何法與向量法，一般傾向于用向量法． 變式訓(xùn)練2　(2020·陜西西安二模，19)如圖，F(xiàn)D垂直于矩形ABCD所在的平面，CE∥DF，∠DEF＝90°. (1)求證：BE∥平面ADF； (2)若矩形ABCD的邊AB＝3，EF＝2，則另一邊BC的長為何值時，平面BEF與平面CDFE所成角的大小為45°. 3．概率

6、與統(tǒng)計 概率與統(tǒng)計問題的解答題是每年高考必考內(nèi)容，主要考查古典概型、幾何概型、等可能事件的概率計算公式，互斥事件的概率加法公式，對立事件的概率減法公式，相互獨立事件的概率乘法公式，事件在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率計算公式等五個基本公式的應(yīng)用及離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望、方差等內(nèi)容． 【例３】(2020·天津?qū)氎尜|(zhì)檢，16)高中某學(xué)科奧賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個階段進行，若某選手通過初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是，，，且各階段通過與否相互獨立． (1)求該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率； (2)設(shè)該選手在比賽中比賽的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 點評　概率計算的關(guān)鍵是對概

7、率模型的判斷，各事件之間的關(guān)系是互斥還是相互獨立等，解題的關(guān)鍵是對概念理解到位．求概率分布列的關(guān)鍵在于依據(jù)題意準(zhǔn)確分析，計算隨機變量在各個取值下對應(yīng)的概率． 變式訓(xùn)練3　山東省第23屆運動會將于2020年在濟寧隆重召開．為了搞好接待工作，組委會在某學(xué)院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這30名志愿者的身高如圖：(單位：cm) 若身高在175 cm以上(包括175 cm)定義為“高個子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定義為“非高個子”，且只有“女高個子”才能擔(dān)任“禮儀小姐”． (1)如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，再從這5人中選2

8、人，則至少有一人是“高個子”的概率是多少？ (2)若從所有“高個子”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望． 4．?dāng)?shù)列與不等式 高考中數(shù)列解答題的求解主要有以下幾個特點： (1)與等差、等比數(shù)列基本量有關(guān)的計算，可根據(jù)題意列方程(方程組)或利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解； (2)與求和有關(guān)的題目，首先要求通項公式，并根據(jù)通項公式選擇恰當(dāng)?shù)那蠛头椒?如錯位相減法、裂項相消法、分組求和法等)； (3)含Sn的式子，要根據(jù)題目特征利用an＝進行轉(zhuǎn)化； (4)與遞推數(shù)列有關(guān)的問題，要能合理轉(zhuǎn)化，使之構(gòu)造出新的等差、等比數(shù)列； (5

9、)與數(shù)列有關(guān)的不等式問題，可根據(jù)數(shù)列的特征選擇方法(如比較法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等)； (6)與函數(shù)有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解． 【例４】(2020·四川成都二診，20)已知數(shù)列{an}和{bn}，b1＝1，且bn＋1－3bn＝2n－2，記an＝bn＋1－bn＋1，n∈N*. (1)證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式； (3)記，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，若45Tk＜29，k∈N*恒成立，求k的最大值． 點評　第(1)問考查了等比數(shù)列的證明，它是為第(2)、(3)問服務(wù)的．第(2)問考查了求數(shù)列通項公式的常規(guī)方法．第(3)問考查了數(shù)列

10、的求和方法，是數(shù)列與不等式知識的融合問題． 變式訓(xùn)練4　(2020·湖北八校二聯(lián)，19)各項為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝a＋an＋(n∈N*)． (1)求an； (2)設(shè)函數(shù)f(n)＝cn＝f(2n＋4)(n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 5．解析幾何 解析幾何解答題主要考查圓錐曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和處理有關(guān)問題的基本技能、基本方法，往往以中檔偏難題或以壓軸題形式出現(xiàn)，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力，運算能力，考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．突破解答題，應(yīng)重點研究直線與曲線的位置關(guān)系，要充分運用一元二次方程根的判別式和韋達(dá)

11、定理，注意運用“設(shè)而不求”的思想方法，靈活運用“點差法”等來解題，要善于運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題，使數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，并根據(jù)具體特征選擇相應(yīng)方法． 【例５】已知橢圓＋＝1，點P是橢圓上異于頂點的任意一點，過點P作橢圓的切線l，交y軸于點A，直線l′過點P且垂直于l，交y軸于點B.試判斷以AB為直徑的圓能否經(jīng)過定點？若能，求出定點坐標(biāo)；若不能，請說明理由． 點評　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直是命題的熱點，基本方法是聯(lián)立方程，利用判別式、根與系數(shù)關(guān)系求解，運算量一般較大，這類綜合題中常涉及的問題有弦長問題、面積問題、對稱問題、定點定值問題等，是歷年高考的熱點問題，復(fù)習(xí)時要注重通性通法的訓(xùn)練．

12、 變式訓(xùn)練5　(2020·山東高考，文21)如圖，橢圓M：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，直線x＝±a和y＝±b所圍成的矩形ABCD的面積為8. (1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線l：y＝x＋m(m∈R)與橢圓M有兩個不同的交點P，Q，l與矩形ABCD有兩個不同的交點S，T.求的最大值及取得最大值時m的值． 6．函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，以考查函數(shù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為目標(biāo)，以導(dǎo)數(shù)為工具圍繞函數(shù)、不等式、方程等綜合考查．在知識的交匯處命題，涉及具體內(nèi)容較多，如給定解析式求參數(shù)值，給定條件求參數(shù)范圍，以及對參數(shù)討論與證明不等式問題，極值、最值、值域及分析圖象交點等問題，

13、都以導(dǎo)數(shù)為工具．既考查函數(shù)部分的相關(guān)知識，又滲透函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合等數(shù)學(xué)思想． 【例６】(2020·河南許昌聯(lián)考，21)設(shè)x＝3是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax＋b)e3－x(x∈R)的一個極值點． (1)求a與b的關(guān)系式(用a表示b)，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)設(shè)a＞0，g(x)＝ex.若存在x1，x2∈[0,4]使得|f(x1)－g(x2)|＜1成立，求a的取值范圍． 點評　本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究極值、單調(diào)區(qū)間、值域問題，考查了分類討論思想等． 變式訓(xùn)練6　(2020·廣東中山一模，20)已知函數(shù)f(x)＝4x3－3x2sin θ＋，其中x∈R，θ為參

14、數(shù)，且0＜θ＜π. (1)當(dāng)θ＝0時，判斷函數(shù)f(x)是否有極值，說明理由； (2)要使函數(shù)f(x)的極小值大于零，求參數(shù)θ的取值范圍； (3)若對(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2a－1，a)內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． 參考答案 方法例析 【例1】解：(1)因為f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ ＝2sin＋λ. 由直線x＝π是y＝f(x)圖象的一條對稱軸， 可得sin＝±1， 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)， 即ω＝＋(k∈Z)． 又ω∈，k∈Z， 所以

15、k＝1，故ω＝. 所以f(x)的最小正周期是. (2)由y＝f(x)的圖象過點，得f＝0， 即λ＝－2sin ＝－2sin＝－， 即λ＝－. 故f(x)＝2sin－. 由0≤x≤，有－≤x－≤， 所以－≤sin≤1， 得－1－≤2sin－≤2－， 故函數(shù)f(x)在上的取值范圍為[－1－，2－]． 【變式訓(xùn)練1】解：(1)f(x)＝cos＋sin2x ＝＋ ＝－sin 2x， 故f(x)的最小正周期為π. (2)當(dāng)x∈時，g(x)＝－f(x)＝sin 2x.故 ①當(dāng)x∈時，x＋∈. 由于對任意x∈R，g＝g(x)， 從而g(x)＝g ＝sin＝sin(π＋2

16、x) ＝－sin 2x. ②當(dāng)x∈時，x＋π∈. 從而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin 2x. 綜合①，②得g(x)在[－π，0]上的解析式為g(x)＝ 【例2】解：(1)存在，線段BC的中點就是滿足條件的點P. 證明如下： 取AB的中點F，連接DP，PF，EF， 則PF∥AC，且FP＝AC. 取AC的中點M，連接EM，EC. ∵AE＝AC且∠EAC＝60°， ∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC， ∴四邊形EMCD為矩形， ∴ED＝MC＝AC. 又ED∥AC，∴ED∥FP且ED＝FP， ∴四邊形EFPD是平行四邊形， ∴DP∥EF.

17、又EF?平面EAB，DP?平面EAB， ∴DP∥平面EAB. (2)(解法1)過B作AC的平行線l，過C作l的垂線交l于G，連接DG. ∵ED∥AC，∴ED∥l， ∴l(xiāng)是平面EBD與平面ABC的交線． ∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC， ∴DC⊥平面ABC. 又∵CG⊥l，∴l(xiāng)⊥DG， ∴∠DGC是所求二面角的平面角． 設(shè)AB＝AC＝AE＝2a， 則CD＝a，GC＝2a. ∴GD＝＝a， ∴cos θ＝cos∠DGC＝＝. (解法2)∵∠BAC＝90°，平面EACD⊥平面ABC， ∴以點A為坐標(biāo)原點，直線AB為x軸，直線AC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xy

18、z，如圖所示． 設(shè)AB＝AC＝AE＝2a， 由已知得B(2a,0,0)，E(0，a，a)，D(0,2a，a)， ∴＝(2a，－a，－a)，＝(0，a,0)． 設(shè)平面EBD的法向量為n＝(x，y，z)， ∴n⊥且n⊥， ∴∴解得取z＝2，得平面EBD的一個法向量為n＝(，0,2)． ∵平面ABC的一個法向量為n′＝(0,0,1)． ∴cos θ＝|cos〈n，n′〉|＝＝. 【變式訓(xùn)練2】解：(1)由ABCD是矩形，得BC∥AD，推出BC∥平面ADF. 由CE∥DF得CE∥平面ADF. ∵BC∩CE＝C， ∴平面BCE∥平面ADF. ∵BE?平面BCE，∴BE∥平面

19、ADF. (2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz， 設(shè)BC＝a，CE＝b，DF＝c，得B(a,3,0)，C(0,3,0)，E(0,3，b)，F(xiàn)(0,0，c)， ∴＝(0，－3，c－b)，＝(0,3，b)． ∵·＝0，||＝2， 解得b＝3，c＝4， 設(shè)平面BEF的一個法向量n＝(1，p，q)， 由n·＝0，n·＝0，求得平面BEF的一個法向量為n＝. 又∵DA⊥平面DCEF， ∴|cos〈n，〉|＝，解得a＝. ∴當(dāng)BC＝時，平面BEF與平面CDFE所成角的大小為45°. 【例3】解：(1)記“該選手通過初賽”為事件A，“該選手通過復(fù)賽”為事件B，“該選手通過決賽”

20、為事件C， 則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. 那么該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率是 P＝P(A)＝P(A)P()＝×＝. (2)ξ可能的取值為1,2,3. P(ξ＝1)＝P()＝1－＝， P(ξ＝2)＝P(A)＝P(A)P()＝×＝， P(ξ＝3)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ＝1×＋2×＋3×＝. 【變式訓(xùn)練3】解：(1)根據(jù)莖葉圖，有“高個子”12人，“非高個子”18人， 用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是＝， 所以選中的“高個子”有12×＝2人，“非高個子”有18×＝3人．

21、 用A表示事件“至少有一名‘高個子’被選中”，則P(A)＝1－＝1－＝. 因此至少有一人是“高個子”的概率是. (2)依題意，ξ的取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 因此，ξ的分布列如下 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1. 【例4】解：(1)證明：∵bn＋1－3bn＝2n－2， ∴bn－3bn－1＝2(n－1)－2，n≥2，n∈N*. 兩式相減，得bn＋1－bn－3bn＋3bn－1＝2(n≥2，n∈N*)． 整理，得bn＋1－bn＋1＝3(bn

22、－bn－1＋1)(n≥2，n∈N*)， 即an＝3an－1(n≥2，n∈N*)． ∴數(shù)列{an}是公比為3的等比數(shù)列． (2)∵b2＝3， ∴a1＝3－1＋1＝3.∴an＝3n(n∈N*)． ∵an＝bn＋1－bn＋1＝3n， ∴bn－bn－1＋1＝3n－1，bn－1－bn－2＋1＝3n－2，…，b2－b1＋1＝31. 累加，得bn－b1＋n－1＝－1. ∴bn＝－n＋(n∈N*)． (3)3＝＝. ∴Tn＝＝－. 由45Tk＜29得135－90＜116. ∴＋＞＝＋. ∴k＜8. 又k∈N*，∴k的最大值為7， 【變式訓(xùn)練4】解：(1)∵Sn＝an2＋an＋，①

23、 ∴當(dāng)n≥2時，Sn－1＝an2－1＋an－1＋.② 由①－②化簡，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0. 又∵數(shù)列{an}的各項為正數(shù)， ∴當(dāng)n≥2時，an－an－1＝2. 故數(shù)列{an}成等差數(shù)列，公差為2. 又a1＝S1＝a12＋a1＋， 解得a1＝1， ∴an＝2n－1. (2)由分段函數(shù) f(n)＝ 可以得到c1＝f(6)＝f(3)＝a3＝5， c2＝f(8)＝f(4)＝f(2)＝f(1)＝a1＝1； 當(dāng)n≥3，n∈N*時， cn＝f(2n＋4)＝f(2n－1＋2)＝f(2n－2＋1)＝2(2n－2＋1)－1＝2n－1＋1， 故當(dāng)n≥3時，Tn

24、＝5＋1＋(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n－1＋1)＝6＋＋(n－2)＝2n＋n. n＝1時，T1＝5不滿足Tn＝2n＋n， n＝2時，T2＝c1＋c2＝6滿足Tn＝2n＋n， 故Tn＝ 【例5】解：設(shè)點P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)，直線l的方程為y－y0＝k(x－x0)，代入， 整理得(3＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－12＝0. ∵x＝x0是方程的兩個相等實根， ∴， 解得. ∴直線l的方程為．令x＝0，得點A的坐標(biāo)為. 又∵＝1，∴4y02＋3x02＝12， ∴點A的坐標(biāo)為. 又直線l′的方程為，令x＝0，得點

25、B的坐標(biāo)為， ∴以AB為直徑的圓的方程為， 整理得. 由得 ∴以AB為直徑的圓恒過定點(－1,0)和(1,0)． 【變式訓(xùn)練5】解：(1)設(shè)橢圓M的半焦距為c， 由題意知 所以a＝2，b＝1. 因此橢圓M的方程為＋y2＝1. (2)由整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0， 由Δ＝64m2－80(m2－1)＝80－16m2＞0， 得－＜m＜. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝. 所以|PQ|＝ ＝ ＝(－＜m＜)． 線段CD的方程為y＝1(－2≤x≤2)，線段AD的方程為x＝－2(－1≤y≤1)． ①不妨設(shè)點S在AD邊上，T

26、在CD邊上，可知1≤m＜，S(－2，m－2)，D(－2,1)， 所以|ST|＝|SD|＝[1－(m－2)]＝(3－m)， 因此＝， 令t＝3－m(1≤m＜)， 則m＝3－t，t∈(3－，2]， 所以＝ ＝ ＝， 由于t∈(3－，2]， 所以∈， 因此當(dāng)＝，即t＝時，取得最大值，此時m＝. ②不妨設(shè)點S在AB邊上，T在CD邊上，此時－1≤m≤1， 因此|ST|＝|AD|＝2，此時＝， 所以當(dāng)m＝0時，取得最大值. ③不妨設(shè)點S在AB邊上，T在BC邊上，－＜m≤－1， 由橢圓和矩形的對稱性知的最大值為，此時m＝－. 綜上所述，m＝±或m＝0時，取得最大值. 【

27、例6】解：(1)f′(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a]e3－x， 由f′(3)＝0，得－[32＋3(a－2)＋b－a]·e3－3＝0，即得b＝－3－2a， 則f′(x)＝－[x2＋(a－2)x－3－3a]e3－x＝－(x－3)(x＋a＋1)e3－x. 令f′(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1， 由于x＝3是函數(shù)的一個極值點． 所以x1≠x2，那么a≠－4. 當(dāng)a＜－4時，x2＞3＝x1，則 在區(qū)間(－∞，3)上，f′(x)＜0，f(x)為減函數(shù)； 在區(qū)間(3，－a－1)上，f′(x)＞0，f(x)為增函數(shù)； 在區(qū)間(－a－1，＋∞)上，f′(x)＜0，f(x)為減函

28、數(shù)． 當(dāng)a＞－4時，x2＜3＝x1，則 在區(qū)間(－∞，－a－1)上，f′(x)＜0，f(x)為減函數(shù)； 在區(qū)間(－a－1,3)上，f′(x)＞0，f(x)為增函數(shù)； 在區(qū)間(3，＋∞)上，f′(x)＜0，f(x)為減函數(shù)． 即a＜－4時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3，－a－1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，3)，(－a－1，＋∞)； a＞－4時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－a－1,3)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－a－1)，(3，＋∞)． (2)由(1)知，當(dāng)a＞0時，f(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減， 而f(0)＝－(2a＋3)e3＜0，f(4)＝(2a＋

29、13)e－1＞0，f(3)＝a＋6， 那么f(x)在區(qū)間[0,4]上的值域是[－(2a＋3)e3，a＋6]． 又在區(qū)間[0,4]上是增函數(shù)， 且它在區(qū)間[0,4]上的值域是， 由于－(a＋6)＝a2－a＋， 所以必須且僅需且a＞0，解得0＜a＜. 故a的取值范圍是. 【變式訓(xùn)練6】解：(1)當(dāng)θ＝0，即sin θ＝0時，f(x)＝4x3＋， 則f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，故無極值． (2)f′(x)＝12x2－6xsin θ， 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝. 當(dāng)x變化時，f′(x)的符號及f(x)的變化情況如下表： x (－∞，0) 0 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增 極大值 減 極小值 增 因此函數(shù)f(x)在x＝處取得極小值f， 且f＝－sin3θ＋. 要使f＞0，必有－sin3θ＋＞0，可得0＜sin θ＜， 所以0＜θ＜或＜θ＜π. (3)由(2)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)與內(nèi)都是增函數(shù)． 由題設(shè)函數(shù)f(x)在(2a－1，a)內(nèi)是增函數(shù)， 則a需滿足不等式組或 由(2)，參數(shù)θ滿足0＜θ＜或＜θ＜π時，0＜sin θ＜， 要使不等式2a－1≥sin θ關(guān)于參數(shù)θ恒成立，必有2a－1≥， 故a≥. 綜上所述，a的取值范圍是(－∞，0]∪.