2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 概率測(cè)試題

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1、2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 概率測(cè)試題 Ⅰ.選擇與填空 1．兩封信隨機(jī)投入三個(gè)空郵箱，則郵箱的信件數(shù)的數(shù)學(xué)期望 【變式1】一批零件10個(gè)，其中有8個(gè)合格品，2個(gè)次品，每次任取一個(gè)零件裝配機(jī)器，若第一次取得合格品的概率是，第二次取得合格品的概率是，則（ ） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【變式2】在一次語(yǔ)文測(cè)試中，有一道我國(guó)四大文學(xué)名著《水滸傳》、w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 《三國(guó)演義》、《西游記》、《紅樓夢(mèng)》與它們的作者的連線題，已知連對(duì)一個(gè)得分，連錯(cuò)一個(gè)得分；該同學(xué)得分的 數(shù)學(xué)期望為。 【變式3】質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)投下的骰子正面

2、出現(xiàn)硬幣出現(xiàn)或 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿軸正方向移動(dòng)一個(gè)長(zhǎng)度單位；否則，質(zhì)點(diǎn) 軸正方向移動(dòng)二個(gè)長(zhǎng)度單位；移動(dòng)次停止。則停止時(shí) 質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上的坐標(biāo)的期望值是 2如果；則使取最大值的 【變式】如果；則 3．集合中隨機(jī)取出6個(gè)不同的數(shù)，在這些選法中， 第二小的數(shù)為的概率是（ ） 【變式】口袋中有編號(hào)為的只球，從中取只球， 以表示取出的球的最大號(hào)碼；則 4．六位身高全不相同的同學(xué)拍照留念，攝影師要求前后兩排各三人， 則后排每人均比前排同學(xué)高的概率是 【變式1】從中任取個(gè)數(shù)組成一個(gè)四位數(shù)，則四位數(shù)是偶數(shù)的 概率為 【變

3、式2】從6個(gè)紅球，2個(gè)白球中，不放回每次去一個(gè)球，直到 2個(gè)白球全取出為止，表示停止時(shí)取到紅球的個(gè)數(shù)； 則 5．已知， ，若向區(qū)域上隨機(jī)投一點(diǎn) ， 則點(diǎn)落入?yún)^(qū)域的概率為（ ） 　　 　 【變式1】是圓上任意二點(diǎn)，連接兩點(diǎn)，它是一條弦，它的 長(zhǎng)度大于等于半徑長(zhǎng)度的概率為 【變式2】方程有實(shí)根的概率為 【變式3】一個(gè)實(shí)驗(yàn)是這樣做的，將一條5米長(zhǎng)的繩子隨機(jī)地切斷成 三條，所切三段繩子都不短于1米的概率為， 所切三段繩子能作一三角形的三邊的概率為。 6．在數(shù)的排列中，滿足 的排列出現(xiàn)的概率為（ ）

4、 7．連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量與 向量的夾角為銳角的概率是 【變式】已知函數(shù)，可得函數(shù)圖象上的九個(gè)點(diǎn)，在這九個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)取出兩個(gè)點(diǎn)，則兩點(diǎn)在同一反比例函數(shù)圖象上的概率是 8．已知總體的各個(gè)體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12，13.7， 18.3，20，且總體的中位數(shù)為10.5，若要使該總體的方差最小，則 【變式】已知總體的各個(gè)體的值由小到大依次為 且總體的平均數(shù)為；則該總體的方差最小值為， 該總體的方差最大值為 9．在樣本的頻率分布直方圖中,共有4個(gè)小長(zhǎng)方形,這4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列

5、,已知,且樣本容量 為300，則小長(zhǎng)方形面積最大的一組的頻數(shù)為 10．一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，不得分的概率為（、、），已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2（不計(jì)其它得分情況），則的最大值為 Ⅱ.解答（基礎(chǔ)） 1．某大型商場(chǎng)一個(gè)結(jié)算窗口，每天排隊(duì)結(jié)算的人數(shù)及相應(yīng)概率如下： 人數(shù) 25以上 概率 （1）每天不超過(guò)20人排隊(duì)結(jié)算的概率是多少？ （2）一周7天中，若有三天以上（含三天）出現(xiàn)超過(guò)15人排隊(duì)結(jié)算的概率大于0.75，商場(chǎng)就需要增加結(jié)算窗口，請(qǐng)問(wèn)，該商場(chǎng)是否需要增加結(jié)算窗口？ 【變式】某電信部門執(zhí)行

6、的新的電話收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)中，其中本地網(wǎng)營(yíng)業(yè)區(qū)內(nèi)的通話費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：前3分鐘為0．20元（不足3分鐘按3分鐘計(jì)算），以后的每分鐘收0．10元（不足1分鐘按1分鐘計(jì)算．）在一次實(shí)習(xí)作業(yè)中，某同學(xué)調(diào)查了五人某天撥打的本地網(wǎng)營(yíng)業(yè)區(qū)內(nèi)的電話通話時(shí)間情況，其原始數(shù)據(jù)如下表所示： A B C D E 第一次通話時(shí)間 3分 3分45秒 3分55秒 3分20秒 6分 第二次通話時(shí)間 0分 4分 3分40秒 4分50秒 0分 第三次通話時(shí)間 0分 0分 5分 2分 0分 應(yīng)繳話費(fèi)（元） （1）在上表中填寫出各人應(yīng)繳的話費(fèi)； （2）設(shè)通話時(shí)

7、間為分鐘，試根據(jù)上表完成下表的填寫（即這五 人在這一天內(nèi)的通話情況統(tǒng)計(jì)表）： 時(shí)間段 頻數(shù)累計(jì) 頻數(shù) 頻率 累計(jì)頻率 ┯ 2 0．2 0．2 合計(jì) 正 正 （3）若該本地網(wǎng)營(yíng)業(yè)區(qū)原來(lái)執(zhí)行的電話收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：每3分鐘 為0．20元（不足3分鐘按3分鐘計(jì)算）．問(wèn)這五人這天的實(shí)際平均通話費(fèi)與原通話標(biāo)準(zhǔn)下算出的平均通話費(fèi)相比，是增多了還是減少了？增或減了多少？ 2．一個(gè)袋中有大小相同的標(biāo)有1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球，某人做如下游戲，每次從袋中拿一個(gè)球（拿后放回），記下標(biāo)號(hào)。若拿出球的標(biāo)號(hào)是3的

8、倍數(shù)，則得1分，否則得分。 （1）求拿4次至少得2分的概率； （2）求拿4次所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望。 【變式1】有一種舞臺(tái)燈，外形是正六棱柱，在其每一個(gè)側(cè)面上安裝5只顏色各異的彩燈，假若每只燈正常發(fā)光的概率為. 若一個(gè)面上至少有3只燈發(fā)光，則不需要維修，否則需要更換這個(gè)面.假定更換一個(gè)面需要100元，用ξ表示維修一次的費(fèi)用. （1）求恰好有2個(gè)面需要維修的概率； （2）寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望。 【變式2】某工廠在試驗(yàn)階段大量生產(chǎn)一種零件，這種零件有兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)需要檢測(cè)，按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的零件為合格品。已知各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響，但項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)

9、標(biāo)的概率大于項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)的概率，若有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為，至少有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為。 （1）求一個(gè)零件經(jīng)過(guò)檢測(cè)為合格品的概率； （2）任意依次抽出5個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)， 其中至多3個(gè)零件是合格品的概率； （3）任意依次抽取該種零件4個(gè)，設(shè)表示其中合格品的 個(gè)數(shù)，求與。 【變式3】已知將一枚質(zhì)地不均勻的硬幣拋擲三次，三次正面均朝上的概率為 （1）求拋擲這樣的硬幣三次，恰有兩次正面朝上的概率； （2）拋擲這樣的硬幣三次后，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，記四次拋擲后正面朝上的總次數(shù)為； 求隨機(jī)變量的分布列及期望. 【變式4】2

10、020年中國(guó)北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物由5個(gè)“中國(guó)福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮.現(xiàn)有8個(gè)相同的盒子，每個(gè)盒子中放一只福娃，每種福娃的數(shù)量如下表： 福娃名稱 貝貝 晶晶 歡歡 迎迎 妮妮 數(shù)量 1 1 1 2 3 從中隨機(jī)地選取5只. （1）求選取的5只恰好組成完整“奧運(yùn)吉祥物”的概率； （2）若完整地選取奧運(yùn)會(huì)吉祥物記10分；若選出的5只中僅差 一種記8分；差兩種記6分；以此類推. 設(shè)表示所得的 分?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。 【變式5】有四張大小、形狀、質(zhì)量完全相同的卡片，四張卡片上 分別寫有0，1，1，2三個(gè)數(shù)字，從中任取一張，記下卡片

11、 上面的數(shù)字，然后放回再取，依次得到數(shù)字， 記，求： （1）時(shí)的概率； （2）的分布列； （3）的期望。 【變式6】拋一枚均勻的骰子（骰子的六面分別有數(shù)字）來(lái)構(gòu)造數(shù)列 （1）求的概率； （2）若的概率. 【變式7】把圓周分成六等份，是其中一個(gè)分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在六個(gè)分點(diǎn)上按逆時(shí)針?lè)较蚯斑M(jìn)，現(xiàn)投擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體，它的四個(gè)面上分別寫著1、2、3、4四個(gè)數(shù)字，從點(diǎn)出發(fā)，按照正四面體底面上的數(shù)字前進(jìn)幾個(gè)分點(diǎn)，轉(zhuǎn)一周之前繼續(xù)投擲。在點(diǎn)轉(zhuǎn)一周恰能返回的所有結(jié)果中，用隨機(jī)變量表示點(diǎn)返回點(diǎn)時(shí)的投擲次數(shù)，求的分布列和期望。

12、3．甲、乙、丙三人分別獨(dú)立解一道題，已知甲做對(duì)這道題的概率是，甲、丙兩人都做錯(cuò)的概率是，乙、丙兩人都做對(duì)的概率是， （1）求乙、丙兩人各自做對(duì)這道題的概率； （2）求甲、乙、丙三人中至少有兩人做對(duì)這道題的概率。 【變式1】學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，已知會(huì) 唱歌的有2人，會(huì)跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人． 設(shè)為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)， 且． （1）求文娛隊(duì)的人數(shù)； （2）寫出的概率分布列并計(jì)算． 【變式2】獵人在距離100米處射擊一野兔，其命中率為0.5，如果第一次射擊未中，則獵人進(jìn)行第二次射擊，但距離變?yōu)?50米.如果第二次射擊又未中，則獵人進(jìn)行

13、第三次射擊，并且在發(fā)射瞬間距離變?yōu)?00米.已知獵人命中野兔的概率與距離的平方成反比，且獵人每次射擊是否擊中野兔是相互獨(dú)立的，求獵人進(jìn)行三次射擊命中野兔的概率。 【變式3】某汽車駕駛學(xué)校在學(xué)員結(jié)業(yè)前，對(duì)學(xué)員的駕駛技術(shù)進(jìn)行 4次考核，規(guī)定：按順序考核，一旦考核合格就不必參加以后的考核，否則還需參加下次考核。若學(xué)員小李獨(dú)立參加每次考核合格的概率依次組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，他參加第一次考核合格的概率不超過(guò)，且他直到參加第二次考核才合格的概率為。 　 （1）求小李第一次參加考核就合格的概率； （2）求小李參加考核的次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望。 【變式4】一個(gè)袋子內(nèi)裝有若干個(gè)黑球，個(gè)白球，

14、個(gè)紅球（所有的球除顏色外其它均相同），從中任取個(gè)球，每取得一個(gè)黑球得分，每取一個(gè)白球得分，每取一個(gè)紅球得分，已知得分的概率為，用隨機(jī)變量表示取個(gè)球的總得分. （1）求袋子內(nèi)黑球的個(gè)數(shù)； （2）求的分布列； （3）求的數(shù)學(xué)期望. 4．某車間在三天內(nèi)，每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天，第二天 分別生產(chǎn)出了1件、2件次品，而質(zhì)檢部每天要從生產(chǎn)的10件 產(chǎn)品中隨意抽取4件進(jìn)行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品 不能通過(guò)； （1）求第一天通過(guò)檢查的概率； （2）求前兩天全部通過(guò)檢查的概率； （3）若廠內(nèi)對(duì)車間

15、生產(chǎn)的產(chǎn)品采用記分制：兩天全不通過(guò)檢查得 0分，通過(guò)1天、2天分別得1分、2分，求該車間在這兩天 內(nèi)得分的數(shù)學(xué)期望. Ⅲ. 解答（提高） 1．兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量和，根據(jù)市場(chǎng)分析，和的分布列分別為 （1）在兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，和分別表示投資項(xiàng)目所獲得的利潤(rùn)，求方差； （2）將萬(wàn)元投資項(xiàng)目，萬(wàn)元投資 項(xiàng)目，表示投資項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和。求的最小值，并指出為何值時(shí)，取到最小值。 【變式】甲、乙兩間商店購(gòu)進(jìn)同一種商品的價(jià)格均為每件30元， 銷售

16、價(jià)均為每件50元．根據(jù)前5年的有關(guān)資料統(tǒng)計(jì)， 甲商店這種商品的年需求量服從以下分布： 10 20 30 40 50 0.15 0.20 0.25 0.30 0.10 乙商店這種商品的年需求量服從二項(xiàng)分布． 若這種商品在一年內(nèi)沒(méi)有售完，則甲商店在一年后以每件25元的價(jià)格處理；乙商店一年后剩下的這種商品第1件按25元的價(jià)格處理，第2件按24元的價(jià)格處理，第3件按23元的價(jià)格處理，依此類推．今年甲、乙兩間商店同時(shí)購(gòu)進(jìn)這種商品40件，根據(jù)前5年的銷售情況，請(qǐng)你預(yù)測(cè)哪間商店的期望利潤(rùn)較大？ 2．高校招生是根據(jù)考生所填報(bào)的志愿，從考試成績(jī)所達(dá)到的最高第一志愿開(kāi)始，按

17、順序分批錄取，若前一志愿不能錄取，則依次給下一個(gè)志愿（同批或下一批）錄取.某考生填報(bào)了三批共6個(gè)不同志愿（每批2個(gè)），并對(duì)各志愿的單獨(dú)錄取以及能考上各批分?jǐn)?shù)線的概率進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果如“表一”所示（表中的數(shù)據(jù)為相應(yīng)的概率，分別為第一、第二志愿）； （1）求該考生能被第2批志愿錄取的概率； （2）求該考生能被錄取的概率； （3）如果已知該考生高考成績(jī)已達(dá)到第2批分?jǐn)?shù)線卻未能達(dá)到第1批分?jǐn)?shù)線，請(qǐng)計(jì)算其最有可能在哪個(gè)志愿被錄??？（以上結(jié)果均保留二個(gè)有效數(shù)字） 批次 高考上線 第1批 0.6 0.8 0.4 第2批 0.8 0.9 0.5 第3批 0.9 0.95

18、 0.8 【注】本題高考上線批次之間是獨(dú)立還是包含關(guān)系有爭(zhēng)議。 【變式】某柑桔基地因冰雪災(zāi)害，使得果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專 家提出兩種拯救果林的方案，每種方案都需分兩年實(shí)施；若實(shí)施 方案一，預(yù)計(jì)當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8 倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量 的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5. 若實(shí)施方案二，預(yù)計(jì)當(dāng)年可 以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、 0.5； 第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分

19、 別是0.4、0.6. 實(shí)施每種方案，第二年與第一年相互獨(dú)立。 令表示方案實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)． （1）寫出的分布列； （2）實(shí)施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？ （3）不管哪種方案，如果實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到災(zāi)前產(chǎn)量， 預(yù)計(jì)可帶來(lái)效益10萬(wàn)元；兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)可帶來(lái)效益15萬(wàn)元；柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)可帶來(lái)效益20萬(wàn)元；問(wèn)實(shí)施哪種方案所帶來(lái)的平均效益更大？ 3．在盒子里有大小相同，僅顏色不同的乒乓球共10個(gè)，其中紅球 5個(gè)，白球3個(gè)，藍(lán)球2個(gè)，現(xiàn)從中任取出一球確定顏色后放回 盒子里，再取下一個(gè)球，重復(fù)以上操作，最多取

20、3次，過(guò)程中 如果取出藍(lán)色球則不再取球，求： （1）最多取兩次就結(jié)束的概率； （2）整個(gè)過(guò)程中恰好取到2個(gè)白球的概率； （3）取球次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望。 【變式1】袋子和中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從中摸出 一個(gè)紅球的概率是，從中摸出一個(gè)紅球的概率為； （1）從中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球 即停止； ① 求恰好摸5次停止的概率； ② 記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布率及數(shù)學(xué)期望。 （2）若兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1∶2，將中的球 裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，求的值．

21、【變式2】某次象棋比賽的決賽在甲乙兩名棋手之間舉行，比賽采用積分制，比賽規(guī)則規(guī)定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分， 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局比賽輸贏互不影響，若甲第局的得分記為，令 （1）求的概率； （2）若規(guī)定：當(dāng)其中一方的積分達(dá)到或超過(guò)4分時(shí)，比賽結(jié)束，否則，繼續(xù)進(jìn)行。設(shè)隨機(jī)變量表示此次比賽共進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望 【變式3】甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止.設(shè)在每

22、局中參賽者勝負(fù)的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.求： （1） 打滿3局比賽還未停止的概率； （2）比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的分別列與期望. 【變式4】某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學(xué)年中舉行5次統(tǒng)一測(cè)試，學(xué)生如果通過(guò)其中2次測(cè)試即可獲得足夠?qū)W分升上大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)，不用參加其余的測(cè)試，而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加5次測(cè)試．假設(shè)某學(xué)生每次通過(guò)測(cè)試的概率都是，每次測(cè)試時(shí)間間隔恰當(dāng)，每次測(cè)試通過(guò)與否互相獨(dú)立。 （1）求該學(xué)生考上大學(xué)的概率； （2）如果考上大學(xué)或參加完5次測(cè)試就結(jié)束，記該生參加 測(cè)試的次數(shù)為，求的分布列及的數(shù)學(xué)期望。 【變式5】設(shè)排球隊(duì)與進(jìn)行比賽，若

23、有一隊(duì)勝四場(chǎng)則比賽結(jié)束(不出現(xiàn)平局)．通常，若兩隊(duì)技術(shù)水平相差懸殊，則比賽需要的場(chǎng)數(shù)較少；若兩隊(duì)技術(shù)水平相當(dāng)，則比賽需要的場(chǎng)數(shù)較多．試用你學(xué)過(guò)的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解釋這一事實(shí)。 解：設(shè)在每場(chǎng)比賽中，A勝B的概率為p，B勝A的概率為q＝1－p(0≤p≤1)，進(jìn)行n場(chǎng)比賽，可看作是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其中A勝B k場(chǎng)的概率為． 　　設(shè)比賽結(jié)束時(shí)，比賽場(chǎng)數(shù)為隨機(jī)變量ξ，因?yàn)楸荣愔辽僖M(jìn)行4場(chǎng)，∴ξ≥4 　　又如果比賽進(jìn)行了7場(chǎng)，兩隊(duì)中總有一隊(duì)要?jiǎng)?場(chǎng)，比賽結(jié)束，∴ξ≤7，即ξ的取值集合為{4，5，6，7} 　　“ξ＝k”表示比賽k場(chǎng)即決出勝隊(duì)，即A在第k場(chǎng)取勝，在前k－1場(chǎng)中又勝了3場(chǎng)，或者B

24、在第k場(chǎng)取勝，在前k－1場(chǎng)中又勝了3場(chǎng)． 　　∴ (k＝4，5，6，7) ξ 4 5 6 7 p P4＋q4 4pq(p3＋q3) 10p3q2(p2＋q2) 20p3q3 8分 　　又p＋q＝1，∴p2＋q2＝1－2pq，p3＋q3＝1－3pq，p4＋q4＝1－4pq＋2p2q2 　　∴ 　　設(shè)，0≤t≤ 當(dāng)t接近于0時(shí)，說(shuō)明雙方水平相差懸殊，當(dāng)t接近于時(shí)，說(shuō)明雙方水平相當(dāng)．10分 　　令 　　 　　∴f (t)在[0，]上是增函數(shù)，故當(dāng)雙方水平的差距逐漸縮小時(shí)，比賽的平均場(chǎng)數(shù)逐漸增多．特別地當(dāng)某隊(duì)占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)即t＝0時(shí)，Eξ＝4，平均只需比賽

25、4場(chǎng)；當(dāng)兩隊(duì)水平一樣時(shí)，即，Eξ≈5.83，平均需要比賽6場(chǎng)． 4．甲、乙二人各有一個(gè)放有3個(gè)紅球，2個(gè)黃球，1個(gè)白球的箱子，兩個(gè)人各自從自己的箱子中任取一球，規(guī)定：當(dāng)兩球同色時(shí)甲勝，異色時(shí)乙勝. （1）求甲取勝的概率； （2）若又規(guī)定：當(dāng)甲取紅、黃、白球而勝的得分分別為1、2、3 分，否則得0分，求甲得分的期望。 【變式】甲、乙兩位小學(xué)生各有2020年奧運(yùn)吉祥物“福娃”5個(gè) （其中“貝貝”、“晶晶”、“歡歡”、“迎迎”和“妮妮”各一個(gè)），現(xiàn)以投擲一個(gè)骰子的方式進(jìn)行游戲，規(guī)則如下：當(dāng)出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，甲贏得乙一個(gè)福娃；否則乙贏得甲一個(gè)福娃. 規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達(dá)

26、9次時(shí)，或在此前某人已贏得所有福娃時(shí)游戲終止. 記游戲終止時(shí)投擲骰子的次數(shù)為. （1）求的分布列； （2）求的數(shù)學(xué)期。 Ⅳ. 綜合與創(chuàng)新 1．為科學(xué)地比較考試布成績(jī)，有些選拔性考試常常會(huì)將考試分?jǐn)?shù) 轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分，轉(zhuǎn)化關(guān)系式為 (其中是某位學(xué)生的 考試分?jǐn)?shù)，是該次考試的平均分，是該次考試的標(biāo)準(zhǔn)差，稱 為這個(gè)學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)分)．轉(zhuǎn)化后可能出現(xiàn)小數(shù)和負(fù)值，因此又常將 分?jǐn)?shù)作線性變換為其他分?jǐn)?shù)．如某次學(xué)業(yè)選拔考試采用的是 分?jǐn)?shù)，線性變換公式是．已知在這次考試中某位 考生的考試分?jǐn)?shù)是85，這次考試的平均分是70，標(biāo)準(zhǔn)差是25； 則該考生的分?jǐn)?shù)是。 2．有一只放有個(gè)紅球，個(gè)白球，個(gè)

27、黃球的箱子 （），有一只放有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，1個(gè)黃球的 箱子，兩人各自從自己的箱子中任取一球比顏色，規(guī)定同色時(shí)為 勝，異色時(shí)為勝 （1）寫出勝的所有基本事件 （2）用表示勝的概率； （3）當(dāng)如何調(diào)整箱子中球時(shí)，才能使自己獲勝的概率最大？ 3．如圖是兩個(gè)獨(dú)立的轉(zhuǎn)盤，在兩個(gè)圖中三個(gè)扇形區(qū)域的圓心角分別為。用這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤進(jìn)行玩游戲，規(guī)則是：同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤待指針停下（當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤中任意一個(gè)指針恰好落在分界線時(shí)，則這次轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)效，重新開(kāi)始），記轉(zhuǎn)盤指針?biāo)鶎?duì)的區(qū)域數(shù)為，轉(zhuǎn)盤指針?biāo)鶎?duì)的區(qū)域?yàn)?，? 設(shè)的值為，每一次游戲得到獎(jiǎng)勵(lì)分為 （1）求且的概率； （2）某人進(jìn)行了次游戲，求他平

28、均可以得到的獎(jiǎng)勵(lì)分 4．甲、乙投籃的命中率分別為，兩人輪流投籃，甲先投籃，乙后投籃，然后甲再投籃……，直到兩人中有一人投籃命中為止 （1）求第次中止的概率為 （2）求第次中甲投籃命中的概率為 （3）求數(shù)列的前項(xiàng)的和 【變式1】甲、乙、丙、丁四人做相互傳球練習(xí)，第一次甲傳給其他三人中的一人，第二次由拿球者再傳給其他三人中的一人，……，且拿球者傳給其他三人中的任何一人都是等可能的，求： （1）共傳了四次，第四次球傳回到甲的概率； （2）若規(guī)定：最多傳五次球，且在傳球過(guò)程中，球傳回到甲手中即停止傳球；設(shè)ξ表示傳球停止時(shí)傳球的次數(shù)，求 （3）設(shè)第次傳球

29、后球在甲手中的概率為；求 【變式2】甲盒中裝有7個(gè)標(biāo)號(hào)為1、2、3、4、5、6、7的小球， 乙盒中裝有個(gè)標(biāo)號(hào)為的小球， （1）從甲盒中有放回地抽取小球3次，每次抽取一個(gè)球， 求恰有兩次抽取7號(hào)球的概率； （2）現(xiàn)將兩盒球均勻混合，從中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，若 抽取的標(biāo)號(hào)為的小球的概率為，求的值。 （3）現(xiàn)將兩盒球均勻混合，從中隨機(jī)抽取二個(gè)小球， 求二個(gè)球標(biāo)號(hào)相同的概率，求的前項(xiàng)的和。 【變式3】將不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)，每個(gè)元件 正常工作的概率均為； 系統(tǒng)是將每個(gè)元件并聯(lián)為組，再全部串聯(lián)； 系統(tǒng)是將每個(gè)元件并聯(lián)為組，再全部并聯(lián)； 求

30、系統(tǒng)正常工作的概率，并比較其大小。 5．一個(gè)均勻的正四面體的四個(gè)面分別涂有1、2、3、4四個(gè)數(shù)字， 現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次，正四面體底面上的數(shù)字分別為， 記， （1）分別求出取得最大值和最小值時(shí)的概率； （2）求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【變式1】某電器商經(jīng)過(guò)多年的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)本店每個(gè)月售出的電冰箱的 臺(tái)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，它的分布列如下： 1 2 3 …… 12 P …… 設(shè)每售出一臺(tái)電冰箱，電器商獲利300元，如銷售不出而囤積于倉(cāng)庫(kù)，則每臺(tái)每月需花保養(yǎng)費(fèi)用100元，問(wèn)電器商每月初購(gòu)進(jìn)多少臺(tái)電冰箱才能使自己月平均收益最大？ 【變式2】在一個(gè)盒

31、子中，放有標(biāo)號(hào)分別為，，的三張卡片， 現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別 為、，記． （1）求隨機(jī)變量的最大值，并求事件“取得最大值” 的概率； （2）求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望． 6．某中學(xué)一位高三班主任對(duì)本班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對(duì)待班級(jí) 工作的態(tài)度進(jìn)行長(zhǎng)期的調(diào)查,得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示: 積極參加班級(jí)工作 不太主動(dòng)參加班級(jí)工作 合計(jì) 學(xué)習(xí)積極性高 18 7 25 學(xué)習(xí)積極性一般 6 19 25 合計(jì) 24 26 50 （1）如果隨機(jī)調(diào)查這個(gè)班的一名學(xué)生,那么抽到積極參加班級(jí)工作的學(xué)生的概率是多少?抽到不太積極參加班級(jí)工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少? （2）學(xué)生的積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度是否有關(guān)系?說(shuō)明理由。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m