2020屆高考數(shù)學 總復習階段性測試題五 平面向量 北師大版

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1、階段性測試題五(平面向量) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分． 滿分150分．考試時間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題　共50分) 一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．(2020·臨川模擬)已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝(　　) A．0　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．8 [答案]　B [解析]　|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8， ∴|2a－b|＝2. 2．(2020·蕪湖一模)已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|

2、a＋b|不超過5，則k的取值范圍是(　　) A．[－4,6] B．[－6,4] C．[－6,2] D．[－2,6] [答案]　C [解析]　∵|a＋b|＝|(3，k＋2)|＝≤5，∴(k＋2)2≤42，∴－6≤k≤2.∴選C. 3．(2020·麗水一模)已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，則a與b(　　) A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 [答案]　A [解析]　已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)， a·b＝－30＋30＝0，則a與b垂直． 4．(2020·威海一模)如圖，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，則等于(

3、　　) A．a(chǎn)＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b [答案]　B [解析]　＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋ ＝a＋b. 5．a(chǎn)，b為平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于(　　) A. B．－ C. D．－ [答案]　C [解析]　本題考查了平面向量的坐標運算和數(shù)量積的坐標運算，在解決問題時需要先設出向量坐標，然后求得參數(shù)，該題較為簡單． 由題可知，設b＝(x，y)，則2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5,12)， 所以cos〈a，b〉＝＝，故選C. 6．(

4、文)(2020·寶雞模擬)已知a、b均為非零向量，命題p：a·b>0，命題q：a與b的夾角為銳角，則p是q成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　B [解析]　當a與b夾角為0°時，a·b>0；∴p?/ q， 當a與b夾角α為銳角時，a·b＝|a|·|b|cosα>0， ∴q?p.因此p是q成立的必要不充分條件． (理)(2020·寶雞模擬)已知a＝(1,3)，b＝(1,1)，c＝a＋λb，若a和c的夾角是銳角，則λ的取值范圍是(　　) A. B. C．{0} D.∪(0，＋∞) [答案]

5、　D [解析]　由條件得，c＝(1＋λ，3＋λ)，從而 ?λ∈∪(0，＋∞)． 7．(文)(2020·九江一模)已知向量m＝(1,1)，n＝(1，t)，若m·n＝3，則向量m與向量n夾角的余弦值為(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　∵m·n＝3，∴1＋t＝3，∴t＝2， ∴n＝(1,2)，|m|＝，|n|＝， ∴cos＝＝＝，故選D. (理)(2020·九江一模)已知向量a與b的夾角為，|a|＝，則a在b方向上的投影為(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　∵a在b方向上的投影為|a|cos<

6、a，b> ＝cos＝.故應選C. 8．設向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，則β－α等于(　　) A. B．－ C. D．－ [答案]　A [解析]　由|2a＋b|＝|a－2b|知 3|a|2－3|b|2＋8a·b＝0. 而|a|＝1，|b|＝1，故a·b＝0， 即cos(α－β)＝0，由于0<α<β<π， 故－π<α－β<0，故β－α＝，選A. 9．(文)(2020·泉州一模)已知向量m，n滿足m＝(2,0)，n＝(，)．在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D為BC邊的中點，則|

7、|等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 [答案]　A [解析]　由D為BC邊的中點得， ||＝|＋|. 又∵(＋)＝(4m－4n) ＝2m－2n＝(1，－) ∴||＝2，故選A. (理)(2020·泉州一模)若△ABC的三個內角A，B，C成等差數(shù)列，且(＋)·＝0，則△ABC一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．非等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形 [答案]　C [解析]　∵(＋)·＝0， ∴(＋)(－)＝0， ∴2－2＝0，即||＝|| 又A，B，C成等差數(shù)列，∴B＝60°. 從而C＝A＝60°.故△ABC為等邊三角形．

8、 10．(文)(2020·遼寧理)若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為(　　) A.－1 B．1 C. D．2 [答案]　B [解析]　本小題考查內容為向量數(shù)量積及向量模的計算． |a＋b－c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b－2a·c－2b·c ＝3－2(a·c＋b·c) (a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋|c|2 ＝1－(a·c＋b·c)≤0， ∴|a＋b－c|2≤1，∴|a＋b－c|max＝1. (理)(2020·四川文)在集合{1,2,3,4,5}中任取一個偶數(shù)a和一個奇數(shù)b

9、構成以原點為起點的向量α＝(a，b)．從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作成的平行四邊形的個數(shù)為n，其中面積等于2的平行四邊形的個數(shù)為m，則＝(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　向量a的坐標有(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)．共6種情況，以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形共有C＝15個． 以a，b為鄰邊所作平行四邊形的面積為 S＝|a||b|sin＝|a||b| ＝|a||b|＝. 分別以a＝(2,1)，b＝(4,1)；a＝(2,1)，b＝(4,3)

10、；a＝(4,5)，b＝(2,3)為鄰邊的平行四邊形面積為2，故m＝3，所以＝＝. [點評]　本題綜合考查了平面向量的數(shù)量積、排列組合知識及分析問題、解決問題的能力，綜合性較強，難度較大． 第Ⅱ卷(非選擇題　共100分) 二、填空題(本大題共5個小題，每小題5分，共25分，把正確答案填在題中橫線上) 11．(2020·沈陽調研)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，則a·b等于________． [答案]　1 [解析]　∵a＝(1,1)，b＝(－1,2)，∴a·b＝1×(－1)＋1×2＝－1＋2＝1. 12．已知e1，e2是夾角為的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2

11、.若a·b＝0，則實數(shù)k的值為________． [答案]　 [解析]　a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e＝k－2＋(1－2k)cos＝2k－. ∵a·b＝0，∴2k－＝0，即k＝. 13．(文)(2020·湖南文)設向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為________． [答案]　(－4，－2) [解析]　考查向量坐標數(shù)乘運算等． 由a與b方向相反可設a＝λ(2,1)，λ<0， 所以由|a|＝2＝|λ|，知λ＝－2， 所以a＝(－4，－2)． (理)(2020·湖南理)在邊長為1的正三角形A

12、BC中，設＝2，＝3，則·＝________. [答案]?。? [解析]　本小題考查內容為向量的加減法與向量數(shù)量積的計算． 如圖，令＝a，＝b，＝(a＋b)，＝＋＝(b－a)＋＝b－a， ∴·＝· ＝a·b－＋－a·b ＝－－a·b ＝－－×＝－. 14．(2020·黃山模擬)設向量 a，b的夾角為θ，a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)，則sinθ＝________. [答案]　 [解析]　設b＝(x，y)， ∵a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)， ∴即∴b＝(1,1)， ∴cosθ＝＝＝. 又∵θ∈[0，π]，∴sinθ＝＝. 15．(2020·濟南調研

13、)在直角坐標系xOy中，i，j分別是與x軸，y軸平行的單位向量，若直角三角形ABC中，＝i＋j，＝2i＋mj，則實數(shù)m＝________. [答案]　0或－2 [解析]　本題考查了向量的運算． 由已知可得＝－＝i＋(m－1)j. 當A＝90°時，·＝(i＋j)·(2i＋mj) ＝2＋m＝0，m＝－2. 當B＝90°時，·＝－(i＋j)·[i＋(m－1)·j] ＝－(1＋m－1)＝－m＝0，m＝0. 當C＝90°時，·＝－(2i＋mj)·[－i－(m－1)j]＝2＋m(m－1)＝m2－m＋2＝0， 此時m不存在．故m＝0或－2. 三、解答題(本大題共6個小題，共75分，解答應

14、寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16．(本小題滿分12分)(2020·鄭州模擬)已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，是否能以a，b為平面內所有向量的一組基底？若能，試將向量c用這一組基底表示出來；若不能，請說明理由． [解析]　∵a＝(3，－2)，b＝(－2,1)． ∴a·b＝3×1－(－2)×(－2)＝－1≠0. ∴a與b不共線，故一定能以a，b作為平面內的所有向量的一組基底． 設c＝λa＋ub即 (7，－4)＝(3λ，－2λ)＋(－2u，u) ＝(3λ－2u，－2λ＋u)， ∴，解得. ∴c＝a－2b. 17．(本小題滿分12分)(2020

15、·徐州模擬)已知平面內A、B、C三點在一條直線上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求實數(shù)m，n的值． [解析]　由于C、A、B三點在一條直線上，則∥， 又＝－＝(7，－1－m)， ＝－＝(n＋2,1－m)， ∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0. 整理得mn＋n－5m＋9＝0， 又⊥， ∴－2n＋m＝0. 聯(lián)立方程組解得或. 18．(本小題滿分12分)(2020·鹽城一模)已知向量a＝(sinθ，)，b＝(1，cosθ)，θ∈(－，)． (1)若a⊥b，求θ； (2)求|a＋b|的最大值． [解析]　(1)因為a⊥b，所以sinθ＋cosθ＝0

16、. 得tanθ＝－. 又θ∈(－，)，所以θ＝－. (2)因為|a＋b|2＝(sinθ＋1)2＋(cosθ＋)2 ＝5＋4sin(θ＋)． 所以當θ＝時，|a＋b|2的最大值為5＋4＝9. 故|a＋b|的最大值為3. 19．(本小題滿分12分)(2020·洛陽模擬)已知向量a＝(，)，b＝(2，cos2x)． (1)若x∈(0，]，試判斷a與b能否平行？ (2)若x∈(0，]，求函數(shù)f(x)＝a·b的最小值． [解析]　(1)若a與b平行，則有·cos2x＝·2，因為x∈(0，]，sinx≠0，所以得cos2x＝－2，這與|cos2x|≤1相矛盾，故a與b不能平行． (2

17、)由于f(x)＝a·b＝－＝ ＝＝2sinx＋， 又因為x∈(0，]，所以sinx∈(0，]， 于是2sinx＋≥2＝2， 當2sinx＝，即sinx＝時取等號． 故函數(shù)f(x)的最小值等于2. 20．(本小題滿分13分)已知向量＝，＝，定義函數(shù)f(x)＝·. (1)求函數(shù)f(x)的表達式，并指出其最大值和最小值； (2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f(A)＝1，bc＝8，求△ABC的面積S. [解析]　(1)f(x)＝·＝(－2sinx，－1)·(－cosx，cos2x)＝sin2x－cos2x ＝sin， ∴f(x)的最大值和最小值分別是和

18、－. (2)∵f(A)＝1， ∴sin＝. ∴2A－＝或2A－＝. ∴A＝或A＝. 又∵△ABC為銳角三角形， ∴A＝， ∵bc＝8， ∴△ABC的面積S＝bcsinA ＝×8×＝2. 21．(本小題滿分14分)(2020·西安模擬)已知O為坐標原點，向量＝(sinα，1)，＝(cosα，0)，＝(－sinα，2)，點P滿足＝. (1)記函數(shù)f(α)＝·，α∈(－，)，討論函數(shù)f(α)的單調性，并求其值域； (2)若O，P，C三點共線，求|＋|的值． [解析]　(1)＝(cosα－sinα，－1)，設＝(x，y)， 則＝(x－cosα，y)． 由＝得x＝2cosα

19、－sinα，y＝－1， 故＝(2cosα－sinα，－1)． ＝(sinα－cosα，1)，＝(2sinα，－1)． f(α)＝·＝(sinα－cosα，1)·(2sinα，－1) ＝2sin2α－2sinαcosα－1＝－(sin2α＋cos2α) ＝－sin(2α＋)， 又α∈(－，)，故0<2α＋<， 當0<2α＋≤，即－<α≤時，f(α)單調遞減； 當<2α＋<，即<α<時，f(α)單調遞增， 故函數(shù)f(α)的單調遞增區(qū)間為(，)， 單調遞減區(qū)間為(－，]， 因為sin(2α＋)∈(－，1]， 故函數(shù)f(α)的值域為[－，1)． (2)＝(2cosα－sinα，－1)，＝(－sinα，2)， 由O，P，C三點共線可得 (－1)×(－sinα)＝2×(2cosα－sinα)，得tanα＝. sin2α＝＝＝. ∴|＋|＝ ＝＝. [點評]　本題是三角函數(shù)與平面向量的綜合問題，這類試題的難度一般不大，但解題時要細心，要正確利用平面向量的相關知識，特別是平面向量中的共線、垂直關系． 高考資源網(wǎng) w w 高 考 資源 網(wǎng)