2020屆高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)階段性測試題二 函數(shù)與基本初等函數(shù) 北師大版

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1、階段性測試題二(函數(shù)與基本初等函數(shù)) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分． 滿分150分．考試時間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題　共50分) 一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．已知loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n的值為(　　) A．6　　　　　　　　 B．18 C．12 D．7 [答案]　C [解析]　方法一：由對數(shù)的定義知am＝2，an＝3， ∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12. 方法二：a2m＋n＝a ＝a ＝a＝12. 2．(2020·西安模擬)

2、下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意x1，x2∈(－∞，0)，當(dāng)x1

3、]，所以對g(x)有，故x∈(0,1)． 4．(2020·重慶文)設(shè)a＝log，b＝log，c＝log3，則a、b、c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)log>log，即a>b>c. [點(diǎn)評]　本題考查了對數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax(0

4、 D．－ [答案]　B [解析]　f＝f＝f(－2)＝3－2＝. 6．(2020·沈陽一模)若函數(shù)f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定義域和值域都為R，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)＝－1或3 B．a(chǎn)＝－1 C．a(chǎn)>3或a<－1 D．－1

5、) A．[－1,1] B．[－2,2] C．[－2,1] D．[－1,2] [答案]　A [解析]　當(dāng)x≤0時，f(x)≥x2可變?yōu)閤＋2≥x2. 即，∴－1≤x≤0. 當(dāng)x>0時，f(x)≥x2可變?yōu)椋瓁＋2≥x2， 即∴0

6、)＝f(3)＝f(1＋2)＝＝－. 9．(2020·溫州調(diào)研)已知函數(shù)f1(x)＝ax，f2(x)＝xa，f3(x)＝logax(其中a>0，且a≠1)在同一坐標(biāo)系中畫出其中兩個函數(shù)在第一象限的圖像，其中正確的是(　　) [答案]　B [解析]　從選項(xiàng)A可看出兩圖像應(yīng)為f1(x)＝ax與f2(x)＝xa，由f1(x)的圖像知a>1，由f2(x)圖像知a<0， ∴A不正確； 對于選項(xiàng)B，圖像應(yīng)為f2(x)＝xa與f3(x)＝logax， 由f2(x)的圖像知a>1，由f3(x)的圖像知a>1，可能正確． 對于選項(xiàng)C，表示f1(x)＝ax與f3(x)＝logax的圖像， 由f1

7、(x)知a>1， 由f3(x)知01，由f1(x)的圖像知0

8、24,211＝2048>2020， ∵ln11∈(2,3)，∴x＝11時，2x＋lnx與2020最接近，于是，0.1n＝11，∴n＝110. 第Ⅱ卷(非選擇題　共100分) 二、填空題(本大題共5個小題，每小題5分，共25分，把正確答案填在題中橫線上) 11．(2020·鎮(zhèn)江調(diào)研)函數(shù)f(x)＝log2(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間是________． [答案]　(－，＋∞) [解析]　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－，＋∞)， 令t＝2x＋1(t>0)， 因?yàn)閥＝log2t在t∈(0，＋∞)上為增函數(shù)， t＝2x＋1在(－，＋∞)上為增函數(shù)， 所以函數(shù)y＝log2(2x＋1)的單調(diào)增

9、區(qū)間為(－，＋∞)． 12．(2020·合肥模擬)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且周期為5，若f(1)<－1，f(4)＝loga2(a>0，且a≠1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． [答案]　(1,2) [解析]　 因?yàn)閒(x)是周期為5的奇函數(shù)，所以f(4)＝－f(－4)＝－f(1)， 又因?yàn)閒(1)<－1，所以f(4)＝－f(1)>1， 即loga2>1，所以1

10、區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇0,1]，當(dāng)f(x)＝0時x＝1，當(dāng)f(x)＝1時x＝3或，所以要使值域?yàn)閇0,1]，定義域可以為[，3]，[1,3]，[，1]，所以b－a的最小值為. 14．(2020·江蘇)已知實(shí)數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝，若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________． [答案]?。? [解析]　首先討論1－a,1＋a與1的關(guān)系， 當(dāng)a<0時，1－a>1,1＋a<1， 所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a； f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2. 因?yàn)閒(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2， 所以a＝－. 當(dāng)a>0時，1－a<

11、1,1＋a>1， 所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a； f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1. 因?yàn)閒(1－a)＝f(1＋a)， 所以2－a＝－3a－1，所以a＝－(舍去)． 綜上，滿足條件的a＝－. [點(diǎn)評]　本小題考查分段函數(shù)的求值、解方程等基本知識，考查學(xué)生分類討論思想的應(yīng)用． 15．(2020·修水一模)設(shè)a>1，若對于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]滿足方程logax＋logay＝3，這時a的取值集合為________． [答案]　{a|a≥2} [解析]　由logax＋logay＝3，得loga(xy)＝3，即y＝， ∵a>1且x>0

12、，∴y＝在x∈[a,2a]上單調(diào)遞減． ∴ymax＝f(a)＝＝a2， ymin＝f(2a)＝＝， 由題意得，得a≥2. 三、解答題(本大題共6個小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝a－. (1)求證：函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)； (2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解析]　(1)證明：當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝a－， 設(shè)00，x1－x2<0. f(x1)－f(x2)＝(a－)－(a－) ＝－＝<0. ∴f(x1)

13、，即f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． (2)解：由題意a－<2x在(1，＋∞)上恒成立， 設(shè)h(x)＝2x＋，則a

14、析]　(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c， 由f(0)＝1得c＝1，故f(x)＝ax2＋bx＋1. ∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即2ax＋a＋b＝2x， ∴∴ ∴f(x)＝x2－x＋1. (2)由題意得x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立．即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立． 設(shè)g(x)＝x2－3x＋1－m， 其圖像的對稱軸為直線x＝， ∴g(x)在[－1,1]上遞減．即只需g(1)>0， 即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1. 所以m的取值范圍為m∈(－∞，－1)． 18

15、．(本小題滿分12分)(2020·南京一模)已知f(x)＝x2－x＋k，且log2f(a)＝2，f(log2a)＝k(a>0，a≠1)． (1)求a，k的值； (2)當(dāng)x為何值時，f(logax)有最小值？并求出該最小值． [解析]　(1)由題得 由(2)得log2a＝0或log2a＝1， 解得a＝1(舍去)或a＝2， 由a＝2得k＝2. (2)f(logax)＝f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2， 當(dāng)log2x＝即x＝時，f(logax)有最小值，最小值為. 19．(本小題滿分12分)函數(shù)f(x)對任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，

16、并且當(dāng)x>0時，f(x)>1. (1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)； (2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3. [分析]　欲證f(x)為增函數(shù)，即證x2>x1時，f(x2)>f(x1)．由已知x>0時，f(x)>1，∴x2－x1>0時，f(x2－x1)>1，再結(jié)合條件．f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，有f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1) ＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0. [解析]　(1)證明：設(shè)x1、x2∈R，且x10，∴f(x2－x1)>1. f(x2)－f(x1)＝

17、f[(x2－x1)＋x1]－f(x1) ＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1) ＝f(x2－x1)－1>0， ∴f(x1)

18、上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． (1)當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式； (2)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時) [解析]　(1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時，v(x)＝60；當(dāng)20≤x≤200時，設(shè)v(x)＝ax＋b， 再由已知得解得 故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為 v(x)＝ (2)依題意并由(1)可得

19、 f(x)＝ 當(dāng)0≤x≤20時，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時，其最大值為60×20＝1200； 當(dāng)20

20、)－x≥0，并且當(dāng)x∈(0,2)時，f(x)≤2. (1)求f(1)的值； (2)證明：a>0，c>0； (3)當(dāng)x∈[－1,1]時，函數(shù)g(x)＝f(x)－mx(x∈R)是單調(diào)函數(shù)，求證：m≤0或m≥1. [解析]　(1)解：∵對x∈R，f(x)－x≥0恒成立， 當(dāng)x＝1時，f(1)≥1， 又∵1∈(0,2)， 由已知得f(1)≤()2＝1， ∴1≤f(1)≤1.∴f(1)＝1. (2)證明：∵f(1)＝1，∴a＋b＋c＝1. 又∵a－b＋c＝0，∴b＝.∴a＋c＝. ∵f(x)－x≥0對x∈R恒成立， ∴ax2－x＋c≥0對x∈R恒成立． ∴∴ ∴c>0，故a>0，c>0. (3)證明：∵a＋c＝，ac≥， 由a>0，c>0及a＋c≥2，得ac≤， ∴ac＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝時，取“＝”． ∴f(x)＝x2＋x＋. ∴g(x)＝f(x)－mx ＝x2＋(－m)x＋ ＝[x2＋(2－4m)x＋1]． ∵g(x)在[－1,1]上是單調(diào)函數(shù)， ∴2m－1≤－1或2m－1≥1. ∴m≤0或m≥1.