2020屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 函數(shù)圖象與性質(zhì)

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1、2020屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 函數(shù)圖象與性質(zhì) 【教學(xué)內(nèi)容】 函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、反函數(shù)、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。 【教學(xué)目標(biāo)】 1、要正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義。由定義可知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)奇偶性的定義是制定函數(shù)奇偶然性的依據(jù)，但有時(shí)為了便于判斷，需將函數(shù)進(jìn)行變形，化簡或利用定義的等價(jià)形式： f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0=-1 (f(x)≠0) f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0=-1 (f(x)≠0) 另外，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之亦成立，因此也可以利用函數(shù)圖象去

2、制定函數(shù)的奇偶性。 2、函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間是其定義域的子集，因此討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)應(yīng)先確定函數(shù)的定義域。利用定義證明函數(shù)的增減性時(shí)，要注意證題過程的書寫要嚴(yán)密，先設(shè)x1

3、x)的單調(diào)性相反。 3、反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域，因此求反函數(shù)時(shí)它的定義域不能由解析式直接得到，而要由原函數(shù)的值域求得。求y=f(x)的反函數(shù)通常分三個(gè)步驟來進(jìn)行1°確定原函數(shù)的值域，它就是反函數(shù)的定義域。2°由y=f(x)反解x得x=f-1(y)，3°交換x、y的位置求得反函數(shù)y=f-1(x)。若y=f(x)是分段函數(shù)，也應(yīng)分段來求反函數(shù)，最后仍然寫成分段函數(shù)的形式。 4、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)是基本的初等函數(shù)，我們應(yīng)熟練掌握這些函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)性并能運(yùn)用這些知識來解決問題。 【知識講解】 例1、已知函數(shù)f(x)=(m-n)2x3-(m2-n2)x2+(

4、m3n3)x-(m+n)2 （1） 當(dāng)m、n滿足什么條件時(shí)，f(x)是奇函數(shù)。 （2） 當(dāng)m、n滿足什么條件時(shí)，f(x)是偶函數(shù)。 解：（1）若f(x)是奇函數(shù)，則f(-x)+f(x)=0 ∴(m2-n2)x2+( m+n)2=0對一切x恒成立 ∴ m2-n2=0 (m+n)2=0 ∴m+n=0 即當(dāng)m+n=0時(shí)，f(x)為奇函數(shù) （2）同理可得當(dāng)m=n時(shí)，f(x)為偶函數(shù) 說明：設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+ ……+a1x+a0，若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)表達(dá)式中不 含x的偶次項(xiàng)，即含x的偶次冪（包含常數(shù)項(xiàng)）的系數(shù)均為零；若f(x)為偶函數(shù)

5、，則f(x)表達(dá)式中不含x的奇次項(xiàng)。 例2、已知y=f(x)是奇函數(shù)，且x≥0時(shí)，f(x)=x2-2x，求f(x)的解析式。 解：設(shè)x<0，則-x>0，由題意可知 f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x，又y=f(x)是奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x)，所以當(dāng)x<0時(shí)， f(x)=-f(-x)=-x2-2x，∴ f(x)= x2-2x x≥0 -x2-2x x<0 例3、用定義判定下列函數(shù)的奇偶性。 （1）f(x)=x (n∈N, x≠0) （2）f(x)=log2(x+), x∈R （3） f

6、(x)=lgx2+lg (x≠0) （4） f(x)=()·tanx （5） f(x)= 解：（1） ∵n∈N, ∴2n是偶函數(shù)，2n+1是奇數(shù)，∴f(-x)=(-x)=x=f(x)， ∴f(x)是偶函數(shù)。 （2）f(-x)=log2(-x+)=log2=-log2(x+)=-f(x)， ∴f(x)是奇函數(shù)。 （3）f(x)=lgx2+lg=0，則f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，∴f(x)既是奇函數(shù)，又 是偶函數(shù)。 （4）f(x)的定義域是{x|x∈R且x≠ k∈Z}關(guān)于原點(diǎn)對稱，又 f(-x)=()

7、·tan(-x)=-()tanx=()tanx=f(x) ∴f(x)為偶函數(shù) （5）對于三角形1+sinx+cosx，當(dāng)x=時(shí)，其值為2，當(dāng)x=-時(shí)，其值為零，由此1可知原函數(shù)f(x)=的定義域中包含x=，但是不包含x=-，所以定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f(x)是非奇偶的函數(shù)。 例4、證明函數(shù)f(x)=x+在[0，1]上是減函數(shù)。 證明：當(dāng)01 ∴<0 ∴f(x1)-f(x2)>

8、0，即f(x1)-f(x2)>0 ∴f(x)=x+在(0,1]上是減函數(shù)。 例5、判斷函數(shù)y=在（0，+∞）內(nèi)的增減性。 證明：設(shè)0

9、、x2∈R，那么f(x2)-f(x1)=(-x23+1)-(-x13+1)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22) ∵x10, 則x12+x1x2+x22>0 如果x1x2=0，由于x1≠x2 故x12+x1x2+x22>0 如果x1·x2<0，則x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2>0 總之，只要x1≠x2，則都有x12+x1x2+x22>0 ② ∴(x1-x2)(x12+x1x2+x22)<0，即f(x2)

10、二：設(shè)-∞0 ③ 由①和③知f(x)22|x1x2|≥|x1x2|≥-x1x2 ∴x12+x1x2+x22>0 以下同

11、解法一。 例7、求函數(shù)y =的單調(diào)區(qū)間。 分析：注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)定義域的子集，因此求單調(diào)區(qū)間必須首先求該函數(shù)的定義域，由-x2-2x+3≥0知-3≤x≤1，而u=-x2-2x+3=-(x+1)2+4在[-3，-1]上遞增，在[-1，1]上遞減，又y=單調(diào)遞增，所以原函數(shù)的增區(qū)間為[-3，-1]，減區(qū)間為[-1，1]。 例8、已知f(x)=x2+c，且f[f(x)]=f(x2+1)。 （1） 設(shè)g(x)=f[f(x)]，求g(x)的解析式。 （2） 設(shè)(x)=g(x)-λ·f(x)，試問：是否存在實(shí)數(shù)λ使(x)在（-∞，-1）上 是減函數(shù)，并且在（-1，0）上是增函數(shù)。

12、解：（1）由已知得f[f(x)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c，f(x2+1)=(x2+1)2+c ∴ (x2+c)2+c=(x2+1)2+c 故c=1 ∴g(x)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2 （2）∵(x)=g(x)-λ·f(x)=x4+(2-λ)x2+(2-λ) ∴(x2)- (x1)=(x24-x14)+(2-λ)(x22-x12) =(x1+x2)(x2-x1)[x12+x22+(2-λ)] 設(shè)-∞1+1+2-λ=4-

13、λ ② 由①與② 當(dāng)4-λ≥0 即λ≤4時(shí)，(x)在（-∞，-1）上是減函數(shù) 同理，當(dāng)λ≥4時(shí)，(x)在（-1，0）上是增函數(shù)。 綜上可知，當(dāng)λ=4時(shí)，(x)在（-∞，-1）上是減函數(shù)，并且在（-1，0）上是增 函數(shù)。 例9、已知f(x)= ，x∈R，求f-1()的值。 解：根據(jù)函數(shù)y=f(x)與反函數(shù)與反函數(shù)y=f-1(x)之間的關(guān)系，求f-1()的值，就是求f(x)=時(shí)的x的值，于是有=，則2x=，即2x+1=1 ∴x=-1 即f-1()=-1 說明：此解法必須建立在對函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)之間的關(guān)系有深刻的理解的基礎(chǔ)之上，把求f-1(

14、a)的問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求指數(shù)方程f(x)=a的解的問題，觀點(diǎn)高，解法也簡便，省去了先求f(x)的反函數(shù)的這一較繁瑣的過程。 例10、已知函數(shù)f(x)=()x，(x>0)和定義在R上的奇函數(shù)g(x)；當(dāng)x>0時(shí)有g(shù)(x)=f(x)，試求g(x)的反函數(shù)。 解：∵g(x)為奇函數(shù)，∴g(0)=0，又∵x>0時(shí)，g(x)=f(x)=()x，且x>0時(shí)， ∵()x∈（0，1） 設(shè)x<0，則-x>0，又g(x)為奇函數(shù)。 ∴g(x)=-f(-x)=-()_x=-2x 且x<0時(shí)，-2?x∈（-1，0） ∴ ()x x>0 g(x)= 0 x=0

15、 -2x x<0 ∴ logx 0

16、。 由于y=f(x)的圖象與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，所以函數(shù)y= （x∈R且x≠）的圖象關(guān)于直線y=x成軸對稱圖形。 例12、設(shè)0

17、解：y=(2x+2-x)2-2a(2x+2+-x)-2 令t=2x+2-x≥2，則y=t2-2at-2 1°若a≥2，則當(dāng)t=a時(shí)，ymin=-a2-2，此時(shí)2x+2-x=a，x=log2·(a±)-1 2°若a<2，則當(dāng)t=2時(shí)，ymin=2-4a，此時(shí)2x+2-x=2，即 (2x-1)2=0 ∴2x-1=0，x=0 【每周一練】 一、 選擇題： 1、 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，x∈R時(shí)，|f(x)|=|f(-x)|，則函數(shù)f(x)（ ） A、必是奇函數(shù) B、必是偶函數(shù) C、或?yàn)槠婧瘮?shù)或?yàn)榕己瘮?shù) D、

18、不一定是奇函數(shù)也不一定是偶函數(shù) 2、 定義在R上的偶函數(shù)f(x)以2為周期，已知當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f(x)=x，那么x ∈[-2,0]時(shí)，f(x)的解析式是（ ） A、f(x)=x+4 B、f(x)=2-x C、f(x)=3-|x+1| D、f(x)=2+|x+1| 3、 若0y>1，則ax、ay、xa、ya中最大的數(shù)是（ ） A、ax B、xa C、ay D、ya 4、 若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=

19、()x的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則f(2x-x2) 的單調(diào)區(qū)間是（ ） A、[1，+∞） B、（0，1] C、[1，2） D、（-∞，1] 5、 已知f(x)=3+log2x (x≥1)，則f-1(x)的定義域是（ ） A、x∈R B、x≥1 C、0

20、 D、除y軸外無對稱軸 二、 填空題： 7、 下列四個(gè)命題：（1）f(x)=()2是偶函數(shù)；（2）f(x)=()3是奇函數(shù)；（3） f(x)=lg(-x)是非奇非偶的函數(shù)；（4）f(x)=+是偶函數(shù)，其中正確命題的序號是________。 8、 若函數(shù)y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，則k的取值范圍是______。 9、 函數(shù)y=()的單調(diào)減區(qū)間是____________。 10、已知函數(shù)f(x)=(x∈R，x≠)的反函數(shù)是______。 11、函數(shù)y=的增區(qū)間為__________。 12、已知0

21、____。 三、解答題： 13、討論函數(shù)y=x+在區(qū)間（0，2）及（2，+∞)上的單調(diào)性。 14、判斷函數(shù)f(x)= x+1 x∈[-1, )0的奇偶性。 x-1 x∈(0,1] 15、設(shè)x∈（-1，1）f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且f(x)+g(x)=-2lg(1+x)，求 10g(x)。 16、討論下列函數(shù)的單調(diào)性。 （1）y= （2）y=lg(x2-2x-3) 17、求下列函數(shù)的反函數(shù)。 （1）y = - （2）y = x<0

22、 1 + x≥0 18、已知f(x)=x2-ax x∈[1,+∞) （1） 求f(x)的最小組m(a)； （2） 求函數(shù)f(a)=m(a)-a2的最大值。 19、設(shè)f(x)是定義在（-∞，+∞）上以2為周期的周期函數(shù)，且f(x)為偶函數(shù)， 在區(qū)間[2，3]上，有f(x)=-2(x-3)2+4，（1）求x∈[1，2]時(shí),f(x)的解析式；（2）若矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B在x軸上，C、D在函數(shù)y=f(x) (0≤x≤2)的圖象上，求這個(gè)矩形面積的最大值。 [參考答案] 一、 選擇題 1、D 2、C 3、B 4、B

23、5、D 6、B 二、 填空題： 7、（4） 8、（-∞，-2） 9、[2，+∞） 10、y= (x∈R且x≠) 11、[-3，-1] 12、31時(shí)，x∈(-∞，]，y遞減，x∈[，+∞)遞增。 0