2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國卷3含解析）(1)

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1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國卷3） 注意事項： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。 2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1. 已知集合，，則 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由題意先解出集合A,進而

2、得到結(jié)果。 詳解：由集合A得, 所以 故答案選C. 點睛：本題主要考查交集的運算，屬于基礎(chǔ)題。 2. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由復(fù)數(shù)的乘法運算展開即可。 詳解： 故選D. 點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題。 3. 中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是 A. A B. B C. C D. D 【答案】A 【解析】分析：

3、觀察圖形可得。 詳解：觀擦圖形圖可知，俯視圖為 故答案為A. 點睛：本題主要考擦空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題。 4. 若，則 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由公式可得。 詳解： 故答案為B. 點睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題。 5. 的展開式中的系數(shù)為 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】分析：寫出，然后可得結(jié)果 詳解：由題可得 令,則 所以 故選C. 點睛：本題主要考查二項式定理，屬于基礎(chǔ)題。 6. 直線分別與軸，軸交于，兩

4、點，點在圓上，則面積的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先求出A，B兩點坐標(biāo)得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可 詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點 ,則 點P在圓上 圓心為（2，0），則圓心到直線距離 故點P到直線的距離的范圍為 則 故答案選A. 點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題。 7. 函數(shù)的圖像大致為 A. A B. B C. C D. D 【答案】D 【解析】分析：由特殊值排除即可 詳解：當(dāng)時，，排除

5、A,B. ,當(dāng)時，,排除C 故正確答案選D. 點睛：本題考查函數(shù)的圖像，考查了特殊值排除法，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系，屬于中檔題。 8. 某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，，則 A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3 【答案】B 【解析】分析：判斷出為二項分布，利用公式進行計算即可。 或 ， ,可知 故答案選B. 點睛：本題主要考查二項分布相關(guān)知識，屬于中檔題。 9. 的內(nèi)角的對邊分別為，，，若的面積為，則 A. B. C. D.

6、 【答案】C 【解析】分析：利用面積公式和余弦定理進行計算可得。 詳解：由題可知 所以 由余弦定理 所以 故選C. 點睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理。 10. 設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：作圖，D為MO 與球的交點，點M為三角形ABC的重心，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大，然后進行計算可得。 詳解：如圖所示， 點M為三角形ABC的重心，E為AC中點， 當(dāng)平面時，三棱錐體積最大 此時，

7、, 點M為三角形ABC的重心 中，有 故選B. 點睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計算得到，再由勾股定理得到OM，進而得到結(jié)果，屬于較難題型。 11. 設(shè)是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標(biāo)原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為 A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】分析：由雙曲線性質(zhì)得到，然后在和在中利用余弦定理可得。 詳解：由題可知 在中， 在中, 故選C. 點睛：本題主要考查雙曲

8、線的相關(guān)知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題。 12. 設(shè)，，則 A. B. C. D. 【答案】B 詳解：. ,即 又 即 故選B. 點睛：本題主要考查對數(shù)的運算和不等式，屬于中檔題。 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13. 已知向量，，．若，則________． 【答案】 【解析】分析：由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計算即可。 詳解：由題可得 ,即 故答案為 點睛：本題主要考查向量的坐標(biāo)運算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。 14. 曲線在點處的切線的斜率為，則________．

9、 【答案】 【解析】分析：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可。 詳解： 則 所以 故答案為-3. 點睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題。 15. 函數(shù)在的零點個數(shù)為________． 【答案】 【解析】分析：求出的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值可得零點個數(shù)。 詳解： 由題可知，或 解得,或 故有3個零點。 點睛：本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點，屬于基礎(chǔ)題。 16. 已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩點．若 ，則________． 【答案】2 【解析】分析：利用點差法進行計算即可。 詳解：設(shè) 則 所以 所以

10、 取AB中點,分別過點A,B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為 因為, 因為M’為AB中點， 所以MM’平行于x軸 因為M(-1,1) 所以，則即 故答案為2. 點睛：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了拋物線的性質(zhì)，設(shè)，利用點差法得到，取AB中點, 分別過點A,B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由拋物線的性質(zhì)得到，進而得到斜率。 三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． （一）必考題：共60分． 17. 等比數(shù)列中，． （1）求的通項公式； （2）記為的前項和

11、．若，求． 【答案】（1）或 （2） 【解析】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n項和，解方程可得m。 詳解：（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得． 由已知得，解得（舍去），或． 故或． （2）若，則．由得，此方程沒有正整數(shù)解． 若，則．由得，解得． 綜上，． 點睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，屬于基礎(chǔ)題。 18. 某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作

12、時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖： （1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由； （2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過 不超過 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 （3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：， 【答案】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高. 理由見解析 （2）80 （3）能 【解析】分析：（1）計算兩種生產(chǎn)方式的平均時間即可。 （2）計算出中位數(shù)，再由莖葉圖數(shù)

13、據(jù)完成列聯(lián)表。 （3）由公式計算出，再與6.635比較可得結(jié)果。 詳解：（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高. 理由如下： （i）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. （ii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. （iii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘；

14、用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. （iv）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. 以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分. （2）由莖葉圖知. 列聯(lián)表如下： 超過 不超過

15、 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 （3）由于，所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異. 點睛：本題主要考查了莖葉圖和獨立性檢驗，考察學(xué)生的計算能力和分析問題的能力，貼近生活。 19. 如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點． （1）證明：平面平面； （2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）見解析 （2） 【解析】分析：（1）先證平面CMD,得,再證，進而完成證明。 （2）先建立空間直角坐標(biāo)系，然后判斷出的位置，求出平面和平面的法向量，進而求得平面與平面所成二面角的正弦值。

16、 詳解：（1）由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因為BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM. 因為M為上異于C，D的點,且DC為直徑，所以 DM⊥CM. 又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC. 而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC. （2）以D為坐標(biāo)原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz. 當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時，M為的中點. 由題設(shè)得， 設(shè)是平面MAB的法向量,則 即 可取. 是平面MCD的法向量,因此 ， ， 所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是. 點睛：本題主要考查

17、面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問主要考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角，考查數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行求解，考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力，屬于中檔題。 20. 已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為． （1）證明：； （2）設(shè)為的右焦點，為上一點,且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差． 【答案】（1） （2）或 【解析】分析：（1）設(shè)而不求，利用點差法進行證明。 （2）解出m,進而求出點P的坐標(biāo)，得到,再由兩點間距離公式表示出，得到直的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達定理進行求解。 詳解：（1）設(shè)，

18、則. 兩式相減，并由得 . 由題設(shè)知，于是 .① 由題設(shè)得，故. （2）由題意得，設(shè)，則 . 由（1）及題設(shè)得. 又點P在C上，所以，從而，. 于是 . 同理. 所以. 故，即成等差數(shù)列. 設(shè)該數(shù)列的公差為d，則 .② 將代入①得. 所以l的方程為，代入C的方程，并整理得. 故，代入②解得. 所以該數(shù)列的公差為或. 21. 已知函數(shù)． （1）若，證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，； （2）若是的極大值點，求． 【答案】（1）見解析 （2） 【解析】分析：（1）求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性證明即可。 （2）分類討論和,構(gòu)造函數(shù),討論的性質(zhì)即可得到a的范圍。

19、詳解：（1）當(dāng)時，，. 設(shè)函數(shù)，則. 當(dāng)時，；當(dāng)時，.故當(dāng)時，，且僅當(dāng)時，，從而，且僅當(dāng)時，. 所以在單調(diào)遞增. 又，故當(dāng)時，；當(dāng)時，. （2）（i）若，由（1）知，當(dāng)時，，這與是的極大值點矛盾. （ii）若，設(shè)函數(shù). 由于當(dāng)時，，故與符號相同. 又，故是的極大值點當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點. . 如果，則當(dāng)，且時，，故不是的極大值點. 如果，則存在根，故當(dāng)，且時，，所以不是的極大值點. 如果，則.則當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以是的極大值點，從而是的極大值點 綜上，. 點睛：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值證明不等式，第二問分類討論和,當(dāng)時構(gòu)造函數(shù)時關(guān)鍵，討

20、論函數(shù)的性質(zhì)，本題難度較大。 （二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分． 22. [選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系中，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過點且傾斜角為的直線與交于兩點． （1）求的取值范圍； （2）求中點的軌跡的參數(shù)方程． 【答案】（1） （2） 為參數(shù)， 【解析】分析：（1）由圓與直線相交，圓心到直線距離可得。 （2）聯(lián)立方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求解 詳解：（1）的直角坐標(biāo)方程為． 當(dāng)時，與交于兩點． 當(dāng)時，記，則的方程為．與交于兩點當(dāng)且僅當(dāng)，解得或，即或． 綜上，的取值范圍是． （2）的

21、參數(shù)方程為為參數(shù)， ． 設(shè)，，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，，則，且，滿足． 于是，．又點的坐標(biāo)滿足 所以點的軌跡的參數(shù)方程是 為參數(shù)， ． 點睛：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的參數(shù)方程，考查求點的軌跡方程，屬于中檔題。 23. [選修4—5：不等式選講] 設(shè)函數(shù)． （1）畫出的圖像； （2）當(dāng)，，求的最小值． 【答案】（1）見解析 （2） 【解析】分析：（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再畫出在各自定義域的圖像即可。 （2）結(jié)合（1）問可得a，b范圍，進而得到a+b的最小值 詳解：（1） 的圖像如圖所示． （2）由（1）知，的圖像與軸交點的縱坐標(biāo)為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當(dāng)且僅當(dāng)且時，在成立，因此的最小值為． 點睛：本題主要考查函數(shù)圖像的畫法，考查由不等式求參數(shù)的范圍，屬于中檔題。