2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題 理（全國卷3參考解析）

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1、2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國） 理科數(shù)學 一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分） 1．已知集合，，則中元素的個數(shù)為（） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】表示圓上所有點的集合，表示直線上所有點的集合， 故表示兩直線與圓的交點，由圖可知交點的個數(shù)為2，即元素的個數(shù)為2，故選B. 2．設復數(shù)z滿足，則（） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由題，，則，故選C. 3．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期間月接待

2、游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖． 2020年 2020年 2020年 根據(jù)該折線圖，下列結論錯誤的是（） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) 【答案】A 【解析】由題圖可知，2020年8月到9月的月接待游客量在減少，則A選項錯誤，故選A. 4．的展開式中的系數(shù)為（） A． B． C．40 D．80 【答案】C 【解析】由二

3、項式定理可得，原式展開中含的項為 ，則的系數(shù)為40，故選C. 5．已知雙曲線（，）的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點．則的方程為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵雙曲線的一條漸近線方程為，則① 又∵橢圓與雙曲線有公共焦點，易知，則② 由①②解得，則雙曲線的方程為，故選B. 6．設函數(shù)，則下列結論錯誤的是（） A．的一個周期為 B．的圖像關于直線對稱 C．的一個零點為 D．在單調遞減 【答案】D 【解析】函數(shù)的圖象可由向左平移個單位得到， 如圖可知，在上先遞減后遞增，D選項錯誤，故選D. 7．執(zhí)行右圖的

4、程序框圖，為使輸出的值小于91，則輸入的正整數(shù)的最小值為（） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】程序運行過程如下表所示： 初始狀態(tài) 0 100 1 第1次循環(huán)結束 100 2 第2次循環(huán)結束 90 1 3 此時首次滿足條件，程序需在時跳出循環(huán)，即為滿足條件的最小值，故選D. 8．已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓半徑， 則圓柱體體積

5、，故選B. 9．等差數(shù)列的首項為1，公差不為0．若，，成等比數(shù)列，則前6項的和為（） A． B． C．3 D．8 【答案】A 【解析】∵為等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，設公差為. 則，即 又∵，代入上式可得 又∵，則 ∴，故選A. 10．已知橢圓（）的左、右頂點分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵以為直徑為圓與直線相切，∴圓心到直線距離等于半徑， ∴ 又∵，則上式可化簡為 ∵，可得，即 ∴，故選A 11．已知函數(shù)有唯一零點，則（

6、） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】由條件，，得： ∴，即為的對稱軸， 由題意，有唯一零點， ∴的零點只能為， 即， 解得． 12．在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上．若，則的最大值為（） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【解析】由題意，畫出右圖． 設與切于點，連接． 以為原點，為軸正半軸， 為軸正半軸建立直角坐標系， 則點坐標為． ∵，． ∴． ∵切于點． ∴⊥． ∴是中斜邊上的高． 即的半徑為． ∵在上． ∴點的軌跡方程為． 設點坐標，可以設出點坐標滿足的參

7、數(shù)方程如下： 而，，． ∵ ∴，． 兩式相加得： (其中，) 當且僅當，時，取得最大值3． 二、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分） 13．若x，y滿足約束條件則的最小值為________． 【答案】 【解析】由題，畫出可行域如圖： 目標函數(shù)為，則直線縱截距越大，值越小． 由圖可知：在處取最小值，故． 14．設等比數(shù)列滿足，，則________． 【答案】 【解析】為等比數(shù)列，設公比為． ，即， 顯然，， 得，即，代入式可得， ． 15．設函數(shù)則滿足的x的取值范圍是________． 【答案】 【解析】

8、，，即 由圖象變換可畫出與的圖象如下： 由圖可知，滿足的解為. 16．，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與 ，都垂直，斜邊以直線為旋轉軸旋轉，有下列結論： ①當直線與成角時，與成角； ②當直線與成角時，與成角； ③直線與所成角的最小值為； ④直線與所成角的最大值為． 其中正確的是________（填寫所有正確結論的編號） 【答案】②③ 【解析】由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖． 不妨設圖中所示正方體邊長為1， 故，， 斜邊以直線為旋轉軸旋轉，則點保持不變， 點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓． 以為坐標原點，以為軸

9、正方向，為軸正方向， 為軸正方向建立空間直角坐標系． 則，， 直線的方向單位向量，． 點起始坐標為， 直線的方向單位向量，． 設點在運動過程中的坐標， 其中為與的夾角，． 那么在運動過程中的向量，． 設與所成夾角為， 則． 故，所以③正確，④錯誤． 設與所成夾角為， . 當與夾角為時，即， ． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴，此時與夾角為． ∴②正確，①錯誤． 三、解答題：（共70分．第17-20題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答） （一）必考題：共60分． 17．（12分） 的內角A，B，C的對邊分別

10、為a，b，c，已知，，． （1）求c； （2）設為邊上一點，且，求的面積． 【解析】（1）由得， 即，又， ∴，得. 由余弦定理.又∵代入并整理得，故. （2）∵， 由余弦定理. ∵，即為直角三角形， 則，得. 由勾股定理. 又，則， . 18．（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，

11、為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率． （1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列； （2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元）．當六月份這種酸奶一天的進貨量（單位：瓶）為多少時，的數(shù)學期望達到最大值？ 【解析】⑴易知需求量可取 . 則分布列為： ⑵①當時：，此時，當時取到. ②當時： 此時，當時

12、取到. ③當時， 此時. ④當時，易知一定小于③的情況. 綜上所述：當時，取到最大值為. 19．（12分）如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形．，． （1）證明：平面平面； （2）過的平面交于點，若平面把四面體分成體積相等的兩部分．求二面角的余弦值． 【解析】⑴取中點為，連接，； 為等邊三角形 ∴ ∴ . ∴,即為等腰直角三角形， 為直角又為底邊中點 ∴ 令，則 易得：， ∴ 由勾股定理的逆定理可得 即 又∵ 由面面垂直的判定定理可得 ⑵由題意可知 即,到平面的距離相等 即為中

13、點 以為原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，設，建立空間直角坐標系， 則，，，， 易得：，， 設平面的法向量為，平面的法向量為， 則，解得 ，解得 若二面角為，易知為銳角， 則 20．（12分）已知拋物線，過點（2，0）的直線交于，兩點，圓是以線段為直徑的圓． （1）證明：坐標原點在圓上； （2）設圓過點（4，），求直線與圓的方程． 【解析】⑴顯然，當直線斜率為時，直線與拋物線交于一點，不符合題意． 設，，， 聯(lián)立：得， 恒大于，，． ∴，即在圓上． ⑵若圓過點，則 化簡得解得或 ①當時，圓心為， ，， 半徑

14、 則圓 ②當時，圓心為， ，， 半徑 則圓 21．（12分）已知函數(shù)． （1）若，求的值； （2）設為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，，求的最小值． 【解析】⑴ ， 則，且 當時，，在上單調增，所以時，，不滿足題意； 當時， 當時，，則在上單調遞減； 當時，，則在上單調遞增． ①若，在上單調遞增∴當時矛盾 ②若，在上單調遞減∴當時矛盾 ③若，在上單調遞減，在上單調遞增∴滿足題意 綜上所述． ⑵ 當時即 則有當且僅當時等號成立 ∴， 一方面：， 即． 另一方面： 當時， ∵，， ∴的最小值為． 22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）

15、 在直角坐標系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），設與的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C． （1）寫出C的普通方程： （2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設，M為與C的交點，求M的極徑． 【解析】⑴將參數(shù)方程轉化為一般方程 ……① ……② ①②消可得： 即的軌跡方程為； ⑵將參數(shù)方程轉化為一般方程 ……③ 聯(lián)立曲線和 解得 由解得 即的極半徑是． 23．[選修4-5：不等式選講]（10分） 已知函數(shù)． （1）求不等式的解集； （2）若不等式的解集非空，求m的取值范圍． 【解析】⑴可等價為.由可得： ①當時顯然不滿足題意； ②當時，，解得； ③當時，恒成立.綜上，的解集為. ⑵不等式等價為， 令，則解集非空只需要. 而. ①當時，； ②當時，； ③當時，. 綜上，，故.