任意角三角函數(shù) 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式

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1、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式 嘗試回憶 1、1弧度的角；2、角度制與弧度制的互化；3、弧長公式及扇形面積公式；4、用弧度制表示第一象限內(nèi)的角的集合和x軸上的角的集合。 2、特別注意：角度與弧度不要混用。如，應(yīng)寫成或 3、初中所學(xué)的銳角的正、余弦函數(shù)是如何定義的？ 探究新知 1、單位圓 在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，以單位長為半徑的圓，稱為單位圓。 單位長：可以是1cm、1m、1km、1光年等。單位圓可根據(jù)需要移到其它地方。 2、任意角的正、余弦函數(shù)定義 x y P(a,b) α O 在直角坐標(biāo)系中，給定單位圓，對于任意角α，使角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊

2、與x軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u,v)，則交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v叫作角α的正弦函數(shù)，記作v=sinα; 點(diǎn)P的橫坐標(biāo)u叫作角α的余弦函數(shù),記作u=cosα. 通常，用x表示自變量，用x表示角的大小，用y表示函數(shù)值，因此 定義任意角的三角函數(shù)y=sinx和y=cosx,定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇-1，1]。 設(shè)點(diǎn)P（a,b）是角α終邊上除原點(diǎn)之外的任意一點(diǎn)，記 則定義更具有一般性。 3、三角函數(shù)值的符號 根據(jù)定義，三角函數(shù)值的符號僅與點(diǎn)P的縱、橫坐標(biāo)的符號有關(guān)。sinα在一、二象限為正，三、四象限為負(fù)；cosα在一、四象限為正，二、三象限為負(fù).軸線角的正余弦函數(shù)值也有符號。 例1功能

3、：會求任意角的三角函數(shù)值。其步驟（1）畫角；（2）求交點(diǎn)坐標(biāo)。可聯(lián)立方程解得；（3）求值。 4、單位圓與周期性 在單位圓中找到角等與單位圓的交點(diǎn)，說明：（1）終邊沒變；（2）交點(diǎn)沒變；（3）交點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)沒變。從而說明正弦函數(shù)值沒變，余弦函數(shù)值沒變。即 從而說明終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，終邊相同的角的余弦函數(shù)值相等。即 說明：對于任意一個(gè)角x，每增加的整數(shù)倍，其正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均不變。所以，正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均是隨角的變化呈周期性變化的。這種隨自變量的變化函數(shù)值呈周期性變化的函數(shù)叫做周期函數(shù)。特別指出，周期性不是三角函數(shù)特有的，一般函數(shù)也有周期性。周期函數(shù)的自變量不

4、一定是角。是的周期，則都是它的周期，并且它的所有周期中有一個(gè)最小的正數(shù)，稱為它的最小正周期。同理也是的最小正周期。有的周期函數(shù)沒有最小正周期，如任意一個(gè)正數(shù)都是它的周期，但沒有一個(gè)最小的正數(shù)。 周期函數(shù)的嚴(yán)格定義：一般地，對于函數(shù)，如果存在非零常數(shù),對定義域內(nèi)的任意一個(gè)值，都有，則稱為周期函數(shù)，為它的一個(gè)周期。 單位圓與誘導(dǎo)公式 x y o P’(x,-y) P(x,y) M 利用單位圓的對稱性：通過觀察角的終邊的對稱性以及角的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)的對稱性，探尋角a與等正、余弦函數(shù)關(guān)系，得到誘導(dǎo)公式。便于推導(dǎo)，也方便記憶。把用對稱找點(diǎn)的坐標(biāo)作為重點(diǎn)。 1、角與的正、余弦函

5、數(shù)關(guān)系 x y o P (x,y) P1 (-x,-y) 2、角與的正、余弦函數(shù)關(guān)系 3、角與的正、余弦函數(shù)關(guān)系 x y o P (x,y) P1 (x,-y) P2 (-x,y) 也可以由1、2兩組公式推出 P (x,y) M x y o P1 (-y, x) M1 4、角與的正、余弦函數(shù)關(guān)系 5、角與的正、余弦函數(shù)關(guān)系 P (x,y) y M x o P1 (y, x) M1 y=x 6、任意角的正、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式 （1） （2） （3） （4） （5） 補(bǔ)

6、： 、、、 記憶規(guī)律：“函數(shù)名不變，符號看象限”。即它們的正、余弦函數(shù)值等于的同名三角函數(shù)值，加上把看成為銳角時(shí)，對應(yīng)的三角函數(shù)值的符號。如把看成銳角時(shí)，終邊在第四象限，其余弦值為正，函數(shù)名稱不變，所以 ， 記憶規(guī)律：“函數(shù)名改變，符號看象限”。即它們的正、余弦函數(shù)值等于的“余”名三角函數(shù)值，加上把看成為銳角時(shí)，對應(yīng)的三角函數(shù)值的符號?！坝唷泵骸罢齽t余，余則正”。如把看成銳角時(shí)，終邊在第二象限，其余弦值為負(fù)，函數(shù)名稱改變，所以。 7、誘導(dǎo)公式的作用 （1）可把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)值求出。一般地：負(fù)角化正角（），再化成為（），再化成為求出。第二象限用，第三象限用，第

7、四象限用 （2）化簡 （3）求值 例1． 求下列函數(shù)值 （1） sin(－π) （2）sin()； （3）sin(－1650°)； 解： (1) sin(－π)＝sin(－2π＋)＝sin＝ （2） （3）sin(－1650°)＝－sin1650°＝－sin(4×360°＋210°)＝－sin210° ＝－sin(180°＋30°)＝sin30°＝ 例2．化簡： 解：原式=1 三角函數(shù)誘導(dǎo)公式習(xí)題 一、選擇題 1．如果|cosx|=cos（x+π），則x的取值集合是（ ） A．－+2kπ≤x≤

8、+2kπ B．－+2kπ≤x≤+2kπ C． +2kπ≤x≤+2kπ D．（2k+1）π≤x≤2（k+1）π（以上k∈Z） 2．sin（－）的值是（ ） A． B．－ C． D．－ 3．下列三角函數(shù)： ①sin（nπ+）；②cos（2nπ+）；③sin（2nπ+）；④cos［（2n+1）π－］； ⑤sin［（2n+1）π－］（n∈Z）． 其中函數(shù)值與sin的值相同的是（ ） A．①② B．①③④ C．②③⑤ D．①③⑤ 4．若cos（π+α）=－，且α∈（－，0），則tan（+α）的值為（ ） A．－ B． C．－

9、 D． 5．設(shè)A、B、C是三角形的三個(gè)內(nèi)角，下列關(guān)系恒成立的是（ ） A．cos（A+B）=cosC B．sin（A+B）=sinC C．tan（A+B）=tanC D．sin=sin 二、填空題 7．若α是第三象限角，則=_________． 8．sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=_________． 三、解答題 9．求值：sin（－660°）cos420°－tan330°cot（－690°）． 10．證明：． 11．已知cosα=，cos（α+β）=1，求證：cos（2α+β）=． 14． 求證：（1）sin（－α）=－cosα； （2）cos（+α）=sinα． 第 5 頁 共 5 頁