2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.3 冪函數(shù)學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、3．3　冪函數(shù) 1．理解冪函數(shù)的概念． 2．掌握y＝xα(α＝－1，，1,2,3)的圖象與性質(zhì)． 3．理解和掌握冪函數(shù)在第一象限的分類特征，能運用數(shù)形結(jié)合的方法處理冪函數(shù)的有關(guān)問題． 1．冪函數(shù)的概念 一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)． 2．常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 溫馨提示：冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)a>0時，y＝xα是增函數(shù)；當(dāng)α<0時，y＝xα是減函數(shù)． 1．y＝2x2和y＝－是冪函數(shù)嗎？ [答案]　不是 2．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝x0(x≠0)是冪函數(shù)．(　　) (2)冪函數(shù)的

2、圖象必過點(0,0)和(1,1)．(　　) (3)冪函數(shù)的圖象都不過第二、四象限．(　　) (4)當(dāng)α>0時，y＝xα是增函數(shù)．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 題型一冪函數(shù)的概念 【典例1】　(1)在函數(shù)①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是冪函數(shù)的是(　　) A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ (2)已知冪函數(shù)y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此冪函數(shù)的解析式，并指出其定義域． [思路導(dǎo)引]　緊扣冪函數(shù)的定義求解． [解析]　(1)冪函數(shù)是形如y＝xα(α為常數(shù))的函數(shù)，①是α＝－

3、1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是冪函數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；⑤中x2的系數(shù)是2，所以不是冪函數(shù)；④是常函數(shù)，不是冪函數(shù)．所以只有①②⑥是冪函數(shù)．故選C. (2)∵y＝(m2－m－1)x m2－2m－3為冪函數(shù)， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 當(dāng)m＝2時，m2－2m－3＝－3，則y＝x－3，且有x≠0； 當(dāng)m＝－1時，m2－2m－3＝0，則y＝x0，且有x≠0. 故所求冪函數(shù)的解析式為y＝x－3或y＝x0，它們的定義域都是{x|x≠0}． [答案]　(1)C　(2)見解析 判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法 判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)

4、的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1. [針對訓(xùn)練] 1．下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是(　　) A．y＝ B．y＝x C．y＝22x D．y＝x－1 [解析]　函數(shù)y＝22x＝4x不是冪函數(shù)，故選C. [答案]　C 2．若冪函數(shù)f(x)滿足f(9)＝3，則f(100)＝________. [解析]　設(shè)f(x)＝xα，由f(9)＝3，得9α＝3， ∴α＝，∴f(x)＝x， ∴f(100)＝100＝10. [答案]　10 題型二冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【典例2】　已知冪函數(shù)f(

5、x)＝xα的圖象過點P，試畫出f(x)的圖象并指出該函數(shù)的定義域與單調(diào)區(qū)間． [思路導(dǎo)引]　求出α，結(jié)合圖象確定定義域和值域． [解]　由f(2)＝，得2α＝， 解得α＝－2，所以f(x)＝x－2. f(x)的圖象如圖所示，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，＋∞)，單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0)． [變式]　(1)本例條件不變，試判斷f(x)的奇偶性． (2)本例中點P變?yōu)?，判斷函?shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性． [解]　(1)由f(－x)＝(－x)－2＝x－2＝f(x)， 得f(x)是偶函數(shù)． (2)由f(8)＝，得8α＝，解得α＝－，所以f(x)＝x，其定義

6、域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，是奇函數(shù)，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是減函數(shù)． 解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的2個原則 (1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0,1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；在(1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠離x軸(簡記為指大圖高)． (2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)來判斷． [針對訓(xùn)練] 3．如圖，圖中曲線是冪函數(shù)y＝xα在第一象限的大致圖象，已知α?。?，－，，2四個值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的α的值依次為(　　)

7、 A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2,2， D．2，，－2，－ [解析]　令x＝2，則22>2>2>2－2，故相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的α值依次為2，，－，－2.故選B. [答案]　B 4．如圖是冪函數(shù)y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則(　　) A．－11 D．n<－1，m>1 [解析]　在(0,1)內(nèi)取x0，作直線x＝x0，與各圖象有交點，則“點低指數(shù)大”．如圖，0

8、列各題中兩個值的大小： [思路導(dǎo)引]　構(gòu)造冪函數(shù)，利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小． (2)因為y＝x在定義域[0，＋∞)上是增函數(shù)， 所以解得－1≤m<. 故實數(shù)m的取值范圍為. 比較冪值大小的方法 (1)若指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)． (2)若指數(shù)不同，底數(shù)相同，則考慮借助圖象求解． (3)若指數(shù)與底數(shù)都不同，則考慮插入中間數(shù)，使這個數(shù)的底數(shù)與所比較數(shù)的一個底數(shù)相同，指數(shù)與另一個數(shù)的指數(shù)相同，那么這個數(shù)就介于所比較的兩數(shù)之間，進而比較大?。? [針對訓(xùn)練] 5．比較下列各組數(shù)的大?。? 6．已知冪函數(shù)f(x)＝x，若f(a＋1)

9、2a)，則a的取值范圍是________． [解析]　∵f(x)＝x＝(x>0)，易知f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，又f(a＋1)0，冪函數(shù)在[0，＋∞

10、)上有意義，且是增函數(shù)． (3)如果α<0，冪函數(shù)在x＝0處無意義，在(0，＋∞)上是減函數(shù). 1．下列函數(shù)是冪函數(shù)的是(　　) A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)3 [解析]　函數(shù)y＝5x是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝5x是正比例函數(shù)，不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝(x＋1)3的底數(shù)不是自變量x，不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝x5是冪函數(shù)． [答案]　B 2．設(shè)a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．c

11、0.1，c＝70.1，由冪函數(shù)y＝x0.1在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，可知c

12、稱，且在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，求f(x)的解析式． [解]　∵冪函數(shù)y＝x3m－9在(0，＋∞)上是減函數(shù)， ∴3m－9<0，即m<3. 又∵m∈N*，∴m＝1,2. 又y＝33m－9的圖象關(guān)于y軸對稱，即該函數(shù)是偶函數(shù)， ∴3m－9是偶數(shù)．∴m＝1. ∴f(x)＝x－6. 課后作業(yè)(二十三) 復(fù)習(xí)鞏固 一、選擇題 1．下列函數(shù)中，其定義域和值域不同的函數(shù)是(　　) [解析]　y＝x＝，其定義域為R，值域為[0，＋∞)，故定義域與值域不同． [答案]　D 2．設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)>b>c B．c>a>b C．a(chǎn)

13、c>a [解析]　構(gòu)造冪函數(shù)y＝x，x>0，由該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，知1>a>b；又c＝2>1，知aa>b. [答案]　B 3．函數(shù)y＝x的圖象大致是圖中的(　　) [解析]　∵函數(shù)y＝x是奇函數(shù)，且α＝>1，∴函數(shù)在R上單調(diào)遞增．故選B. [答案]　B 4．若冪函數(shù)y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的圖象不過原點，且關(guān)于原點對稱，則(　　) A．m＝－2 B．m＝－1 C．m＝－2或m＝－1 D．－3≤m≤－1 [解析]　根據(jù)冪函數(shù)的概念，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1或m＝－2.若m＝－1，則y＝x－4，其圖象不關(guān)于原點對稱，所以

14、不符合題意，舍去；若m＝－2，則y＝x－3，其圖象不過原點，且關(guān)于原點對稱． [答案]　A 5．下列結(jié)論中，正確的是(　　) A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(0,0)，(1,1) B．冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限 C．當(dāng)冪指數(shù)α取1,3，時，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù) D．當(dāng)α＝－1時，冪函數(shù)y＝xα在其整個定義域上是減函數(shù) [解析]　當(dāng)冪指數(shù)α＝－1時，冪函數(shù)y＝x－1的圖象不經(jīng)過原點，故A錯誤；因為所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，且y＝xα(α∈R)>0，所以冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，故B錯誤；當(dāng)α>0時，y＝xα是增函數(shù)，故C正確；當(dāng)α＝－1時，y＝x－1在區(qū)間(

15、－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數(shù)，但在整個定義域上不是減函數(shù)，故D錯誤．故選C. [答案]　C 二、填空題 6．若y＝ax是冪函數(shù)，則該函數(shù)的值域是________． [解析]　由已知y＝ax是冪函數(shù)，得a＝1，所以y＝x，所以y≥0，故該函數(shù)的值域為[0，＋∞)． [答案]　[0，＋∞) 7．函數(shù)y＝3xα－2的圖象過定點________． [解析]　依據(jù)冪函數(shù)y＝xα性質(zhì)，x＝1時，y＝1恒成立，所以函數(shù)y＝3xα－2中，x＝1時，y＝1恒成立，即過定點(1,1)． [答案]　(1,1) 8．已知當(dāng)x∈(1，＋∞)時，函數(shù)y＝xα的圖象恒在直線y＝x的上方，則α的取值范

16、圍是________． [解析]　由冪函數(shù)的圖象特征知α>1. [答案]　(1，＋∞) 三、解答題 9．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點，試求出此函數(shù)的解析式，判斷奇偶性． [解]　設(shè)y＝xα(α∈R)，∵圖象過點， ∴2α＝，α＝－，∴f(x)＝x. ∵函數(shù)y＝x＝，定義域為(0，＋∞)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)． 10．已知冪函數(shù)y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2

17、解]　因為m∈{x|－2

18、解析]　∵f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴3m－5<0(m∈N)，則m＝0或m＝1，當(dāng)m＝0時，f(x)＝x－5是奇函數(shù)，不合題意．當(dāng)m＝1時，f(x)＝x－2是偶函數(shù)，因此m＝1，故選B. [答案]　B 12．在同一坐標系內(nèi)，函數(shù)y＝xa(a≠0)和y＝ax－的圖象可能是(　　) [解析]　當(dāng)a<0時，函數(shù)y＝ax－是減函數(shù)，且在y軸上的截距－>0，y＝xa在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴A、D項均不正確．對于B、C項，若a>0則y＝ax－是增函數(shù)，B項錯，C項正確，故選C. [答案]　C 13.如圖所示，曲線C1與C2分別是函數(shù)y＝xm和y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則下列結(jié)論

19、正確的是(　　) A．nm>0 D．m>n>0 [解析]　由圖象可知，兩函數(shù)在第一象限內(nèi)遞減，故m<0，n<0.當(dāng)x＝2時，2m>2n，所以n3－2a>0或0>a＋1>3－2a 或a＋1<0<3－2a. 解得