四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線及方程 第10課時(shí) 圓錐曲線的綜合應(yīng)用同步測(cè)試 新人教A版選修1 -1

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1、四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線及方程 第10課時(shí) 圓錐曲線的綜合應(yīng)用同步測(cè)試 新人教A版選修1 -1 1.若m是2和8的等比中項(xiàng),則圓錐曲線x2+=1的離心率是(　　). A. B. C.或 D.或 【解析】因?yàn)閙=±4,當(dāng)m=4時(shí),離心率為,當(dāng)m=-4時(shí),離心率為,故選D. 【答案】D 2.下列說(shuō)法中不正確的是(　　). A.若動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)A(-4,0),B(4,0)連線PA,PB的斜率之積為定值,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一部分 B.設(shè)m,n∈R,常數(shù)a>0,定義運(yùn)算“*”:m*n=(m+n)2-(m-n)2,若x≥0,則動(dòng)點(diǎn)P(x,)的軌跡是拋物線的一部分 C.已知

2、圓A:(x+1)2+y2=1,圓B:(x-1)2+y2=25,動(dòng)圓M與圓A外切,與圓B內(nèi)切,則動(dòng)圓的圓心M的軌跡是橢圓 D.已知點(diǎn)A(7,0),B(-7,0),C(2,-12),橢圓過(guò)A,B兩點(diǎn)且以C為其一個(gè)焦點(diǎn),則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡為雙曲線 【解析】A選項(xiàng)中軌跡是雙曲線去掉與x軸交點(diǎn)的部分;B選項(xiàng)中的拋物線取x軸上方的(包含x軸)部分;C選項(xiàng)中符合橢圓定義是正確的;D選項(xiàng)中應(yīng)為雙曲線一支.故選D. 【答案】D 3.已知A是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左頂點(diǎn),F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線上一點(diǎn),G是△PF1F2的重心,若=λ,則雙曲線的離心率為(　　). A

3、.2 B.3 C.4 D.與λ的取值有關(guān) 【解析】因?yàn)?λ,所以∥,所以==,即=,所以e==3,故選B. 【答案】B 4.已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率e=,且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)重合,則此橢圓的方程為(　　). A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+y2=1 【解析】∵拋物線的焦點(diǎn)為(-1,0),∴c=1. 又橢圓的離心率e=,∴a=2,b2=a2-c2=3, ∴橢圓的方程為+=1,故選A. 【答案】A 5.若雙曲線-=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)分成5∶3兩段,則此雙曲線的離心率為　　　

4、　.? 【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,由題意知=,解得c=2b,所以c2=4b2=4(c2-a2),即4a2=3c2,所以2a=c,故e==. 【答案】 6.已知雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角θ滿足cos θ=-,則E的離心率為　　　　.? 【解析】設(shè)點(diǎn)M在第一象限,△ABM是等腰三角形,則有AB=BM,由cos θ=-得sin θ=,所以M點(diǎn)坐標(biāo)為,即,代入雙曲線方程有-=1,b2=2a2,又因?yàn)閎2=c2-a2,所以c2-a2=2a2,=3,e==. 【答案】 7.已知?jiǎng)又本€l的傾斜角為45°,若l與拋物線

5、y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之和為2. (1)求拋物線方程; (2)若直線l'與l平行,且l'過(guò)原點(diǎn)關(guān)于拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),求動(dòng)點(diǎn)M到直線l'的最小距離. 　　【解析】(1)設(shè)直線l的方程為y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),將x=y-b代入y2=2px,得y2-2py+2pb=0. 由題意知y1+y2=2p=2,得p=1. 故拋物線方程為y2=2x. (2)拋物線y2=2x的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為,則l'過(guò)點(diǎn)(-1,0),所以l'的方程為y=x+1, 故點(diǎn)M(x,y)到直線l'的距離d=. 因?yàn)辄c(diǎn)M(x,y

6、)在拋物線y2=2x上, 所以d===. 故當(dāng)y=1時(shí),d的最小距離為. 拓展提升(水平二) 8.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓+=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則·的最大值為(　　). A. B.6 C.8 D.12 【解析】設(shè)點(diǎn)P(x,y),則·=(x,y)·(x+1,y)=x2+x+y2, 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,所以+=1, 所以x2+x+=x2+x+3=(x+2)2+2,又-2≤x≤2, 所以當(dāng)x=2時(shí),(x+2)2+2取得最大值為6, 即·的最大值為6,故選B. 【答案】B 9.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為4,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)與拋物線x2=2py

7、(p>0)的焦點(diǎn)重合,直線y=kx-1與拋物線相切且與雙曲線的一條漸近線平行,則p的值為(　　). A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】拋物線x2=2py的焦點(diǎn)為,所以可得b=,因?yàn)?a=4?a=2,所以雙曲線方程為-=1,可求得其漸近線方程為y=±x,不妨設(shè)y=kx-1與y=x平行,則有k=. 聯(lián)立方程得x2-x+2p=0,所以Δ=-8p=0,解得p=±4,又p>0,故p=4. 【答案】A 10.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,△ABC的頂點(diǎn)都在拋物線上,且滿足+=-,則++=.　 【解析】設(shè)A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)

8、. ∵+=-,∴△ABC的重心是F. 又∵拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為, ∴y1+y2+y3=0. 又∵點(diǎn)A,B在拋物線上,∴=2px1,=2px2,兩式相減,得-=2p(x1-x2), ∴kAB=,同理kBC=,kCA=, ∴++=++==0. 【答案】0 11.已知橢圓C1的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),兩焦點(diǎn)分別為雙曲線C2:-y2=1的頂點(diǎn),直線x+y=0與橢圓C1交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-,1),點(diǎn)P是橢圓C1上異于A,B的任意一點(diǎn),點(diǎn)Q滿足·=0,·=0,且A,B,Q三點(diǎn)不共線. (1)求橢圓C1的方程; (2)求點(diǎn)Q的軌跡方程; (3)求△ABQ面積的最大值

9、及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo). 【解析】(1)∵雙曲線C2:-y2=1的頂點(diǎn)為F1(-,0),F2(,0), ∴橢圓C1兩焦點(diǎn)分別為F1(-,0),F2(,0). 設(shè)橢圓C1方程為+=1(a>b>0), ∵橢圓C1過(guò)點(diǎn)A(-,1), ∴+=1.?、? ∵a2=b2+2,?、? 　　由①②解得a2=4,b2=2. ∴橢圓C1的方程為+=1. (2)設(shè)點(diǎn)Q(x,y),點(diǎn)P(x1,y1), 由點(diǎn)A(-,1)及橢圓C1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可得B(,-1), ∴=(x+,y-1),=(x1+,y1-1), =(x-,y+1),=(x1-,y1+1). 由·=0,得(x+)(x1+)+(y-1)(y

10、1-1)=0, 即(x+)(x1+)=-(y-1)(y1-1).?、? 同理,由·=0,得(x-)(x1-)=-(y+1)(y1+1).　② ①×②得(x2-2)(-2)=(y2-1)(-1).　③ 由于點(diǎn)P在橢圓C1上,則+=1,得=4-2, 代入③式得-2(-1)(-2)=(y2-1)(-1). 當(dāng)-1≠0時(shí),有2x2+y2=5; 當(dāng)-1=0,則點(diǎn)P(-,-1)或P(,1),此時(shí)點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為(,1)或(-,-1), 其坐標(biāo)也滿足方程2x2+y2=5. 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),即點(diǎn)P(-,1),由②得y=x-3, 解方程組得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,-1)或. 同理,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-,1)或. ∴點(diǎn)Q的軌跡方程為2x2+y2=5,除去四個(gè)點(diǎn)(,-1),,(-,1),. (3)由于|AB|==2, 故當(dāng)點(diǎn)Q到直線AB的距離最大時(shí),△ABQ的面積最大. 設(shè)與直線AB平行的直線為x+y+m=0, 由消去x,得5y2+4my+2m2-5=0, 由Δ=32m2-20(2m2-5)=0,解得m=±. 若m=,則y=-2,x=-; 若m=-,則y=2,x=. 故當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或時(shí),△ABQ的面積最大,其最大值為S=|AB|·=.