四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線及方程 第2課時(shí) 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)同步測(cè)試 新人教A版選修1 -1

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1、四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線及方程 第2課時(shí) 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)同步測(cè)試 新人教A版選修1 -1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知橢圓+=1的焦距為4,則m等于(　　). A.4　　 B.8 C.4或8 D.以上均不對(duì) 【解析】①當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),10-m-(m-2)=4,解得m=4;②當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),m-2-(10-m)=4,解得m=8.故選C. 【答案】C 2.已知F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),以線段F1F2為邊作正△MF1F2,若邊MF1的中點(diǎn)在此橢圓上,則此橢圓的離心率為(　　). A. B.-1 C. D.-1 【解析

2、】如圖,由題意知△F1PF2為直角三角形, ∠PF2F1=30°, 又|F1F2|=2c,所以|PF1|=c,|PF2|=c, 所以2a=|PF1|+|PF2|=(1+)c, 所以===-1. 【答案】D 3.若將一個(gè)橢圓繞中心旋轉(zhuǎn)90°,所得橢圓的兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn),這樣的橢圓稱為“對(duì)偶橢圓”.下列橢圓的方程中,是“對(duì)偶橢圓”的方程的是(　　). A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 【解析】由題意,當(dāng)b=c時(shí),將一個(gè)橢圓繞中心旋轉(zhuǎn)90°,所得橢圓的兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn),即該橢圓為“對(duì)偶橢圓”.只有選項(xiàng)A中的b=c=2符合題意. 【答案】A

3、 4.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,過點(diǎn)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若△F1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是(　　). A. B. C.2- D.-1 【解析】設(shè)橢圓焦點(diǎn)在x軸上,點(diǎn)P在x軸上方,則其坐標(biāo)為,因?yàn)椤鱂1PF2為等腰直角三角形,所以|PF2|=|F1F2|,即=2c,即b2=2ac,a2-c2=2ac,等式兩邊同除以a2,化簡(jiǎn)得1-e2=2e,解得e=-1,故選D. 【答案】D 5.經(jīng)過點(diǎn)(2,-3)且與橢圓9x2+4y2=36有共同焦點(diǎn)的橢圓方程為　　　　　.? 【解析】橢圓9x2+4y2=36可化為+=1, 則它的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(0,-),(

4、0,). 設(shè)所求橢圓的方程為+=1(λ>0). 又該橢圓過點(diǎn)(2,-3), 所以+=1,解得λ=10或λ=-2(舍去). 所以所求橢圓的方程為+=1. 【答案】+=1 6.橢圓+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A、B,左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2.若|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比數(shù)列,則該橢圓的離心率為　　　　　　　.? 【解析】∵A、B分別為左、右頂點(diǎn),F1、F2分別為左、右焦點(diǎn),∴|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比數(shù)列,得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,∴離心率e=. 【答案

5、】 7.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率e=,連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為4. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)A,B是直線l:x=2上不同的兩點(diǎn),若·=0,求|AB|的最小值. 【解析】(1)由題意得 解得 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)由(1)知,點(diǎn)F1(-,0),F2(,0),設(shè)直線l:x=2上不同的兩點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(2,y1),B(2,y2),則=(-3,-y1),=(-,-y2),由·=0得y1y2+6=0, 即y2=-,不妨設(shè)y1>0,則|AB|=|y1-y2|=y1+≥2,當(dāng)y1=,y2=-時(shí)取等號(hào)

6、,所以|AB|的最小值是2. 拓展提升(水平二) 8.設(shè)F1,F2分別是橢圓E:+=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),P為直線x=上一點(diǎn),△F2PF1是底角為30°的等腰三角形,則E的離心率為(　　). A. B. C. D. 【解析】 設(shè)直線x=與x軸交于點(diǎn)M,則∠PF2M=60°,在Rt△PF2M中,|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=-c,故cos 60°===,解得=,故離心率e=. 【答案】C 9.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A、B1、B2分別為橢圓C:+=1(a>b>0)的右、下、上頂點(diǎn),F是橢圓C的右焦點(diǎn).若B2F⊥AB1,則橢圓C的離心率是　　

7、　　.? 【解析】由題意得-·=-1?b2=ac?a2-c2=ac?1-e2=e,又0b>0)的右焦點(diǎn)為F2(3,0),離心率為e. (1)若e=,求橢圓的方程. (2)設(shè)直線y=kx與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),M,N分

8、別為線段AF2,BF2的中點(diǎn).若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上,且