四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 第10課時 拋物線的簡單幾何性質(zhì)同步測試 新人教A版選修2-1

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1、四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 第10課時 拋物線的簡單幾何性質(zhì)同步測試 新人教A版選修2-1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.設(shè)M(x0,y0)為拋物線C:x2=8y上一點,點F為拋物線C的焦點,以F為圓心、|FM|為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相交于不同兩點,則y0的取值范圍是(　　). A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞)　 D.[2,+∞) 【解析】圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為p=4,根據(jù)題意,只要滿足|FM|>4即可.由拋物線定義知,|FM|=y0+2.由y0+2>4,解得y0>2,故y0的取值范圍是(2,+∞). 【答案】C 2.探照燈反

2、光鏡的縱斷面是拋物線的一部分,光源在拋物線的焦點處,已知燈口直徑是60 cm,燈深40 cm,則光源到反光鏡頂點的距離是(　　). A.11.25 cm B.5.625 cm C.20 cm D.10 cm 【解析】如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),則點A(40,30). ∴302=2p·40, ∴p=,∴y2=x. ∴光源到反光鏡頂點的距離為=×==5.625(cm). 【答案】B 3.拋物線y2=2x的焦點為F,其準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線-=1(a>0,b>0)的左頂點,點M為這兩條曲線的一個交點,且|MF|=2,則雙曲線的離心率為(　　). A.

3、 B.2 C. D. 【解析】點F,準(zhǔn)線l:x=-, 由題意知a=. 由拋物線的定義知,xM-=2,∴xM=, ∴=3.∵點(xM,yM)在雙曲線上,∴-=1, ∴b2=,∴c2=a2+b2=,∴e2==×4=, ∴e=. 【答案】A 4.已知點O為坐標(biāo)原點,點F為拋物線y2=4x的焦點,點A是拋物線上一點,若·=-4,則點A的坐標(biāo)是(　　). A.(1,2) B.(4,4) C.(1,2)或(1,-2) D.(4,4)或(4,-4) 【解析】因為拋物線的焦點為F(1,0),設(shè)點A, 則=,=. 由·=-4,得y0=±2, 所以點A的坐標(biāo)是(1,2)或(1,-2).

4、 【答案】C 5.對標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線,給出下列條件: ①焦點在y軸上;②焦點在x軸上;③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于6;④由原點向過焦點的某直線作垂線,垂足坐標(biāo)為(2,1). 其中滿足拋物線方程y2=10x的是　　　　.(要求填寫適合條件的序號)? 【解析】拋物線y2=10x的焦點在x軸上,①不滿足,②滿足;設(shè)M(1,y0)是拋物線y2=10x上的一點,F為拋物線的焦點,則|MF|=1+=1+=≠6,所以③不滿足;由于拋物線y2=10x的焦點為,過該焦點的直線方程為y=k,若由原點向該直線作垂線,垂足坐標(biāo)為(2,1)時,則k=-2,此時存在,所以④滿足. 【答案】②④

5、6.設(shè)過點P(-2,4)且傾斜角為135°的直線l與拋物線C:y2=2px(p>0)相交于A,B兩點,若|PA|,|AB|,|PB|成等比數(shù)列,則拋物線C的方程為　　　　.? 【解析】直線l的方程為y=-x+2, 聯(lián)立y=-x+2和y2=2px,消去x,得y2+2py-4p=0. 設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2), 則y1+y2=-2p,y1y2=-4p. 由P,A,B三點共線,且|PA|,|AB|,|PB|成等比數(shù)列,則|y1-4|,|y1-y2|,|y2-4|也成等比數(shù)列,得|(y1-4)(y2-4)|=|y1-y2|2≠0, 則|y1y2-4(y1+y2)+16|=(y

6、1+y2)2-4y1y2,且y1≠y2,即|p+4|=p2+4p, 且Δ=(2p)2-4(-4p)=4p2+16p>0,解得p=1. 所求拋物線的方程為y2=2x. 【答案】y2=2x 7.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A(0,4),B(0,-2),動點P(x,y)滿足·-y2+8=0. (1)求動點P的軌跡方程; (2)設(shè)(1)中所求的軌跡與直線y=x+2交于C,D兩點,求證:OC⊥OD(O為坐標(biāo)原點). 【解析】(1)由題意,可知=(-x,4-y), =(-x,-2-y), ∴x2+(4-y)(-2-y)-y2+8=0, 整理得x2=2y,∴動點P的軌跡方程為x2=2y.

7、 (2)由整理得x2-2x-4=0, ∴x1+x2=2,x1x2=-4. ∵kOC·kOD=·= = = =-1, ∴OC⊥OD. 拓展提升(水平二) 8.已知點M在拋物線y2=6x上,N為拋物線的準(zhǔn)線l上的一點,F為拋物線的焦點,若=,則直線MN的斜率為(　　). A.± B.±1 C.±2 D.± 【解析】由題設(shè)可知點M,N,F三點共線,且點F是線段MN的中點,不妨設(shè)點M(x0,y0)(y0<0),N(t>0),F,則x0=,y0=-t.又點M(x0,y0)在拋物線上,所以=6x0,即y0=-3,所以t=3.故直線MN的斜率k=-. 設(shè)y0>0,則t<0,同理可得M

8、N的斜率k=,故選D. 【答案】D 9.已知點A(1,2)在拋物線C:y2=4x上,過點A作兩條直線分別交拋物線于D,E兩點,直線AD,AE的斜率分別為kAD,kAE,若直線DE過點P(-1,-2),則kAD·kAE=(　　). A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】設(shè)點D(x1,y1),E(x2,y2), 則kAD=,kAE=, ∴kAD·kAE=·=,?、? 設(shè)直線DE:y+2=k(x+1), 聯(lián)立方程 消去x,可得ky2-4y+4k-8=0. ∴y1+y2=,y1y2=. ∴x1+x2==, x1x2==, 代入①可得kAD·kAE==2. 【答案】C 10

9、.已知南北方向有條公路L,A地在公路正東2 km處,B地在A地北偏東60°方向2 km處,河流沿岸曲線PQ上任意一點到公路L和到A地距離相等.現(xiàn)要在曲線PQ上某處建一座碼頭,向A,B兩地運貨物.經(jīng)測算,從M到A,B修建公路的費用都為a萬元/km,那么,修建這兩條公路的總費用最低是　　　　萬元.? 【解析】如圖所示,由題意知,曲線PQ是以A為焦點、L為準(zhǔn)線的拋物線,根據(jù)拋物線的定義,知欲求M到A,B修建公路的費用最低,只需求出B點到準(zhǔn)線L的距離即可.∵B地在A地北偏東60°方向2 km處,∴B點到拋物線L的距離為2·sin 60°+2=5(km),∴修建這兩條公路的總費用最低為5a萬元.

10、 【答案】5a 11.已知拋物線y2=4x的焦點為F,O為坐標(biāo)原點,A,B為拋物線上兩點. (1)若·=0,求證:直線AB恒過定點,并求出該定點坐標(biāo). (2)若線段AB中點的橫坐標(biāo)為2,且AB不與x軸垂直,求證:線段AB的垂直平分線恒過定點,并求出該定點坐標(biāo). (3)若線段AB過焦點F,AO與拋物線的準(zhǔn)線交于點C,求證:BC∥x軸. 【解析】(1)顯然AB不與x軸平行,故設(shè)AB所在直線的方程為x=my+a,A(x1,y1),B(x2,y2). 由得y2-4my-4a=0, ∴y1+y2=4m,y1y1=-4a. ∵·=x1x2+y1y2=(my1+a)(my2+a)+y1y

11、2=(m2+1)y1y2+ma(y1+y2)+a2,代入化簡得a2-4a=0, ∴a=0(舍去)或a=4, ∴直線AB的方程為x=my+4,直線恒過定點(4,0). (2)若AB不與x軸垂直,設(shè)AB所在直線的方程為y=kx+b, 由得k2x2+(2kb-4)x+b2=0, ∵x1+x2==4,∴b=.?、? 又AB中點的坐標(biāo)為(2,2k+b), ∴線段AB的垂直平分線為y-(2k+b)=-(x-2). 將①代入得方程為x+ky-4=0,直線恒過定點(4,0). (3)當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)線段AB所在直線的方程為y=k(x-1), 由得ky2-4y-4k=0, ∴y1y2=-4,即y2=-. 又直線AO的方程為y=x,其中=4x1,∴y=x,∴直線與準(zhǔn)線x=-1的交點C的縱坐標(biāo)yC=-. ∵yC=y2,∴BC∥x軸. 當(dāng)直線AB⊥x軸時,顯然BC∥x軸.