2017-2018學年高中數(shù)學 第二章 統(tǒng)計 第1節(jié) 第2課時 系統(tǒng)抽樣教學案 新人教A版必修3
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1、 第2課時 系統(tǒng)抽樣 [核心必知] 1.預習教材,問題導入 根據(jù)以下提綱,預習教材P58~P59,回答下列問題. (1)在教材P58的“探究”中,除了用簡單隨機抽樣獲取樣本外,你能否設計其他抽取樣本的方法? 提示:可以用系統(tǒng)抽樣的方法獲取樣本. (2)系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣有什么差別? 提示:①系統(tǒng)抽樣比簡單隨機抽樣更容易實施,可以節(jié)約成本;②系統(tǒng)抽樣比簡單隨機抽樣的應用范圍更廣泛. 2.歸納總結,核心必記 (1)系統(tǒng)抽樣 先將總體中的個體逐一編號,然后按號碼順序以一定的間隔k進行抽取,先從第一個間隔中隨機地抽取一個號碼,然后按此間隔逐個抽取即得到所需樣本. (2)
2、系統(tǒng)抽樣的步驟及規(guī)則 ①系統(tǒng)抽樣的步驟 假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本,步驟為: (ⅰ)編號:先將總體的N個個體編號.有時可直接利用個體自身所帶的號碼,如學號、準考證號、門牌號等; (ⅱ)分段:確定分段間隔k,對編號進行分段.當(n是樣本容量)是整數(shù)時,取k=; (ⅲ)確定初始編號:在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤k); (ⅳ)抽取樣本:按照一定的規(guī)則抽取樣本. ②抽取樣本的規(guī)則 通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號(l+k),再加k得到第3個個體編號(l+2k),依次進行下去,直到獲取整個樣本. [問題思考] (1)系統(tǒng)抽樣如何提高樣本的代表
3、性? 提示:系統(tǒng)抽樣所得樣本的代表性和具體的分段有關,因此在系統(tǒng)抽樣中就要提高分段的質(zhì)量.例如,不要讓分段呈現(xiàn)周期性. (2)從1 003名學生成績中,按系統(tǒng)抽樣抽取50名學生的成績時,需先剔除3個個體,這樣每個個體被抽取的可能性就不相等了,你認為正確嗎? 提示:不正確.因為總體個體數(shù)不能被50整除,需剔除3個個體,按照簡單隨機抽樣的方法,在總體中的每個個體被剔除的概率是相等的,都是,每個個體不被剔除的概率也是相等的,都是;在剩余的1 000個個體中,采用系統(tǒng)抽樣時每個個體被抽取的概率都是;所以在整個抽樣過程中每個個體被抽取的概率仍相等,都是×=.所以系統(tǒng)抽樣是公平的、均等的. [
4、課前反思] 通過以上預習,必須掌握的幾個知識點: (1)什么是系統(tǒng)抽樣? ; (2)系統(tǒng)抽樣的步驟: . 為了解高一1 500名學生對食堂飯菜的滿意情況,打算從中抽取一個容量為50的樣本. [思考1] 上述抽樣方法能否用系統(tǒng)抽樣? 提示:因為總體容量較大,因此可以用系統(tǒng)抽樣方法抽取樣本. [思考2] 系統(tǒng)抽樣有什么特征?與簡單隨機抽樣有什么區(qū)別? 名師指津:(1)系統(tǒng)抽樣的主要特征有三個:①總體已知且數(shù)量較大;②抽樣必須等距;③每個個體入樣的機會均等.不滿足任何一條就
5、不是系統(tǒng)抽樣. (2)系統(tǒng)抽樣有別于簡單隨機抽樣的一個顯著特點是總體中的個體的數(shù)量,一般來說,簡單隨機抽樣,總體中個體較少;系統(tǒng)抽樣,總體中個體較多. 講一講 1.(1)下列問題中,最適合用系統(tǒng)抽樣法抽樣的是( ) A.從某廠生產(chǎn)的30個零件中隨機抽取6個入樣 B.一個城市有210家超市,其中大型超市20家,中型超市40家,小型超市150家.為了掌握各超市的營業(yè)情況,要從中抽取一個容量為21的樣本 C.從參加競賽的1 500名初中生中隨機抽取100人分析試題作答情況 D.從參加期末考試的2 400名高中生中隨機抽取10人了解某些情況 (2)分段為000 001~100 00
6、0的體育彩票,凡彩票號碼最后三位數(shù)為345的中一等獎,這種抽獎過程是系統(tǒng)抽樣嗎?為什么? [嘗試解答] (1)A總體容量較小,樣本容量也較小,可采用抽簽法;B總體中的個體有明顯的層次,不適宜用系統(tǒng)抽樣法;C總體容量較大,樣本容量也較大,可用系統(tǒng)抽樣法;D總體容量較大,樣本容量較小,可用隨機數(shù)表法.故選C. (2)中獎號碼的獲得方法可以看做分段間隔為1 000,把總體分為=100段,在第1段中抽取000 345,在第2段中抽取001 345,…,在第100段中抽取099 345,組成樣本. 顯然該抽樣方法符合系統(tǒng)抽樣的特點,因此采用的是系統(tǒng)抽樣. 答案:(1)C 系統(tǒng)抽樣的適用條
7、件及判斷方法 適用條件:系統(tǒng)抽樣適用于個體數(shù)較多的總體. 判斷方法:判斷一種抽樣是否為系統(tǒng)抽樣,首先看在抽樣前是否知道總體是由什么構成的.抽樣的方法能否保證將總體分成幾個均衡的部分,并保證每個個體等可能入樣. 練一練 1.下列抽樣方法不是系統(tǒng)抽樣的是( ) A.從標有1~15號的15個球中,任選三個作樣本,按從小號到大號的順序,隨機選起點i0,以后選i0+5,i0+10(超過15則從1再數(shù)起)號入選 B.工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品用傳送帶將產(chǎn)品送入包裝車間前,在一天時間內(nèi)檢驗人員從傳送帶上每隔五分鐘抽一件產(chǎn)品進行檢驗 C.做某項市場調(diào)查,規(guī)定在商場門口隨機抽一個人進行詢問調(diào)查,直到達到事
8、先規(guī)定的調(diào)查人數(shù)為止 D.電影院調(diào)查觀眾的某一指標,通知每排(每排人數(shù)相等)座位號為14的觀眾留下來座談 解析:選C A分段間隔相同,B時間間隔相同.D相鄰兩排座位號的間隔相同,均滿足系統(tǒng)抽樣的特征.只有C項無明顯的系統(tǒng)抽樣的特征. 講一講 2.某單位在職職工共624人,為了調(diào)查職工用于上班途中的時間,決定抽取10%的職工進行調(diào)查,試采用系統(tǒng)抽樣方法抽取所需的樣本. [思路點撥] 624×10%=62.4.需從總體中剔除4人,再重新分段用系統(tǒng)抽樣抽取62人. [嘗試解答] (1)將624名職工分段,從001至624. (2)從總體中用隨機數(shù)法剔除4人,將剩下的620名職工重
9、新分段,從000至619. (3)分段,取間隔k==10,將總體均分為62組,每組含10名職工. (4)在第一段000到009這十個分段中用簡單隨機抽樣確定起始號碼l. (5)將為l,l+10,l+20,…,l+610的個體抽出,組成樣本. 系統(tǒng)抽樣設計中的注意點 (1)當總體容量不能被樣本容量整除時,可以先從總體中隨機地剔除幾個個體,使得總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容量整除. (2)被剔除的部分個體可采用簡單隨機抽樣法抽?。? (3)剔除部分個體后應重新分段. (4)每個個體被抽到的機會均等,被剔除的機會也均等. 練一練 2.某校高中三年級的295名學生已經(jīng)分段為1,2
10、,…,295,為了了解學生的學習情況,要按1∶5的比例抽取一個樣本,請用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽取,并寫出過程. 解:按照1∶5的比例抽取樣本,則樣本容量為×295=59. 抽樣步驟是: (1)分段:按現(xiàn)有的號碼. (2)確定分段間隔k=5,把295名同學分成59組,每組5人;第1段是分段為1~5的5名學生,第2段是分段為6~10的5名學生,依次下去,第59段是分段為291~295的5名學生. (3)采用簡單隨機抽樣的方法,從第一段5名學生中抽出一名學生,不妨設分段為l(1≤l≤5). (4)那么抽取的學生分段為l+5k(k=0,1,2,…,58),得到59個個體作為樣本,如當l=3時
11、的樣本分段為3,8,13,…,288,293. ——————————————[課堂歸納·感悟提升]——————————————— 1.本節(jié)課的重點是記住系統(tǒng)抽樣的方法和步驟,難點是會用系統(tǒng)抽樣從總體中抽取樣本. 2.本節(jié)課要理解并記住系統(tǒng)抽樣的三個特征: ①總體已知且數(shù)量較大;②抽樣必須等距;③每個個體入樣的機會均等.見講1. 3.本節(jié)課要掌握設計系統(tǒng)抽樣的四個步驟: 分段→分段→確定初始分段→抽取樣本,見講2. 4.本節(jié)課的易錯點有: (1)概念理解錯誤致錯,如講1; (2)忽視每個個體被抽到的機會相等而致誤,如講2. 課下能力提升(十) [學業(yè)水平達標練] 題組
12、1 系統(tǒng)抽樣的概念 1.為了了解某地參加計算機水平測試的5 008名學生的成績,從中抽取了200名學生的成績進行統(tǒng)計分析,運用系統(tǒng)抽樣方法抽取樣本時,每組的容量為( ) A.24 B.25 C.26 D.28 解析:選B 5 008除以200的整數(shù)商為25,∴選B. 2.下列抽樣試驗中,最適宜用系統(tǒng)抽樣法的是( ) A.某市的4個區(qū)共有2 000名學生,4個區(qū)的學生人數(shù)之比為3∶2∶8∶2,從中抽取200人入樣 B.從某廠生產(chǎn)的2 000個電子元件中隨機抽取5個入樣 C.從某廠生產(chǎn)的2 000個電子元件中隨機抽取200個入樣 D.從某廠生產(chǎn)的20個電子元件中隨機抽取5
13、個入樣 解析:選C A項中總體有明顯層次,不適宜用系統(tǒng)抽樣法;B項中樣本容量很小,適宜用隨機數(shù)法;D項中總體容量很小,適宜用抽簽法.故選C. 3.某商場想通過檢查發(fā)票及銷售記錄的2%來快速估計每月的銷售金額,采用如下方法:從某本發(fā)票的存根中隨機抽一張如15號,然后按順序往后將65號,115號,165號,……發(fā)票上的銷售金額組成一個調(diào)查樣本.這種抽取樣本的方法是( ) A.抽簽法 B.隨機數(shù)表法 C.系統(tǒng)抽樣法 D.其他的抽樣法 解析:選C 上述抽樣方法是將發(fā)票平均分成若干組,每組50張,從第一組中抽出了15號,即各組抽15+50n(n為自然數(shù))號,符合系統(tǒng)抽樣的特點. 4.為
14、了了解參加某次知識競賽的1 252名學生的成績,決定采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本,那么從總體中應隨機剔除的個體數(shù)目為( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:選A 因為1 252=50×25+2,所以應隨機剔除2個個體. 5.(2014·廣東高考)為了解1 000名學生的學習情況,采用系統(tǒng)抽樣的方法,從中抽取容量為40的樣本,則分段的間隔為( ) A.50 B.40 C.25 D.20 解析:選C 由=25,可得分段的間隔為25.故選C. 題組2 系統(tǒng)抽樣設計 6.“五一”國際勞動節(jié)期間,某超市舉辦了一次有獎購物促銷活動.期間準備了一些有機會中獎
15、的號碼(分段為001~999),在公證部門的監(jiān)督下按照隨機抽樣方法進行抽取,確定后兩位為88的號碼為本次的中獎號碼.則這些中獎號碼為:________. 解析:根據(jù)該問題提供的數(shù)據(jù)信息,可以發(fā)現(xiàn)本次活動的中獎號碼是每隔一定的距離出現(xiàn)的,根據(jù)系統(tǒng)抽樣的有關概念,可知該問題中是運用系統(tǒng)抽樣法確定中獎號碼的,其間隔數(shù)為100.所以,中獎號碼依次為088,188,288,388,488,588,688,788,888,988. 答案:088,188,288,388,488,588,688,788,888,988 7.用系統(tǒng)抽樣法要從160名學生中抽取容量為20的樣本,將160名學生從1~160分
16、段,按分段順序平均分成20組(1~8號,9~16號,…,153~160號),若第16組應抽出的號碼為126,求第一組中用抽簽方法確定的號碼. 解:S+15×8=126,得S=6. 8.為了了解某地區(qū)今年高一學生期末考試數(shù)學學科的成績,擬從參加考試的15 000名學生的數(shù)學成績中抽取容量為150的樣本.請用系統(tǒng)抽樣寫出抽取過程. 解:(1)對全體學生的數(shù)學成績進行分段:1,2,3,…,15 000. (2)分段:由于樣本容量與總體容量的比是1∶100,所以我們將總體平均分為150個部分,其中每一部分包含100個個體. (3)在第一部分即1號到100號用簡單隨機抽樣,抽取一個號碼,比如是
17、56. (4)以56作為起始數(shù),然后順次抽取156,256,356,…,14 956,這樣就得到一個容量為150的樣本. 9.某校有2 008名學生,從中抽取20人參加體檢,試用系統(tǒng)抽樣進行具體實施. 解:(1)將每個人隨機編一個號由 0 001 至 2 008; (2)利用隨機數(shù)表法找到8個號將這8名學生剔除; (3)將剩余的2 000名學生重新隨機分段 0 001 至 2 000; (4)分段,取間隔k==100,將總體平均分為20段,每段含100個學生; (5)從第一段即0 001號到0 100號中隨機抽取一個號l; (6)按分段將l,100+l,200+l,…,1 90
18、0+l共20個號碼選出,這20個號碼所對應的學生組成樣本. [能力提升綜合練] 1.某牛奶生產(chǎn)線上每隔30分鐘抽取一袋進行檢驗,該抽樣方法記為①;從某中學的30名數(shù)學愛好者中抽取3人了解學業(yè)負擔情況,該抽樣方法記為②.那么( ) A.①是系統(tǒng)抽樣,②是簡單隨機抽樣 B.①是簡單隨機抽樣,②是簡單隨機抽樣 C.①是簡單隨機抽樣,②是系統(tǒng)抽樣 D.①是系統(tǒng)抽樣,②是系統(tǒng)抽樣 解析:選A 對于①,因為每隔30分鐘抽取一袋,是等間距抽樣,故①為系統(tǒng)抽樣;對于②,總體容量小,樣本容量也小,故②為簡單隨機抽樣. 2.(2016·衡陽高一檢測)將參加夏令營的600名學生分段為:001,00
19、2,…,600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本,且隨機抽得的號碼為003.這600名學生分住在三個營區(qū),從001到300在第Ⅰ營區(qū),從301到495在第Ⅱ營區(qū),從496到600在第Ⅲ營區(qū),三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為( ) A.26,16,8 B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17,9 解析:選B 由題意知間隔為=12,故抽到的號碼為12k+3(k=0,1,…,49),列出不等式可解得:第Ⅰ營區(qū)抽25人,第Ⅱ營區(qū)抽17人,第Ⅲ營區(qū)抽8人. 3.某單位有840名職工,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查,將840人按1,2,…,840隨機分段,則抽取的42
20、人中,分段落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為( ) A.11 B.12 C.13 D.14 解析:選B 由系統(tǒng)抽樣定義可知,所分組距為=20,每組抽取一個,因為包含整數(shù)個組,所以抽取個體在區(qū)間[481,720]的數(shù)目為(720-480)÷20=12. 4.某學校從高三全體500名學生中抽50名學生做學習狀況問卷調(diào)查,現(xiàn)將500名學生從1到500進行分段,求得間隔數(shù)k==10,即每10人抽取一個人,在1~10中隨機抽取一個數(shù),如果抽到的是6,則從125~140中應取的數(shù)是( ) A.126 B.136 C.126或136 D.126和136 解析:選D 根據(jù)系統(tǒng)抽樣的
21、定義和方法,所抽取的樣本的分段都是“等距”的,由于在1~10中隨機抽取的數(shù)是6,故從125~140中應取的數(shù)是126和136,應選D. 5.人們打橋牌時,將洗好的撲克牌(52張)隨機確定一張為起始牌,這時,開始按次序搬牌,對每一家來說,都是從52張總體中抽取一個13張的樣本.則這種抽樣方法是________. 解析:簡單隨機抽樣的實質(zhì)是逐個地從總體中隨機抽?。@里只是隨機確定了起始張,這時其他各張雖然是逐張起牌的,其實各張在誰手里已被確定.所以不是簡單隨機抽樣,據(jù)其等距起牌的特點應將其定位為系統(tǒng)抽樣. 答案:系統(tǒng)抽樣 6.一個總體中有100個個體,隨機分段為00,01,02,…,99
22、,依分段順序平均分成10個小組,組號分別為1,2,3,…,10.現(xiàn)抽取一個容量為10的樣本,規(guī)定如果在第1組中隨機抽取的號碼為m,那么在第k組中抽取的號碼個位數(shù)字與m+k的個位數(shù)字相同.若m=6,則在第7組中抽取的號碼是________. 解析:由題意知第7組中的數(shù)為“60~69”10個數(shù).由題意知m=6,k=7,故m+k=13,其個位數(shù)字為3,即第7組中抽取的號碼的個位數(shù)是3,綜上知第7組中抽取的號碼為63. 答案:63 7.下面給出某村委會調(diào)查本村各戶收入情況作的抽樣,閱讀并回答問題.本村人口: 1 200,戶數(shù)300,每戶平均人口數(shù)4人; 應抽戶數(shù):30; 抽樣間隔:1 20
23、0/30=40; 確定隨機數(shù)字:取一張人民幣,其分段后兩位數(shù)為12; 確定第一樣本戶:分段12的住戶為第一樣本戶; 確定第二樣本戶:12+40=52,52號為第二樣本戶. …… (1)該村委會采用了何種抽樣方法? (2)抽樣過程存在哪些問題,試修改; (3)何處用了簡單隨機抽樣? 解:(1)系統(tǒng)抽樣. (2)本題是對某村各戶進行抽樣,而不是對某村人口抽樣.抽樣間隔應為300/30=10,其他步驟相應改為確定隨機數(shù)字:取一張人民幣,其分段末位數(shù)為2.(假設)確定第一樣本戶:分段02的住戶為第一樣本戶;確定第二樣本戶:2+10=12,12號為第二樣本戶…… (3)確定隨機數(shù)字:
24、取一張人民幣,取其末位數(shù)2. 8.某工廠有工人1 021人,其中高級工程師20人,現(xiàn)抽取普通工人40人,高級工程師4人組成代表隊去參加某項活動,應怎樣抽樣? 解:(1)將1 001名普通工人用隨機方式分段. (2)從總體中剔除1人(剔除方法可用隨機數(shù)法),將剩下的1 000名職工重新分段(分別為 0 001,0 002,…,1 000),并平均分成40段,其中每一段包含=25個個體. (3)在第一段 0 001,0 002,…,0 025 這25個分段中用簡單隨機抽樣法抽出一個(如 0 003)作為起始號碼. (4)將分段為 0 003,0 028,0 053,…,0 978 的個體抽出. (5)將20名高級工程師用隨機方式分段為1,2,…,20. (6)將這20個號碼分別寫在大小、形狀相同的小紙條上,揉成小球,制成號簽. (7)將得到的號簽放入一個不透明的容器中,充分攪拌均勻. (8)從容器中逐個抽取4個號簽,并記錄上面的分段. (9)從總體中將與所抽號簽的分段相一致的個體取出. 以上得到的個體便是代表隊成員. 9
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