（山東省專用）2022高中物理 第十一章 機(jī)械振動 第4節(jié) 單擺講義（含解析）新人教版選修3-4

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1、（山東省專用）2022高中物理 第十一章 機(jī)械振動 第4節(jié) 單擺講義（含解析）新人教版選修3-4 1.在擺角小于5°的情況下，單擺的自由振動是簡諧運動。 2．單擺是理想化模型：忽略在擺動過程中所受到的阻力，擺線看成是不可伸長，且沒有質(zhì)量的細(xì)線。 3．單擺的回復(fù)力是由擺球的重力沿運動方向的分力提供，與擺球偏離平衡位置的位移成正比，方向總是指向平衡位置。 4．荷蘭物理學(xué)家惠更斯首先提出單擺的周期公式T＝2π，利用周期公式可以測定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取? 一、單擺 組成 要求 細(xì)線 擺線看成是不可伸長，且沒有質(zhì)量的細(xì)線 小球 擺球看成是沒有大小只有質(zhì)量的質(zhì)點 單擺是

2、理想化模型：①忽略在擺動過程中所受到的阻力，②將擺球看作質(zhì)點，③擺線細(xì)且不可伸長。 二、單擺的回復(fù)力 1．回復(fù)力的提供：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力。 2．回復(fù)力的特點：在偏角很小時，單擺所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總指向平衡位置，即F＝－x。 3．運動規(guī)律：單擺在偏角很小時做簡諧運動，其振動圖像遵循正弦函數(shù)規(guī)律。 三、單擺的周期 1．定性探究單擺的振幅、質(zhì)量、擺長對周期的影響 (1)探究方法：控制變量法。 (2)實驗結(jié)論 ①單擺振動的周期與擺球的質(zhì)量無關(guān)。 ②振幅較小時，周期與振幅無關(guān)。 ③擺長越長，周期越長；擺長越短，周期越短。 2．

3、定量探究單擺的周期與擺長的關(guān)系 (1)周期的測量：用停表測出單擺N(30～50)次全振動的時間t，利用T＝計算它的周期。 (2)擺長的測量：用刻度尺測出細(xì)線長度l0，用游標(biāo)卡尺測出小球直徑D，利用l＝l0＋求出擺長。 (3)數(shù)據(jù)處理：改變擺長，測量不同擺長及對應(yīng)周期，作出T-l、T-l2或T-圖像，得出結(jié)論。 3．周期公式 (1)公式的提出：周期公式是荷蘭物理學(xué)家惠更斯首先提出的。 (2)公式：T＝2π，即T與擺長l的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根成反比。 4．周期公式的應(yīng)用 由單擺周期公式可得g＝，只要測出單擺的擺長l和周期T就可算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取? 1．自

4、主思考——判一判 (1)制作單擺的細(xì)線彈性越大越好。(×) (2)制作單擺的細(xì)線越短越好。(×) (3)制作單擺的擺球越大越好。(×) (4)單擺的周期與擺球的質(zhì)量有關(guān)，質(zhì)量越大，周期越小。(×) (5)單擺的回復(fù)力等于擺球所受合力。(×) 2．合作探究——議一議 (1)由于單擺的回復(fù)力是由擺球的重力沿切線方向的分力提供的，那么是否擺球的質(zhì)量越大，回復(fù)力越大，單擺擺動得越快，周期越小？ 提示：不是。擺球擺動的加速度除了與回復(fù)力有關(guān)外，還與擺球的質(zhì)量有關(guān)，即a∝，所以擺球質(zhì)量增大后，加速度并不增大，其周期由T＝2π決定，與擺球的質(zhì)量無關(guān)。 (2)多多觀察，寫出生活中你能遇到哪些

5、單擺模型。 提示：坐鐘、牛頓擺、秋千等。 對單擺回復(fù)力及運動特征的理解 1．單擺的回復(fù)力 (1)單擺受力：如圖所示，受細(xì)線拉力和重力作用。 (2)向心力來源：細(xì)線拉力和重力沿徑向的分力的合力。 (3)回復(fù)力來源：重力沿圓弧切線方向的分力F＝mgsin θ提供了使擺球振動的回復(fù)力。 2．單擺做簡諧運動的推證 在偏角很小時，sin θ≈，又回復(fù)力F＝mgsin θ，所以單擺的回復(fù)力為F＝－x(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，l表示單擺的擺長，負(fù)號表示回復(fù)力F與位移x的方向相反)，由此知回復(fù)力符合F＝－kx，單擺做簡諧運動。 1．對于單擺的振動，以下說法中

6、正確的是(　　) A．單擺振動時，擺球受到的向心力大小處處相等 B．單擺運動的回復(fù)力就是擺球受到的合力 C．?dāng)[球經(jīng)過平衡位置時所受回復(fù)力為零 D．?dāng)[球經(jīng)過平衡位置時所受合外力為零 解析：選C　單擺振動過程中受到重力和繩子拉力的作用，把重力沿切向和徑向分解，其切向分力提供回復(fù)力，繩子拉力與重力的徑向分力的合力提供向心力，向心力大小為m，可見最大偏角處向心力為零，平衡位置處向心力最大，而回復(fù)力在最大偏角處最大，平衡位置處為零，故應(yīng)選C。 2.一單擺做小角度擺動，其振動圖像如圖所示，以下說法正確的是(　　) A．t1時刻擺球速度最大，擺球的回復(fù)力最大 B．t2時刻擺球速度為零，懸線對

7、它的拉力最小 C．t3時刻擺球速度為零，擺球的回復(fù)力最小 D．t4時刻擺球速度最大，懸線對它的拉力最大 解析：選D　在t1時刻和t3時刻擺球的位移最大，回復(fù)力最大，速度為零，A、C均錯誤；在t2時刻和t4時刻擺球在平衡位置，速度最大，懸線拉力最大，回復(fù)力為零，故B錯誤，D正確。 對單擺周期公式的理解 1．?dāng)[長l (1)實際的單擺擺球不可能是質(zhì)點，所以擺長應(yīng)是從懸點到擺球球心的長度，即l＝L＋，L為擺線長，d為擺球直徑。 (2)等效擺長。 圖(a)中甲、乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的，所以甲擺的擺長為l·sin α，這就是等效擺長，其周期T＝2π 。 圖(b)中，乙

8、在垂直紙面方向擺動時，與甲擺等效；乙在紙面內(nèi)小角度擺動時，與丙等效。 2．重力加速度g 若單擺系統(tǒng)只處在重力場中且處于靜止?fàn)顟B(tài)，g由單擺所處的空間位置決定，即g＝，式中R為物體到地心的距離，M為地球的質(zhì)量，g隨所在位置的高度的變化而變化。另外，在不同星球上M和R也是變化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近時的取值。 [典例]　[多選]如圖所示為同一地點的兩單擺甲、乙的振動圖像，則下列說法中正確的是(　　) A．甲、乙兩單擺的擺長相等 B．甲擺的振幅比乙擺大 C．甲擺的機(jī)械能比乙擺大 D．在t＝0.5 s時有正向最大加速度的是乙擺 E．由圖像可以求出當(dāng)

9、地的重力加速度 [解析]　由振動圖像可以看出，甲擺的振幅比乙擺的大，兩單擺的振動周期相同，根據(jù)單擺周期公式T＝2π可得，甲、乙兩單擺的擺長相等，但不知道擺長是多少，不能計算出重力加速度g，故A、B正確，E錯誤；兩單擺的質(zhì)量未知，所以兩單擺的機(jī)械能無法比較，故C錯誤；在t＝0.5 s時，乙擺有負(fù)向最大位移，即有正向最大加速度，而甲擺的位移為零，加速度為零，故D正確。 [答案]　ABD 1．甲、乙兩個單擺擺長相等，將兩個單擺的擺球由平衡位置拉開，使擺角α甲>α乙(α甲、α乙都小于5°)，在同一地點由靜止開始同時釋放，則(　　) A．甲先到達(dá)平衡位置　　　　 　B．乙先到達(dá)平衡位置 C

10、．甲、乙同時到達(dá)平衡位置 D．無法判斷 解析：選C　由單擺的周期公式T＝2π，可知周期T與l、g有關(guān)，與質(zhì)量、擺動的幅度無關(guān)，當(dāng)在同一地點釋放時，周期只與擺長有關(guān)，故同時釋放，同時到達(dá)平衡位置。 2．?dāng)[長為l的單擺做簡諧運動，若從某時刻開始計時(即取t＝0)，當(dāng)振動至t＝時，擺球恰具有負(fù)向最大速度，則單擺的振動圖像是圖中的(　　) 解析：選D　t＝＝T，最大速度時，單擺應(yīng)在平衡位置，y＝0，v方向為－y，即沿y軸負(fù)方向，故D選項正確。 3.一個單擺的擺長為l，在其懸點O的正下方0.19 l處有一釘子P(如圖所示)，現(xiàn)將擺球向左拉開到A，使擺線偏角θ<5°，放手后使其擺動，擺動到

11、B的過程中擺角也小于5°，求出單擺的振動周期。 解析：釋放后擺球到達(dá)右邊最高點B處，由機(jī)械能守恒可知B和A等高，則擺球始終做簡諧運動。單擺做簡諧運動的擺長有所變化，它的周期為兩個不同單擺的半周期的和。 小球在左邊的周期為T1＝2π 小球在右邊的周期為T2＝2π 則整個單擺的周期為T＝＋ ＝π＋π ＝1.9π。 答案：1.9π 實驗：用單擺測定重力加速度 1．實驗原理 單擺在偏角很小(小于5°)時的擺動，可以看成是簡諧運動。其固有周期為T＝2π，由此可得g＝。據(jù)此，只要測出擺長l和周期T，即可計算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎怠? 2．實驗器材 擺球1個(穿有

12、中心孔)、秒表、物理支架、米尺或鋼卷尺、游標(biāo)卡尺、細(xì)線等。 3．實驗步驟 (1)做單擺：將線的一端穿過小球的小孔，并打一比孔大的結(jié)。然后把線的上端用鐵夾固定于鐵架臺上，在平衡位置處做上標(biāo)記。 (2)測擺長：用毫米刻度尺測出擺線長度l線，用游標(biāo)卡尺測量出擺球的直徑d，則單擺的擺長l＝l線＋。 (3)測周期：將單擺從平衡位置拉開一個小于5°的角，然后釋放擺球，當(dāng)單擺振動穩(wěn)定后，過最低位置時開始用秒表計時，測量N次(一般取30～50次)全振動的時間t，則周期T＝。 (4)變擺長：將單擺的擺長變短(或變長)，重復(fù)實驗三次，測出相應(yīng)的擺長l和周期T。 4．?dāng)?shù)據(jù)處理 (1)平均值法：每改變一

13、次擺長，將相應(yīng)的l和T代入公式中求出g值，最后求出g的平均值。 設(shè)計如下所示實驗表格 實驗次數(shù) 擺長l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2) 1 g＝ 2 3 (2)圖像法：由T＝2π得T2＝l，作出T2-l圖像，即以T2為縱軸，以l為橫軸。其斜率k＝，由圖像的斜率即可求出重力加速度g。 5．誤差分析 (1)系統(tǒng)誤差：主要來源于單擺模型本身是否符合要求。即：懸點是否固定，擺球是否可看做質(zhì)點，球、線是否符合要求，擺動是圓錐擺還是在同一豎直平面內(nèi)振動以及測量哪段長度作為擺長等。只要注意了上面

14、這些問題，就可以使系統(tǒng)誤差減小到遠(yuǎn)小于偶然誤差而達(dá)到忽略不計的程度。 (2)偶然誤差：主要來自時間(即單擺周期)的測量上。因此，要注意測準(zhǔn)時間(周期)。要從擺球通過平衡位置開始計時，并采用倒計時計數(shù)的方法，即4,3,2,1,0,1,2，…在數(shù)“零”的同時按下秒表開始計時。不能多計或漏計振動次數(shù)。為了減小偶然誤差，應(yīng)進(jìn)行多次測量后取平均值。 6．注意事項 (1)選擇材料時應(yīng)選擇細(xì)、輕又不易伸長的線，長度一般在1 m左右，小球應(yīng)選用密度較大的金屬球，直徑應(yīng)較小，最好不超過2 cm。 (2)單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵夾的桿上，應(yīng)夾緊在鐵夾中，以免擺動時發(fā)生擺線下滑、擺長改變的現(xiàn)象。 (3

15、)注意擺動時控制擺線偏離豎直方向不超過10°?？赏ㄟ^估算振幅的辦法掌握。 (4)擺球振動時，要使之保持在同一個豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺。 (5)計算單擺的振動次數(shù)時，應(yīng)從擺球通過最低位置時開始計時，為便于計時，可在擺球平衡位置的正下方作一標(biāo)記。以后擺球每次從同一方向通過最低位置時進(jìn)行計數(shù)，且在數(shù)“零”的同時按下秒表，開始計時計數(shù)。 [典例]　某同學(xué)在“用單擺測定重力加速度”的實驗中，先測得擺線長為97.50 cm，擺球直徑為2.00 cm，然后用秒表記錄了單擺振動50次所用的時間如圖所示。則： (1)該擺擺長為________cm，秒表的示數(shù)為________； (2)如果

16、他測得的g值偏小，可能的原因是(　　) A．測擺線長時擺線拉得過緊 B．?dāng)[線上端未牢固地系于懸點，振動中出現(xiàn)松動，使擺線長度增加了 C．開始計時時，秒表過遲按下 D．實驗中誤將49次全振動數(shù)為50次 [解析]　(1)由擺長公式l＝l′＋d/2，知l＝98.50 cm，由秒表的讀數(shù)方法，可求得單擺振動50次所用的時間t＝短針讀數(shù)(t1)＋長針讀數(shù)(t2)＝3×30 s＋9.8 s＝99.8 s，同時可求得周期T。 (2)通過g＝，可知g偏小的可能原因有二：一是擺長l的測量值偏小，即測量值小于實際值，可知A錯，B正確；二是周期T的測量值偏大，如開始計時時，過早按下秒表，停止計時時，過遲

17、按下秒表，誤把n＋1次全振動數(shù)為n次等等。由此可知C、D選項皆錯，故正確答案為B。 [答案]　(1)98.50　99.8 s　(2)B 1．某實驗小組在利用單擺測定當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊膶嶒炛校? (1)用游標(biāo)卡尺測定擺球的直徑，測量結(jié)果如圖所示，則該擺球的直徑為________ cm。 (2)小組成員在實驗過程中有如下說法，其中正確的是________。(填選項前的字母) A．把單擺從平衡位置拉開30°的擺角，并在釋放擺球的同時開始計時 B．測量擺球通過最低點100次的時間t，則單擺周期 C．用懸線的長度加擺球的直徑作為擺長，代入單擺周期公式計算得到的重力加速度值偏大 D．選

18、擇密度較小的擺球，測得的重力加速度值誤差較小 解析：(1)主尺讀數(shù)加游標(biāo)尺讀數(shù)的總和等于最后讀數(shù)，0.9 cm＋7× mm＝0.97 cm，不需要估讀。 (2)單擺符合簡諧運動的條件是最大偏角不超過5°，并從平衡位置計時，故A錯誤；若第一次過平衡位置計為“0”則周期T＝，若第一次過平衡位置計為“1”，則周期T＝，B錯誤；由T＝2π得g＝，其中L為擺長，即懸線長加擺球半徑，若為懸線長加擺球直徑，由公式知g偏大，故C正確；為了能將擺球視為質(zhì)點和減少空氣阻力引起的相對誤差，應(yīng)選密度較大體積較小的擺球，故D錯誤。 答案：(1)0.97　(2)C 2.在利用單擺測定重力加速度的實驗中，由單擺做簡

19、諧運動的周期公式得到g＝。只要測出多組單擺的擺長l和運動周期T，作出T2-l圖像，就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?。理論上T2-l圖像是一條過坐標(biāo)原點的直線，某同學(xué)根據(jù)實驗數(shù)據(jù)作出的圖像如圖所示。 (1)造成圖像不過坐標(biāo)原點的原因是________________； (2)由圖像求出的重力加速度g＝________ m/s2。(取π2＝9.87) 解析：(1)由單擺周期公式T＝2π得T2＝4π2， 由圖像知，當(dāng)l＝0時，T2≠0，說明l偏小，是由于測擺長時漏加小球半徑造成的。 (2)由上式知k＝＝＝4，g＝＝9.87 m/s2。 答案：(1)測擺長時漏加小球半徑　(2)9.87 1

20、．關(guān)于單擺擺球在運動過程中的受力，下列結(jié)論正確的是(　　) A．?dāng)[球受重力、擺線的張力、回復(fù)力、向心力作用 B．?dāng)[球受的回復(fù)力最大時，向心力為零；回復(fù)力為零時，向心力最大 C．?dāng)[球受到回復(fù)力最大時，擺線中的張力大小比擺球的重力大 D．?dāng)[球受的向心力最大時，擺球的加速度方向沿擺球的運動方向 解析：選B　單擺在運動過程中，擺球受重力和擺線的拉力作用，故A錯。重力垂直于擺線的分力提供回復(fù)力，當(dāng)回復(fù)力最大時，擺球在最大位移處，速度為零，向心力為零，張力等于重力沿擺線的分力大小，則張力小于重力；在平衡位置處，回復(fù)力為零，速度最大，向心力最大，擺球的加速度方向沿擺線指向懸點，故C、D錯，B對。

21、 2．在月球上周期相等的彈簧振子和單擺，把它們放到地球上后，彈簧振子的周期為T1，單擺的周期為T2，則T1和T2的關(guān)系為(　　) A．T1>T2　　　　　　 　B．T＝T2 C．T1g月，故T2T2，A正確，B、C、D均錯誤。 3.如圖所示，一擺長為l的單擺，在懸點的正下方的P處有一釘子，P與懸點相距l(xiāng)－l′，則這個擺做小幅度擺動時的周期為(　　) A．2π B．2π C．π D．2

22、π 解析：選C　碰釘子前擺長為l，故周期T1＝2π，碰釘子后擺長變?yōu)閘′，則周期T2＝2π，所以此擺的周期T＝＋＝π。 4.[多選]如圖所示為在同一地點的A、B兩個單擺做簡諧運動的圖像，其中實線表示A的運動圖像，虛線表示B的運動圖像。關(guān)于這兩個單擺的以下判斷中正確的是(　　) A．這兩個單擺的擺球質(zhì)量一定相等 B．這兩個單擺的擺長一定不同 C．這兩個單擺的最大擺角一定相同 D．這兩個單擺的振幅一定相同 解析：選BD　從題中圖像可知：兩單擺的振幅相等，周期不等，所以兩單擺的擺長一定不同，故B、D對，C錯。單擺的周期與質(zhì)量無關(guān)，故A錯。 5．[多選]在用單擺測重力加速度的實驗中，

23、測得單擺偏角小于5°，實驗中某學(xué)生所測g值偏大，其原因可能是(　　) A．實驗室離海平面太高 B．?dāng)[球太重 C．測出n次全振動時間為t，誤作為(n＋1)次全振動時間進(jìn)行計算 D．以擺線長與擺球直徑之和作為擺長來計算 解析：選CD　由單擺的周期公式T＝2π，g值偏大，可能是周期算小了或是擺長算長了，選C、D。 6.正在修建的房頂上固定的一根不可伸長的細(xì)線垂到三樓窗沿下，某同學(xué)應(yīng)用單擺原理測量窗的上沿到房頂?shù)母叨?，先將線的下端系上一個小球，發(fā)現(xiàn)當(dāng)小球靜止時，細(xì)線恰好與窗子上沿接觸且保持豎直，他打開窗子，讓小球在垂直于墻的豎直平面內(nèi)擺動，如圖所示，從小球第1次通過圖中的B點開始計時，

24、第21次通過B點用時30 s；球在最低點B時，球心到窗上沿的距離為1 m，當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭取π2(m/s2)；根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得小球運動的周期T＝________ s；房頂?shù)酱吧涎氐母叨萮＝________m。 解析：T＝＝3.0 s，T＝＋＝2π＋2π ，解得h＝3.0 m。 答案：3.0　3.0 7．某同學(xué)利用單擺測量重力加速度。 (1)[多選]為了使測量誤差盡量小，下列說法正確的是________。 A．組裝單擺須選用密度和直徑都較小的擺球 B．組裝單擺須選用輕且不易伸長的細(xì)線 C．實驗時須使擺球在同一豎直面內(nèi)擺動 D．?dāng)[長一定的情況下，擺的振幅盡量大 (2)如圖所示，在

25、物理支架的豎直立柱上固定有擺長約為1 m的單擺。實驗時，由于僅有量程為20 cm、精度為1 mm的鋼板刻度尺，于是他先使擺球自然下垂，在豎直立柱上與擺球最下端處于同一水平面的位置做一標(biāo)記點，測出單擺的周期T1；然后保持懸點位置不變，設(shè)法將擺長縮短一些，再次使擺球自然下垂，用同樣方法在豎直立柱上做另一標(biāo)記點，并測出單擺的周期T2；最后用鋼板刻度尺量出豎直立柱上兩標(biāo)記點之間的距離ΔL。用上述測量結(jié)果，寫出重力加速度的表達(dá)式g＝________。 解析：(1)組裝單擺時，懸線應(yīng)選用不易伸長的細(xì)線；擺球選擇體積小、密度大的擺球；單擺擺動時在同一豎直面內(nèi)擺動；擺的振幅盡量小一些。選項B、C

26、正確。 (2)設(shè)單擺的周期為T1時擺長為L1，周期為T2時擺長為L2 則T1＝2π ① T2＝2π ② 且L1－L2＝ΔL③ 聯(lián)立①②③式得g＝。 答案：(1)BC　(2) 8.如圖所示，光滑的半球殼半徑為R，O點在球心的正下方，一小球在距O點很近的A點由靜止釋放，同時在O點正上方有一小球自由落下，若運動中阻力不計，為使兩球在O點相碰，求小球應(yīng)從多高處自由落下(?R)?！? 解析：小球由A點開始沿球內(nèi)表面運動時，只受重力和支持力作用，等效為單擺的運動。因為?R，所以小球自A點釋放后做簡諧運動，要使兩球在O點相碰，兩者到O點的運動時間相等。 小球由A點由靜止釋放運動到O點的時間為 (2n－1)(n＝1,2,3，…)， 由于從O點正上方自由落下的小球到O的時間也為 (2n－1)時兩球才能在O點相碰，所以 h＝gt2＝g(2n－1)2＝(n＝1,2，3，…)。 答案：(n＝1,2,3，…)