《（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 第八單元 數(shù)列 高考達標檢測（二十四）等比數(shù)列的3考點——基本運算、判定和應用 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 第八單元 數(shù)列 高考達標檢測（二十四）等比數(shù)列的3考點——基本運算、判定和應用 理（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 第八單元 數(shù)列 高考達標檢測（二十四）等比數(shù)列的3考點——基本運算、判定和應用 理
一、選擇題
1．若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則＝( )
A．－1 B．1
C. D．－2
解析：選B 設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，
則a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；
b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.
所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，
所以＝1.
2．(2018·?？谡{(diào)研)設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，a2－8a5＝0，則的
2、值為( )
A. B.
C．2 D．17
解析：選B 設{an}的公比為q，依題意得＝＝q3，因此q＝.
注意到a5＋a6＋a7＋a8＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)，
即有S8－S4＝q4S4，因此S8＝(q4＋1)S4，＝q4＋1＝.
3．在等比數(shù)列{an}中，a1，a5為方程x2－10x＋16＝0的兩根，則a3＝( )
A．4 B．5
C．±4 D．±5
解析：選A ∵a1，a5為方程x2－10x＋16＝0的兩根，
∴a1＋a5＝10，a1a5＝16，則a1，a5為正數(shù)，
在等比數(shù)列{an}中，a＝a1a5＝16，則a3＝±4，
∵a1，a5為正數(shù)，∴
3、a3＝4.
4．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若存在m∈N*，滿足＝9，＝，則數(shù)列{an}的公比為( )
A．－2 B．2
C．－3 D．3
解析：選B 設數(shù)列{an}的公比為q，
若q＝1，則＝2，與題中條件矛盾，故q≠1.
∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.
∴＝＝qm＝8＝，
∴m＝3，∴q3＝8，
∴q＝2.
5．已知等比數(shù)列{an}的各項均為不等于1的正數(shù)，數(shù)列{bn}滿足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，則數(shù)列{bn}的前n項和的最大值為( )
A．126 B．130
C．132 D．134
解析：選C 設等比數(shù)列{an}的公比為
4、q(q>0)，
由題意可知，lg a3＝b3，lg a6＝b6.
又b3＝18，b6＝12，則a1q2＝1018，a1q5＝1012，
∴q3＝10－6，即q＝10－2，∴a1＝1022.
又{an}為正項等比數(shù)列，
∴{bn}為等差數(shù)列，且公差d＝－2，b1＝22，
∴數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝22n＋×(－2)＝－n2＋23n＝－2＋.
又n∈N*，故n＝11或12時，(Sn)max＝132.
6．正項等比數(shù)列{an}中，存在兩項am，an，使得＝4a1，且a6＝a5＋2a4，則＋的最小值是( )
A. B．2
C. D.
解析：選A 設等比數(shù)列{an}的
5、公比為q，其中q>0，
于是有a4q2＝a4q＋2a4，即q2－q－2＝0，(q＋1)(q－2)＝0(q>0)，
由此解得q＝2.由aman＝16a，得a×2m＋n－2＝16a，
故m＋n＝6，其中m，n∈N*，
∴＋＝＋(m＋n)＝≥＝，
當且僅當＝，即m＝2，n＝4時等號成立，
∴＋的最小值為.
二、填空題
7．已知數(shù)列{an}滿足a1，，，…，是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則a101＝________.
解析：因為數(shù)列{an}滿足a1，，，…，是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以a1＝1，＝2n－1，
所以an＝a1···…·
＝1×2×22×…×2n－1＝2
6、1＋2＋…＋(n－1)
＝2，
當n＝1時，a1＝1滿足上式，故an＝2，
所以a101＝2＝25 050.
答案：25 050
8．(2017·遼寧一模)在等比數(shù)列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，則＋＋＋＝________.
解析：因為＋＝，＋＝，
由等比數(shù)列的性質(zhì)知a7a10＝a8a9，
所以＋＋＋＝＝÷＝－.
答案：－
9．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，關于數(shù)列{an}有下列四個命題：
①若{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則an＝an＋1(n∈N*)；
②若Sn＝an2＋bn(a，b∈R)，則{an}是等差數(shù)列；
③若
7、Sn＝1－(－1)n，則{an}是等比數(shù)列；
④若S1＝1，S2＝2，且Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n≥2)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
其中真命題的序號是________．
解析：若{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，
設其前三項分別為：a－d，a，a＋d(d為公差)，
則a2＝(a－d)(a＋d)，解得d＝0，
因此an＝an＋1(n∈N*)，①正確；
由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)是數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件，可知②正確；
若Sn＝1－(－1)n，則a1＝2，n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2(－1)n－1，為等比數(shù)列，
首項為2，公比為－1，因此③正確；
8、
由Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n≥2)，可得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1＝2an，
又S1＝1，S2＝2，∴a1＝1，a2＝1，可得a2＝a1，
∴數(shù)列{an}不是等比數(shù)列，④錯誤．
故真命題的序號是①②③.
答案：①②③
三、解答題
10．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝(n∈N*)．
(1)若數(shù)列{an＋t}是等比數(shù)列，求t的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式；
(3)記bn＝＋，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解：(1)當n＝1時，由a1＝＝，得a1＝1.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)
9、，
即an＝2an－1＋1，
∴a2＝3，a3＝7.
依題意，得(3＋t)2＝(1＋t)(7＋t)，解得t＝1，
當t＝1時，an＋1＝2(an－1＋1)，n≥2，
即{an＋1}為等比數(shù)列成立，
故實數(shù)t的值為1.
(2)由(1)，知當n≥2時，an＋1＝2(an－1＋1)，
又因為a1＋1＝2，
所以數(shù)列{an＋1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
所以an＋1＝2×2n－1＝2n，
∴an＝2n－1.
(3)由(2)，知bn＝＋＝＝＝－，
則Tn＝－＋－＋－＋…＋－＋－＝1－.
11．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈
10、N*)．
(1)證明：數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列；
(2)設bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，證明：Tn<.
證明：(1)∵an＋2＝3an＋1－2an，
∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
又∵a2－a1＝3－1＝2，
∴數(shù)列{an＋1－an}是首項為2、公比為2的等比數(shù)列．
(2)由(1)可知an＋1－an＝2n，顯然數(shù)列{an}是遞增的，
∴bn＝＝·＝·＝，
于是Tn＝＝＝<.
12．已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設bn＝log4(1－Sn＋1)(n∈N*)，Tn＝＋
11、＋…＋，求Tn的取值范圍．
解：(1)當n＝1時，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝，
當n≥2時，Sn＋an＝1，Sn－1＋an－1＝1，
兩式相減得，Sn－Sn－1＋(an－an－1)＝0，∴an＝an－1.
∴{an}是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
故an＝n－1＝3n(n∈N*)．
(2)由(1)知1－Sn＋1＝an＋1＝n＋1，
∴bn＝log4(1－Sn＋1)＝log4n＋1＝－(n＋1)，
∴＝＝－，
故Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－，
∴≤Tn<，
即Tn的取值范圍為.
1．數(shù)列{an}是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝1＋a
12、1＋a2＋…＋an，數(shù)列cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn，若{cn}為等比數(shù)列，則a＋q＝( )
A. B．3
C. D．6
解析：選B 由題意知q≠1.
因為數(shù)列{an}是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列，
所以bn＝1＋－，
所以cn＝2－＋n＋，
要使{cn}為等比數(shù)列，則2－＝0且＝0，
所以a＝1，q＝2，則a＋q＝3.
2．設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)令bn＝(2n－1)an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解：(1)當n＝1時，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，
當n≥2
13、時，an＋1＝2Sn＋3，
可得an＝2Sn－1＋3.
兩式相減得，an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，
即an＋1－an＝2an，an＋1＝3an，
則an＝a2·3n－2＝9×3n－2＝3n.
又an＝3n對n＝1也成立，
所以an＝3n.
(2)由(1)知，bn＝(2n－1)an＝(2n－1)×3n，
故Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，
3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)×3n＋1，
兩式相減可得－2Tn＝3＋2(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)×3n＋1＝3＋2×－(2n－1)×3n＋1，
化簡可得Tn＝3＋(n－1)×3n＋1.
（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 第八單元 數(shù)列 高考達標檢測（二十四）等比數(shù)列的3考點——基本運算、判定和應用 理
