山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 圓錐曲線中的綜合問題練習(xí)（含解析）

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1、山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 圓錐曲線中的綜合問題練習(xí)（含解析） 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與面積之和的最小值是 A. 2 B. 3 C. D. （正確答案）B 解：設(shè)直線AB的方程為：，點(diǎn)，， 直線AB與x軸的交點(diǎn)為， 由，根據(jù)韋達(dá)定理有， ，， 結(jié)合及，得， 點(diǎn)A，B位于x軸的兩側(cè)，，故． 不妨令點(diǎn)A在x軸上方，則，又， ， ． 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“”號(hào)， 與面積之和的最小值是3，故選B． 可先設(shè)直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一

2、個(gè)一元二次方程，再利用韋達(dá)定理及消元，最后將面積之和表示出來(lái)，探求最值問題． 求解本題時(shí)，應(yīng)考慮以下幾個(gè)要點(diǎn)： 1、聯(lián)立直線與拋物線的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韋達(dá)定理與已知條件消元，這是處理此類問題的常見模式． 2、求三角形面積時(shí)，為使面積的表達(dá)式簡(jiǎn)單，常根據(jù)圖形的特征選擇適當(dāng)?shù)牡着c高． 3、利用基本不等式時(shí)，應(yīng)注意“一正，二定，三相等”． 2. 已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是 A. B. C. D. （正確答案）A 解：如圖所示，設(shè)為橢圓的左焦

3、點(diǎn)，連接，，則四邊形是平行四邊形， ，． 取，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，，解得． ． 橢圓E的離心率的取值范圍是． 故選：A． 如圖所示，設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，連接，，則四邊形是平行四邊形，可得取，由點(diǎn)M到直線l的距離不小于，可得，解得再利用離心率計(jì)算公式即可得出． 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 3. 已知點(diǎn)是橢圓C：的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O：的切線，切點(diǎn)為A，B，若直線AB恰好過橢圓C的左焦點(diǎn)F，則的值是 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 （正確答案）C 解：由題意，．

4、過點(diǎn)P作圓O：的切線，切點(diǎn)為A，B，若直線AB恰好過橢圓C的左焦點(diǎn)F， ，， ，， ， 故選C． 由題意，過點(diǎn)P作圓O：的切線，切點(diǎn)為A，B，若直線AB恰好過橢圓C的左焦點(diǎn)F，可得，即可求出的值． 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題． 4. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分交于A點(diǎn)，，垂足為K，則的面積為 A. 4 B. C. D. 8 （正確答案）C 解：由拋物線的定義可得，則 的斜率等于，的傾斜角等于，， ，故為等邊三角形． 又焦點(diǎn)，AF的方程為， 設(shè)，

5、， 由得， ，故等邊三角形的邊長(zhǎng)， 的面積是， 故選：C． 先判斷為等邊三角形，求出A的坐標(biāo)，可求出等邊的邊長(zhǎng)的值，的面積可求． 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷為等邊三角形是解題的關(guān)鍵． 5. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于M，N兩點(diǎn)，若為直角三角形，其中F為直角頂點(diǎn)，則 A. B. C. D. 6 （正確答案）A 【分析】 本題考查拋物線的定義及拋物線的幾何性質(zhì)，雙曲線方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力． 【解答】 解：由題設(shè)知拋物線的準(zhǔn)線為，代入雙曲線方程解得 ， 由雙曲線的對(duì)稱性知為等腰直角三角形，， ，，即， 故

6、選A． 6. 若拋物線上恒有關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)A，B，則p的取值范圍是 A. B. C. D. （正確答案）C 解：設(shè)，， 因?yàn)辄c(diǎn)A和B在拋物線上，所以有 得，． 整理得， 因?yàn)锳，B關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即． 所以． 設(shè)AB的中點(diǎn)為，則． 又M在直線上，所以． 則． 因?yàn)镸在拋物線內(nèi)部，所以． 即，解得． 所以p的取值范圍是 故選C． 設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)锳，B在拋物線上，把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，作差后求出AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，又AB的中點(diǎn)在直線上，代入后求其橫坐標(biāo)，然后由AB中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部列不等式求得實(shí)數(shù)p的取值范圍．

7、本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)差法，是解決與弦中點(diǎn)有關(guān)問題的常用方法，解答的關(guān)鍵是由AB中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部得到關(guān)于p的不等式，是中檔題． 7. 已知點(diǎn)，A，B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值是 A. B. C. D. （正確答案）C 解：，可得， 設(shè)， 則， 時(shí)，的最小值為；時(shí)，的最大值為9， 故選：C． 利用，可得，設(shè)，可得，即可求解數(shù)量積的取值范圍． 本題考查橢圓方程，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題． 8. 過雙曲線的右頂點(diǎn)A作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B、若，則雙曲線的離心率是

8、 A. B. C. D. （正確答案）C 解：直線l：與漸近線：交于， l與漸近線：交于，， ，，， ，， ， ，， 故選C． 分別表示出直線l和兩個(gè)漸近線的交點(diǎn)，進(jìn)而表示出和，進(jìn)而根據(jù)求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)，求得a和c的關(guān)系，則離心率可得． 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題要求學(xué)生有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識(shí)的運(yùn)用． 9. 如圖，是雙曲線與橢圓的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)A是，在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，若，則的離心率是 A. B. C. D. （正確答案）C 解：由題意，是雙曲線與橢圓的公共焦點(diǎn)可知，， ，，， ，

9、的離心率是． 故選：C． 利用橢圓以及雙曲線的定義，轉(zhuǎn)化求解橢圓的離心率即可． 本題考查橢圓以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力． 10. 已知雙曲線C：與拋物線的準(zhǔn)線相交于A、B兩點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，且是正三角形，則雙曲線C的方程為 A. B. C. D. （正確答案）B 解：拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線方程為， 為正三角形， ， 將代入雙曲線可得， 雙曲線的一條漸近線方程是，， ，， 雙曲線的方程為． 故選：B． 拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線方程為，利用為正三角形，可得A的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，可得a，b的方程，利用雙曲

10、線的一條漸近線方程是，可得a，b的方程，從而可得a，b的值，即可求出雙曲線的方程． 本題考查拋物線、雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用拋物線、雙曲線的性質(zhì)是關(guān)鍵． 11. 拋物線：的焦點(diǎn)F是雙曲線：的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為曲線，的公共點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上，為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為 A. B. C. D. （正確答案）C 解：拋物線：的焦點(diǎn)F是雙曲線：的右焦點(diǎn)，，，則， P在雙曲線上，滿足：， 解得，， 所求雙曲線的離心率為：． 故選：C． 求出拋物線以及雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用已知條件推出P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，然后求

11、解a、c，即可求解雙曲線的離心率即可． 本題考查拋物線以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力． 12. 已知P是雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A、B，則的值是 A. B. C. D. 不能確定 （正確答案）A 解：設(shè)，則，即， 由雙曲線的漸近線方程為， 則由解得交點(diǎn)； 由解得交點(diǎn) ，， 則． 故選：A． 設(shè)，則，即，求出漸近線方程，求得交點(diǎn)A，B，再求向量PA，PB的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到． 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運(yùn)用，考查聯(lián)立方程組求交點(diǎn)的方法，考查

12、向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則 ______ ． （正確答案） 解：拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，可得， ，解得． 故答案為：． 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用已知條件求出b即可． 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力． 14. 若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)p的值為______． （正確答案）6 解：雙曲線的方程， ，，可得， 因此雙曲線的右焦點(diǎn)為， 拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合， ，解之得． 故答案為

13、：6． 根據(jù)雙曲線的方程，可得，從而得到雙曲線的右焦點(diǎn)為，再根據(jù)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，可得，解之即可得到實(shí)數(shù)p的值． 本題給出拋物線以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，求拋物線方程，著重考查了雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題． 15. 已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F傾斜角為的直線l與拋物線C在第一、四象限分別交于A、B兩點(diǎn)，則的值等于______． （正確答案）3 解：設(shè)，，則，， ，即有， 由直線l傾斜角為， 則直線l的方程為：， 即，聯(lián)立拋物線方程， 消去y并整理，得 ， 則，可得，， 則， 故答案為：3． 設(shè)出A、B坐標(biāo)，利用焦

14、半徑公式求出，結(jié)合，求出A、B的坐標(biāo)，然后求其比值． 本題考查直線的傾斜角，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題． 16. 過雙曲線右焦點(diǎn)且斜率為 2 的直線，與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍為______． （正確答案） 解：由題意過雙曲線，右焦點(diǎn)且斜率為 2 的直線， 與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，可得雙曲線的漸近線斜率， ， ， 雙曲線離心率的取值范圍為 故答案為： 先確定雙曲線的漸近線斜率小于2，結(jié)合離心率，即可求得雙曲線離心率的取值范圍． 本題考查雙曲線的離心率的范圍，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是利用漸近線

15、的斜率與離心率的關(guān)系，屬于中檔題． 三、解答題（本大題共3小題，共30分） 17. 已知曲線C：，直線l：為參數(shù) Ⅰ寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程． Ⅱ過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為的直線，交l于點(diǎn)A，求的最大值與最小值． （正確答案）解：Ⅰ對(duì)于曲線C：，可令、， 故曲線C的參數(shù)方程為，為參數(shù)． 對(duì)于直線l：， 由得：，代入并整理得：； Ⅱ設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)． P到直線l的距離為． 則，其中為銳角． 當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為． 當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為． Ⅰ聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系可取、得曲線C的參數(shù)方程，直接消掉參數(shù)t得直線l的普通方程； Ⅱ設(shè)曲

16、線C上任意一點(diǎn)由點(diǎn)到直線的距離公式得到P到直線l的距離，除以 進(jìn)一步得到，化積后由三角函數(shù)的范圍求得的最大值與最小值． 本題考查普通方程與參數(shù)方程的互化，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題． 18. 已知A是橢圓E：的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交E與A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，． 當(dāng)時(shí)，求的面積 當(dāng)時(shí)，證明：． （正確答案）解：由橢圓E的方程：知，其左頂點(diǎn)， ，且，為等腰直角三角形， 軸，設(shè)M的縱坐標(biāo)為a，則， 點(diǎn)M在E上，，整理得：，或舍， ； 設(shè)直線的方程為：，直線的方程為：，由消去y得：，，， ， ， 又，， 整理得：， 設(shè)

17、， 則， 為的增函數(shù)， 又，， ． 依題意知橢圓E的左頂點(diǎn)，由，且，可知為等腰直角三角形，設(shè)，利用點(diǎn)M在E上，可得，解得：，從而可求的面積； 設(shè)直線的方程為：，直線的方程為：，聯(lián)立消去y，得，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可分別求得，， 結(jié)合，可得，整理后，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法可判斷其單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可證得結(jié)論成立． 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的關(guān)系，通過這兩個(gè)關(guān)系的變形去求解，考查構(gòu)造函數(shù)思想與導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍，是難題． 19. 如圖，已知四邊形ABCD是橢圓的內(nèi)接平行四邊形

18、，且BC，AD分別經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，． Ⅰ若直線AC的方程為，求AC的長(zhǎng)； Ⅱ求平行四邊形ABCD面積的最大值． （正確答案）本小題滿分14分 Ⅰ解：由，消去y可得：，解得，分 所以A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)為和，分 所以 分 Ⅱ解：當(dāng)直線AD的斜率不存在時(shí)， 此時(shí)易得，，，， 所以平行四邊形ABCD的面積為分 當(dāng)直線AD的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AD的方程為， 將其代入橢圓方程，整理得分 設(shè)點(diǎn)，，， 則 ，分 連結(jié)，， 則平行四邊形ABCD的面積分 又 分 又， 所以 ． 綜上，平行四邊形ABCD面積的最大值是分 Ⅰ通過，求出x，得到A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用距離公式求解即可． Ⅱ當(dāng)直線AD的斜率不存在時(shí)，求出三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求解平行四邊形的面積． 當(dāng)直線AD的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AD的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)點(diǎn)，，，利用韋達(dá)定理，連結(jié)，，表示出面積表達(dá)式，然后求解最值． 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．