2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第六章 不等式學(xué)案

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第六章 不等式學(xué)案 掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)之間的關(guān)系并能靈活運(yùn)用． ① 會從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型.② 通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.③ 會解含參數(shù)的一元二次不等式． 1. (必修5P77練習(xí)2(2)改編)不等式3x2－x－4≤0的解集是__________. 答案： 解析：由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤. 2. (必修5P75例1(1)改編)不等式2x2－x－1>0

2、的解集是________． 答案： 解析：∵ 2x2－x－1>0，∴ (2x＋1)(x－1)>0，∴ x>1或x<－. 3. (必修5P77練習(xí)3(1)改編)不等式－x2－2x＋3>0的解集為__________． 答案：{x|－30對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 答案：k>2或k<－2 解析：由Δ＝4－4(k2－3)<0，解得k>2或k<－2. 5. 已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，則不等式x2－bx

3、－a＜0的解集是________． 答案：{x|2

4、ax2＋bx＋c>0(a>0)的算法過程 　　　　　　　　　1　一元二次不等式的解法 　　　　　1　解關(guān)于x的不等式：ax2＋(a－2)x－2≥0. 解：① 當(dāng)a＝0時，原不等式化為x＋1≤0，解得x≤－1. ② 當(dāng)a＞0時，原不等式化為(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1. ③ 當(dāng)a＜0時，原不等式化為(x＋1)≤0. 當(dāng)＞－1，即a＜－2時，解得－1≤x≤； 當(dāng)＝－1，即a＝－2時，解得x＝－1； 當(dāng)＜－1，即a＞－2時，解得≤x≤－1. 綜上所述，當(dāng)a＝0時，不等式的解集為{x|x≤－1}；當(dāng)a＞0時，不等式的解集為；當(dāng)－2＜a＜0時，不等式的解集為；當(dāng)a＝－

5、2時，不等式的解集為{x|x＝－1}；當(dāng)a＜－2時，不等式的解集為. 變式訓(xùn)練 解關(guān)于x的不等式：ax2－ax＋1＜0. 解：當(dāng)0≤a≤4時，解集為； 當(dāng)a＞4時，＜x＜； 當(dāng)a＜0時，x＜或x>. ,　　　　　　　　　2　一元二次不等式的恒成立問題) ,　　　　　2)　設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1. (1) 若對于一切實(shí)數(shù)x，f(x)<0恒成立，求m的取值范圍；　 (2) 若對于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍． 解：(1) 要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，顯然－1<0； 若m≠0，則解得－4

6、 (2) 要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，即 m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立． (解法1)令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]． 當(dāng)m>0時，g(x)在[1，3]上是增函數(shù)， 所以g(x)max＝g(3)?7m－6<0， 所以m<，所以00， m(x2－x＋1)－6<0，所以m<. 因?yàn)楹瘮?shù)y＝＝在[1，3]上的最小值為，所以只需

7、m<即可， 所以m的取值范圍是. 變式訓(xùn)練 已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3. (1) 當(dāng)x∈R時，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2) 當(dāng)x∈[－2，2]時，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1) 當(dāng)x∈R時，f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則Δ＝a2－4(3－a)≤0，解得－6≤a≤2，∴ 實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－6，2]． (2) 當(dāng)x∈[－2，2]時，f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0對任意x∈[－2，2]恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3－a， ∴ Δ≤0或或 解得－7≤a≤2. ∴ 實(shí)數(shù)a的取值范

8、圍是[－7，2]． ,　　　　　　　　　3　三個二次之間的關(guān)系) ,　　　　　3)　(1) 已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域?yàn)閇0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________． 答案：(1) 9　(2) {a|a>－3} 解析：(1) 由題意知f(x)＝x2＋ax＋b＝＋b－. ∵ f(x)的值域?yàn)閇0，＋∞)， ∴ b－＝0，即b＝， ∴ f(x)＝. ∵ f(x)

9、 即－－0恒成立，即x2＋2x＋a>0恒成立， 即當(dāng)x≥1時，a>－(x2＋2x)＝g(x)恒成立． 而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞減， ∴ g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3. ∴ 實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－3，＋∞)． 已知x2＋px＋q＜0的解集為，則不等式qx2＋px＋1＞0的解集為________． 答案： {x|－2＜x＜3} 解析：∵ x2＋px＋q＜0的解集為， ∴ －，是方程x2＋px＋q＝0的兩實(shí)數(shù)根，

10、由根與系數(shù)的關(guān)系得解得 ∴ 不等式qx2＋px＋1＞0可化為－x2＋x＋1>0，即x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3， ∴ 不等式qx2＋px＋1＞0的解集為{x|－2＜x＜3}． ,　　　　　　　　　4　一元二次不等式的應(yīng)用) ,　　　　　4)　一個服裝廠生產(chǎn)風(fēng)衣，月銷售量x(件)與售價p(元/件)之間的關(guān)系為p＝160－2x，生產(chǎn)x件的成本R＝500＋30x(元)． (1) 該廠月產(chǎn)量多大時，月利潤不少于1 300元？ (2) 當(dāng)月產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤，最大利潤是多少？ 解：(1) 由題意知，月利潤y＝px－R，即y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋

11、130x－500. 由月利潤不少于1 300元，得－2x2＋130x－500≥1 300，即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45，故該廠月產(chǎn)量在20～45件時，月利潤不少于1 300元． (2) 由(1)得，y＝－2x2＋130x－500＝－2＋， 由題意知，x為正整數(shù)，故當(dāng)x＝32或33時，y最大為1 612， 所以當(dāng)月產(chǎn)量為32或33件時，可獲得最大利潤，最大利潤為1 612元．　 某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺)，總成本為G(x)(萬元)，其中固定成本為2萬元，并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為1萬元(總成本＝固定成

12、本＋生產(chǎn)成本)；銷售收入R(x)(萬元)滿足：R(x)＝假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律求下列問題． (1) 要使工廠有贏利，產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ (2) 工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使贏利最多？ 解：依題意，G(x)＝x＋2，設(shè)利潤函數(shù)為f(x)，則 f(x)＝ (1) 要使工廠有贏利，即解不等式f(x)>0， 當(dāng)0≤x≤5時，解不等式－0.4x2＋3.2x－2.8>0， 即x2－8x＋7<0，得15時，解不等式8.2－x>0，得 x<8.2，∴ 5

13、大于100臺，小于820臺的范圍內(nèi)． (2) 當(dāng)0≤x≤5時，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6， 故當(dāng)x＝4時，f(x)有最大值3.6； 而當(dāng)x>5時，f(x)<8.2－5＝3.2， 所以，當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺產(chǎn)品時，贏利最多． 1. (2017·蘇州期中)函數(shù)y＝的定義域?yàn)開_______． 答案：(－2，1] 解析：由≥0?－2

14、Z}＝{1，2，3，4，5}，而U＝{1，2，3，4，5，6，7}，則?UM＝{6，7}． 3. 函數(shù)f(x)＝的定義域是________． 答案：[－2，2] 解析：因?yàn)閘g(5－x2)≥0，所以5－x2≥1，x2≤4，則－2≤x≤2. 4. 已知函數(shù)f(x)＝則不等式f(f(x))≤3的解集為________． 答案：{x|x≤} 解析：當(dāng)x≥0時，f(f(x))＝f(－x2)＝(－x2)2－2x2≤3，即(x2－3)(x2＋1)≤0，解得0≤x≤；當(dāng)－2＜x＜0時，f(f(x))＝f(x2＋2x)＝(x2＋2x)2＋2(x2＋2x)≤3，即(x2＋2x－1)(x2＋2x＋3)

15、≤0，即－2＜x＜0；當(dāng)x≤－2時，f(f(x))＝f(x2＋2x)＝－(x2＋2x)2≤3，解得x≤－2.綜上，不等式的解集為{x|x≤}． 1. 已知函數(shù)f(x)＝若f(3－a2)＜f(2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案：(－3，1) 解析：如圖，畫出f(x)的圖象，由圖象易得f(x)在R上單調(diào)遞減．∵ f(3－a2)＜f(2a)，∴ 3－a2＞2a，解得－3＜a＜1. 2. 定義在R上的運(yùn)算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－y)*(x＋y)＜1對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)y的取值范圍是________． 答案： 解析：∵ (x－y)*(x＋y)＝(

16、x－y)(1－x－y)＝x－x2－y＋y2＜1，∴ －y＋y2＜x2－x＋1，要使該不等式對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則需有－y＋y2＜(x2－x＋1)min＝，解得－＜y＜. 3. 已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－4x，那么不等式f(x＋2)<5的解集是________． 答案：{x|－70，∵ x≥0時，f(x)＝x2－4x，∴ f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x.又f(x)為偶函數(shù)， ∴ f(－x)＝f(x)，∴ x<0時，f(x)＝x2＋4x，故有f(x)＝再求f(x)<5的解，由得0≤x＜5；由得－5

17、0，即f(x)<5的解集為(－5，5)．由于f(x)向左平移兩個單位即得f(x＋2)，故f(x＋2)<5的解集為{x|－70，ax2＋bx＋c<0的解就是

18、使二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值大于0或小于0時x的范圍，應(yīng)充分和二次函數(shù)圖象結(jié)合去理解一元二次不等式的解集． 2. 解含參數(shù)的不等式(x－a)(x－b)>0，應(yīng)先討論a與b的大小再確定不等式的解，解一元二次不等式的一般過程是：一看(看二次項(xiàng)系數(shù)的符號)，二算(計算判別式，判斷方程的根的情況)，三寫(寫出不等式的解集)． 3. 應(yīng)注意討論ax2＋bx＋c>0的二次項(xiàng)系數(shù)a是否為0. 4. 要注意體會數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想．分類討論要做到“不重”“不漏”“最簡”的三原則．[備課札記] 第2課時　二元一次不等式

19、(組)與 簡單的線性規(guī)劃(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)95～96頁) 會從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；會從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決． ① 會從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.② 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.③ 會從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決． 1. (必修5P84練習(xí)3改編)點(diǎn)(3，1)和(－4，6)在直線3x－2y＋a＝0的兩側(cè)，則a的取值范圍是________． 答案：－7＜a＜

20、24 解析：點(diǎn)(3，1)和(－4，6)在直線3x－2y＋a＝0的兩側(cè)，說明將這兩點(diǎn)坐標(biāo)代入3x－2y＋a后，符號相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)＜0，解得－7＜a＜24. 2. (必修5P86練習(xí)2(1)改編)不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是________． 答案：25 解析：直線x－y＋4＝0與直線x＋y＝0的交點(diǎn)為A(－2，2)，直線x－y＋4＝0與直線x＝3的交點(diǎn)為B(3，7)，直線x＋y＝0與直線x＝3的交點(diǎn)為C(3，－3)，則不等式組表示的平面區(qū)域是一個以點(diǎn)A(－2，2)，B(3，7)，C(3，－3)為頂點(diǎn)的三角形，所以其面積為S△ABC＝×5×10＝25.

21、3. 設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足則z＝3x＋2y的最大值是________． 答案：7 解析：由題設(shè)可知可行域的四個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，0)，(2，0)，(0，3)，(1，2)．因此(3x＋2y)max＝3×1＋2×2＝7. 4. (必修5P89練習(xí)2改編)設(shè)變量x，y滿足約束條件：則z＝x－3y的最小值為________． 答案：－8 解析：畫出可行域與目標(biāo)函數(shù)線，如圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)(－2，2)處取最小值－8. 5. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則z＝2x－y的最大值為________． 答案：8 解析：畫出可行域，如圖中陰影部分所示．由圖可知z＝2x－y在點(diǎn)A(4，0)處取最大

22、值，即zmax＝8. 1. 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 (1) 二元一次不等式表示的平面區(qū)域 一般地，直線y＝kx＋b把平面分成兩個區(qū)域， y>kx＋b表示直線y＝kx＋b上方的平面區(qū)域， y

23、線性規(guī)劃中的基本概念 名稱 定義 約束條件 變量x，y滿足的一次不等式組 目標(biāo)函數(shù) 欲求最大值或最小值所涉及的變量x，y的線性函數(shù) 可行域 約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題 ,　　　　　　　　　1　二元一次不等式表示的平面區(qū)域) ,　　　　　1)　在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為，則t的值為________． 答案：1 解析：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．由解得交點(diǎn)B(t，t＋1)．在y＝x＋1中，令

24、x＝0得y＝1，即直線y＝x＋1與y軸的交點(diǎn)為C(0，1)．由平面區(qū)域的面積S＝＝，得t2＋2t－3＝0，解得t＝1或t＝－3(不合題意，舍去)． 變式訓(xùn)練 若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于，則m＝________． 答案：1 解析：如圖，要使不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，則－2m＜2，m＞－1. 由解得 即A(1－m，1＋m)． 由解得 即B.所圍成的區(qū)域?yàn)椤鰽BC，則S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝， 解得m＝－3(舍去)或m＝1. ,　　　　　　　　　2　線性規(guī)劃問題) ,　

25、　　　　2)　(1) 設(shè)變量x，y滿足則目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋3y的最小值為________； (2) 變量x，y滿足約束條件若z＝2x－y的最大值為2，則實(shí)數(shù)m＝________． 答案：(1) 7　(2) 1 解析：(1) 作出可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋3y的幾何意義是直線y＝－x＋在y軸上的截距為，因此z的最小值也就是直線截距的最小值，平移直線y＝－x，經(jīng)過點(diǎn)B(2，1)時，zmin＝2×2＋3×1＝7. (2) 如圖所示，目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y取最大值2，即y＝2x－2時，畫出表示的區(qū)域，由于mx－y≤0過定點(diǎn)(0，0)，要使z＝2x－y取最大值2，則目標(biāo)函數(shù)必過兩直線x

26、－2y＋2＝0與y＝2x－2的交點(diǎn)A(2，2)，因此直線mx－y＝0過點(diǎn)A(2，2)，故有2m－2＝0，解得m＝1. 變式訓(xùn)練 已知實(shí)數(shù)x，y滿足 (1) 若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍； (2) 若z＝x2＋y2，求z的最大值與最小值，并求z的取值范圍． 解：由作出可行域，如圖中陰影部分所示． (1) z＝表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，因此的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(直線OA的斜率不存在，即zmax不存在)．由得B(1，2)，∴ kOB＝＝2，即zmin＝2，∴ z的取值范圍是[2，＋∞)． (2) z＝x2＋y2表示可行域內(nèi)的任意

27、一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間距離的平方．因此x2＋y2的值最小為OA2(取不到)，最大值為OB2.由得A(0，1)， ∴ OA2＝02＋12＝1，OB2＝12＋22＝5. ∴ zmax＝5，z無最小值． ∴ z的取值范圍是(1，5]． ,　　　　　　　　　3　線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用) ,　　　　　3)　某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸，生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸．銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，銷售每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸，求該企業(yè)可獲得的最大利潤． 解：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分

28、別需生產(chǎn)x，y噸，利潤為z萬元，則z＝5x＋3y.由題意可得，x，y滿足約束條件 作出可行域如圖所示．由圖可知當(dāng)z＝5x＋3y經(jīng)過可行域中的點(diǎn)(3，4)時，直線z＝5x＋3y在y軸上的截距最大，故該企業(yè)可獲得的最大利潤zmax＝5×3＋3×4＝27(萬元)． 1. (2017·課標(biāo)Ⅱ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值是________． 答案：－15 解析：目標(biāo)函數(shù)即y＝－2x＋z，其中z表示斜率為k＝－2的直線系與可行域有交點(diǎn)時直線的截距值，數(shù)形結(jié)合可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)B(－6，－3)處取得最小值z＝－12－3＝－15. 2. (2017·南京、鹽城)已知實(shí)數(shù)x，

29、y滿足則的最小值是________． 答案： 解析：表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，作出可行域，發(fā)現(xiàn)可行域內(nèi)的點(diǎn)(4，3)為最優(yōu)解，代入可得的最小值是. 3. (2017·課標(biāo)Ⅰ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝3x－2y的最小值為________． 答案：－5 解析：不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示， 易求得A(－1，1)，B，C，由z＝3x－2y得y＝x－在y軸上的截距越大，z就越小，所以當(dāng)直線z＝3x－2y過點(diǎn)A時，z取得最小值，所以z的最小值為3×(－1)－2×1＝－5. 4. (2017·無錫期末)設(shè)不等式表示的平面區(qū)域?yàn)镸.若直線y＝kx－2上存在M內(nèi)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

30、k的取值范圍是________． 答案：[2，5] 解析：由約束條件作出可行域，如圖陰影部分所示．因?yàn)楹瘮?shù)y＝kx－2的圖象是過點(diǎn)A(0，－2)，且斜率為k的直線l，由圖知，當(dāng)直線l過點(diǎn)B(1，3)時，k取最大值5，當(dāng)直線l過點(diǎn)C(2，2)時，k取最小值2，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[2，5]． 1. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足則z＝2x－y的最大值是________． 答案：5 解析：作出可行域如圖陰影部分所示，發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線z＝2x－y過點(diǎn)C(3，1)時，目標(biāo)函數(shù)z取最大值，且最大值為5. 2. 若實(shí)數(shù)x，y滿足則z＝2x＋3y的最大值為________． 答案：8 解析：由約束

31、條件作出可行域如圖陰影部分所示，可行域的三個頂點(diǎn)分別為(0，1)，(1，0)，(1，2)，由圖可得，目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)(1，2)時，z取最大值，故z＝2x＋3y的最大值為8. 3. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足若不等式4x2＋y2－axy≤0恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為________． 答案：5 解析：由得2≤≤4.由已知得a≥＋，則實(shí)數(shù)a的最小值為5. 4. 已知變量x，y滿足約束條件且有無窮多 個點(diǎn)(x，y)使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值，則m＝________. 答案：1 解析：作出線性約束條件表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示． 若m＝0，則z＝x，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小

32、值的最優(yōu)解只有一個，不符合題意；若m≠0，則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my可看作斜率為－的動直線y＝－x＋. 若m<0，則－>0，數(shù)形結(jié)合知使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值的最優(yōu)解不可能有無窮多個； 若m>0，則－<0，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)動直線與直線AB重合時，有無窮多個點(diǎn)(x，y)在線段AB上，使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，則m＝1. 綜上可知，m＝1. 1. 確定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直線Ax＋By＋C＝0的哪一側(cè)區(qū)域，常用兩種方法：一是在直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)；二是將不等式化為y>kx＋b(<，≥，≤)． 2. 在線性約束條件下，當(dāng)b>0時，求

33、目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by＋c的最值的步驟： (1) 作出可行域； (2) 作出直線l0：ax＋by＝0； (3) 平移直線l0：ax＋by＝0，依可行域判斷取得最值的最優(yōu)解的點(diǎn)； (4) 解相關(guān)方程組，求出最優(yōu)解，從而得出目標(biāo)函數(shù)的最值． 3. 常見的非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義： (1) 表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0，0)的距離； (2) 表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)的距離； (3) 表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0，0)連線的斜率值； (4) 表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率值．[備課札記] 第3課時　基本不等式(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(

34、理)97～98頁) 掌握基本不等式，能利用基本不等式推導(dǎo)不等式，能利用基本不等式求最大(小)值． ① 了解基本不等式的證明過程.② 會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題． 1. (必修5P99練習(xí)4改編)若實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝2，則3a＋3b的最小值是________． 答案：6 解析：由基本不等式，得3a＋3b≥2＝2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時取等號，所以3a＋3b的最小值是6. 2. (必修5P105復(fù)習(xí)題9改編)若f(x)＝x＋－2(x＜0)，則f(x)的最大值為________． 答案：－4 解析：∵ x＜0，∴ f(x)＝－[(－

35、x)＋]－2≤－2－2＝－4，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝，即x＝－1時取等號． 3. (必修5P105復(fù)習(xí)題10改編)若x>－3，則x＋的最小值為________． 答案：2－3 解析：∵ x＋3>0，∴ x＋＝(x＋3)＋－3≥2－3＝2－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＋3＝，即x＝－3＋時取等號． 4. (原創(chuàng))若對任意x>0，≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案： 解析：因?yàn)椤躠恒成立，所以a≥.又＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時等號成立，所以a≥. 5. (原創(chuàng))已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，則m的最大值為________． 答案：9 解析：原不等式恒成立等價于m≤

36、，而(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立．所以m≤9，即m的最大值為9. 1. 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 對于正數(shù)a，b，我們把稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b的幾何平均數(shù)． 2. 基本不等式≤ (1) 基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0； (2) 等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號； (3) 結(jié)論：兩個非負(fù)數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)． 3. 幾個重要的不等式 (1) 重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號． (2) ab≤(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號． (3) ≥(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a

37、＝b時取等號．[備課札記] ,　　　　　　　　　1　通過配湊法利用基本不等式求最值) ,　　　　　1)　(1) 已知x<，則f(x)＝4x－2＋的最大值為________； (2) 若函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a＝________． 答案：(1) 1　(2) 3 解析：(1) 因?yàn)閤<，所以5－4x>0，則f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時等號成立． 故f(x)＝4x－2＋的最大值為1. (2) 因?yàn)閤>2，所以x－2>0，則f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2

38、＝，即x＝3時取等號． 所以當(dāng)f(x)取最小值時，x＝3，即a＝3. 變式訓(xùn)練 若－4＜x＜1，求的最大值． 解：＝·＝[(x－1)＋]＝－. ∵ －4＜x＜1，∴ －(x－1)＞0，＞0. 從而≥2， －≤－1， 當(dāng)且僅當(dāng)－(x－1)＝，即x＝0時取等號．即＝－1. 正數(shù)x，y滿足＋＝1. (1) 求xy的最小值； (2) 求x＋2y的最小值． 解：(1) 由1＝＋≥2得xy≥36，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2，y＝18時取等號，故xy的最小值為36. (2) 由題意可得x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即9x2＝2y2時取等號，故x＋2

39、y的最小值為19＋6. ,　　　　　　　　　2　通過常數(shù)代換法或消元法利用基本不等式求最值) ,　　　　　2)　(1) 已知x>0，y>0且x＋y＝1，則＋的最小值為________； (2) 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________． 答案：(1) 18　(2) 6 解析：(1) (常數(shù)代換法) ∵ x>0，y>0且x＋y＝1，∴ ＋＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時等號成立， ∴ 當(dāng)x＝，y＝時，＋有最小值18. (2) 由已知得x＝. (解法1：消元法) ∵ x>0，y>0，∴ y<3，∴ x＋3y

40、＝＋3y＝＋(3y＋3)－6≥2－6＝6， 當(dāng)且僅當(dāng)＝3y＋3，即y＝1，x＝3時，(x＋3y)min＝6. (解法2)∵ x>0，y>0，∴ 9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y時等號成立． 設(shè)x＋3y＝t>0，則t2＋12t－108≥0， ∴ (t－6)(t＋18)≥0. 又t>0，∴ t≥6. 故當(dāng)x＝3，y＝1時，(x＋3y)min＝6. 變式訓(xùn)練 (1) 已知正實(shí)數(shù)x，y滿足xy＋2x＋y＝4，則x＋y的最小值為________； (2) 若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，則x＋y的最小值為________． 答案：(1) 2

41、－3　(2) 18 解析：(1) 由xy＋2x＋y＝4，解得y＝，則x＋y＝x－2＋＝(x＋1)＋－3≥2－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時等號成立． (2) 由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴ ＋＝1， ∴ x＋y＝(x＋y)＝10＋＋＝10＋2≥10＋2×2＝18，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時取等號．又2x＋8y－xy＝0，∴ x＝12，y＝6， 即當(dāng)x＝12，y＝6時，x＋y取最小值18. ,　　　　　　　　　3　基本不等式與函數(shù)的綜合應(yīng)用) ,　　　　　3)　已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，若對于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，則a的取值范圍是________． 答案：

42、 解析：對任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，可得 a≥－＋3. 設(shè)g(x)＝x＋，x∈N*. ∵ g(x)在(0，2]上單調(diào)遞減，在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，而x∈N*，∴ g(x)在x取距離2較近的整數(shù)值時達(dá)到最小，而距離2較近的整數(shù)為2和3，且g(2)＝6，g(3)＝. ∵ g(2)>g(3)，∴ g(x)min＝. ∴ －＋3≤－， ∴ a≥－，故a的取值范圍是. 變式訓(xùn)練 要制作一個如圖的框架(單位：m)，要求所圍成的總面積為19.5 m2，其中四邊形ABCD是一個矩形，四邊形EFCD是一個等腰梯形，梯形高h(yuǎn)＝AB，tan∠FED＝，設(shè)AB＝x m，BC＝

43、y m. (1) 求y關(guān)于x的函數(shù)解析式； (2) 怎樣設(shè)計x，y的長度，才能使所用材料最少？ 解：(1) 如圖，作DH⊥EF于點(diǎn)H. 依題意，DH＝AB＝x， EH＝＝×x＝x， ∴ ＝xy＋x＝xy＋x2， ∴ y＝－x. ∵ x＞0，y＞0， ∴ －x＞0，解得0＜x＜， ∴ 所求解析式為y＝－x. (2) 在Rt△DEH中，∵ tan∠FED＝，∴ sin∠FED＝， ∴ DE＝＝x×＝x， 設(shè)框架的周長為l m. 則l＝(2x＋2y)＋2×x＋ ＝2y＋6x＝－x＋6x ＝＋x≥2 ＝26. 當(dāng)且僅當(dāng)＝x，即x＝3時取等號，此時y＝－x＝4，

44、 ∴ AB＝3 m，BC＝4 m時，能使整個框架所用材料最少． ,　　　　　　　　　4　基本不等式的實(shí)際應(yīng)用) ,　　　　　4)　某單位擬建一個扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點(diǎn)O為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點(diǎn)O的兩條直線段圍成的．按設(shè)計要求扇環(huán)面的周長為30 m，其中大圓弧所在圓的半徑為10 m．設(shè)小圓弧所在圓的半徑為x m，圓心角為θ(弧度)． (1) 求θ關(guān)于x的函數(shù)解析式； (2) 已知在花壇的邊緣(實(shí)線部分)進(jìn)行裝飾時，直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出x為何值時，y取

45、得最大值． 解：(1) 由題意可得，30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝(0＜x＜10)． (2) 花壇的面積為θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0＜x＜10)． 裝飾總費(fèi)用為9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，所以花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比y＝＝－.令t＝17＋x，則y＝－≤，當(dāng)且僅當(dāng)t＝18時取等號，此時x＝1，θ＝. 所以當(dāng)x＝1時，花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比最大． 去年冬季，我國多地區(qū)遭遇了霧霾天氣，引起口罩熱銷．某品牌口罩原來每只成本為6元，售價為8元，月銷售5萬只． (1) 據(jù)市場調(diào)查，若售價每提高0.5元，

46、月銷售量將相應(yīng)減少0.2萬只，要使月總利潤不低于原來的月總利潤(月總利潤＝月銷售總收入－月總成本)，該口罩每只售價最多為多少元？ (2) 為提高月總利潤，廠家決定下月進(jìn)行營銷策略改革，計劃每只售價x(x≥9)元，并投入(x－9)萬元作為營銷策略改革費(fèi)用．據(jù)市場調(diào)查，每只售價每提高0.5元，月銷售量將相應(yīng)減少萬只．則當(dāng)每只售價x為多少時，下月的月總利潤最大？并求出下月最大總利潤． 解：(1) 設(shè)每只售價為x元(x>8)，則月銷售量為萬只，由已知得(x－6)≥(8－6)×5，∴ x2－x＋≤0，即2x2－53x＋296≤0，解得8≤x≤，即每只售價最多為18.5元． (2) 下月的月總利潤y

47、＝(x－6)－(x－9)＝－x＋＝－x＋＝－＋.∵ x≥9，∴ ＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝10時取等號，ymax＝14. 答：當(dāng)x＝10時，下月的月總利潤最大，且最大利潤為14萬元． 1. (2017·蘇北四市模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3，則＋的最小值是________． 答案：8 解析：由已知得x＝，而0＜x＜，所以y＞3.則＋＝y(tǒng)＋3＋＝y(tǒng)－3＋＋6≥8，當(dāng)且僅當(dāng)y＝4，x＝時等號成立．即＝8. 2. (2017·蘇州期末)已知正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則＋的最小值為________． 答案： 解析：由x＋y＝1，得x＋2＋y＋1＝4，＋＝(x＋2＋y＋1)＝[

48、4＋1＋＋]≥(5＋4)＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝，y＝時取等號．即＝. 3. (2017·泰州、南通模擬)若正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則＋的最小值是________． 答案：8 解析：＋＝＋＝(x＋y)－1＝＋＋4≥8.當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝，y＝時取等號． 4. (2017·蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知a，b均為正數(shù)，且ab－a－2b＝0，則－＋b2－的最小值為________． 答案：7 解析：∵ a，b均為正數(shù)，且ab－a－2b＝0，即a＋2b＝ab，∴ ＋＝1. 則－＋b2－＝＋b2－1. ＋b＝＝＋＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，b＝2時取等號． ∴ ＋b2≥≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝

49、4，b＝2時取等號． ∴ －＋b2－＝＋b2－1≥7. 5. (2016·江蘇卷)在銳角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，則tan Atan Btan C的最小值是__________． 答案：8 解析：(解法1)∵ sin A＝2sin Bsin C，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， ∴ sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C， 兩邊同除以cos Bcos C，可得tan B＋tan C＝2tan Btan C， tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C＝－·

50、tan Btan C＝， 由三角形為銳角三角形得tan B>0，tan C>0，tan A＝>0，即tan Btan C－1>0.令tan Btan C－1＝t(t>0)，則tan Atan Btan C＝＝2t＋＋4≥8， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝1，即tan Btan C＝2時取等號． (解法2)同解法1可得tan B＋tan C＝2tan Btan C， 又tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋(1－tan Btan C)·tan(B＋C)＝tan A－tan A＋tan Atan Btan C＝tan A·tan Btan C， ∴ tan Atan Btan C＝tan A＋

51、tan B＋tan C＝tan A＋2tan Btan C≥2?tan Atan Btan C≥8， 當(dāng)且僅當(dāng)tan A＝2tan Btan C＝4時取等號． ,　　7. 忽視最值取得的條件致誤) 典例　(1) 已知x＞0，y＞0，且＋＝1，則x＋y的最小值是________； (2) 函數(shù)y＝1－2x－(x＜0)的最小值為________． 易錯分析：(1) 多次使用基本不等式，忽略等號成立的條件．如：∵ 1＝＋≥2，∴ ≥2，∴ x＋y≥2≥4，∴ (x＋y)min＝4. (2) 沒有注意到x＜0這個條件，誤用基本不等式得2x＋≥2. 解析：(1) ∵ x＞0，y

52、＞0， ∴ x＋y＝(x＋y)＝3＋＋≥3＋2(當(dāng)且僅當(dāng)y＝x時取等號)， ∴ 當(dāng)x＝＋1，y＝2＋時，(x＋y)min＝3＋2. (2) ∵ x＜0，∴ y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋≥1＋2＝1＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－時取等號，故y的最小值為1＋2. 答案：(1) 3＋2　(2) 1＋2 特別提醒：(1) 利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件；(2) 盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號成立的條件一致． 1. 已知正數(shù)a，b滿足＋＝－5，則ab的最小值為________． 答案：36 解析：由＋＝－5≥2，得ab－5－6≥0，解得≥6，ab≥36

53、. 2. 已知a＋b＝2，b＞0，當(dāng)＋取最小值時，實(shí)數(shù)a的值是________． 答案：－2 解析：＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－2，b＝4時等號成立． 3. (2017·南京三模)已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋2b≤8c，＋≤，則的取值范圍是________． 答案：[27，30] 解析：因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，對a＋2b≤8c的左右兩邊同除以c，得＋≤8；對＋≤的左右兩邊同乘c，得＋≤2；令x＝，y＝，則條件可轉(zhuǎn)化為 再進(jìn)行化簡，可得即求z＝＝3x＋8y的取值范圍，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的問題，畫出可行域，對y＝＋求導(dǎo)，并令導(dǎo)函數(shù)值為－，可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，代入曲線，計算出切

54、點(diǎn)坐標(biāo)為，利用線性規(guī)劃，可知z＝3x＋8y分別在(2，3)和處取最值，可得的取值范圍是[27，30]． 4. (2017·無錫期末)已知a>0，b>0，c>2，且a＋b＝2，則＋－＋的最小值為________． 答案：＋ 解析：由a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，得＋－＋＝c＋＝＋.由2＝，可得＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝a時等號成立，則原式≥c＋＝≥·＝＋.當(dāng)且僅當(dāng)c＝2＋時等號成立． 1. a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，而≥成立的條件是a≥0，b≥0，使用時要注意公式成立的前提條件． 2. 在運(yùn)用基本不等式時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“

55、一正”(即條件中字母為正數(shù))“二定”(不等式的另一邊必須為定值)“三相等”(等號取得的條件)． 3. 正確理解定理：“和一定，相等時積最大；積一定，相等時和最小”． 4. 連續(xù)使用公式兩次或以上，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致． 5. 掌握函數(shù)y＝ax＋(a>0，b>0)的單調(diào)性，特別是當(dāng)運(yùn)用基本不等式不能滿足“三相等”時．[備課札記] 第4課時　不等式的綜合應(yīng)用(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)99～100頁) 掌握不等式的綜合應(yīng)用；掌握基本不等式的綜合應(yīng)用；掌握不等式與其他函數(shù)方程等知識的綜合應(yīng)用． 　　解決應(yīng)用性問題的基本思路：讀題

56、(背景、結(jié)論)—條件—建模—解題—反思—作答． 1. (必修5P102習(xí)題7改編)函數(shù)y＝x＋(x≠0)的值域是________． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞) 解析：當(dāng)x>0時，y＝x＋≥2＝4；當(dāng)x<0時，y＝x＋＝－≤－2＝－4. 2. (必修5P102習(xí)題9改編)某種產(chǎn)品按下列三種方案兩次提價．方案甲：第一次提價p%，第二次提價q%；方案乙：第一次提價q%，第二次提價p%；方案丙：第一次提價%，第二次提價%.其中p>q>0，上述三種方案中提價最多的是________． 答案：方案丙 解析：設(shè)原來價格為A，方案甲：經(jīng)兩次提價后價格為A＝A；方案乙：經(jīng)

57、兩次提價后價格為A；方案丙：經(jīng)兩次提價后價格為A＝A[1＋＋·]．因?yàn)?，所以方案丙提價最多． 3. 設(shè)x∈R，f(x)＝，若不等式f(x)＋f(2x)≤k對于任意的x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 答案：k≥2 解析：不等式轉(zhuǎn)化為k≥＋，因?yàn)椤?0，1]，所以k≥2. 4. (必修5P106復(fù)習(xí)題16改編)已知x>0，y>0且滿足＋＝1，則x＋y的最小值是________ . 答案：18 解析：∵ x>0，y>0，∴ x＋y＝(x＋y)＝2＋8＋＋≥10＋2＝18，當(dāng)且僅當(dāng)＝時等號成立．又＋＝1，∴ 當(dāng)x＝6，y＝12時，x＋y有最小值18. 5. 若正數(shù)a

58、，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________． 答案：[9，＋∞) 解析：由a>0，b>0，得a＋b≥2，則ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0?(－3)(＋1)≥0?≥3，∴ ab≥9.[備課札記] ,　　　　　　　　　1　含參數(shù)的不等式問題) ,　　　　　1)　若不等式組的解集中所含整數(shù)解只有－2，求k的取值范圍． 解：由x2－x－2>0得x＜－1或x＞2， 由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0得(2x＋5)(x＋k)＜0， 因?yàn)椋?是原不等式組的解，所以k＜2. 由(2x＋5)(x＋k)＜0有－＜x＜－

59、k. 因?yàn)樵坏仁浇M的整數(shù)解只有－2， 所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2， 故k的取值范圍是[－3，2)． 變式訓(xùn)練 解關(guān)于x的不等式＞0 (a∈R)． 解：原不等式等價于(ax－1)(x＋1)＞0. ① 當(dāng)a＝0時，由－(x＋1)＞0，得x＜－1； ② 當(dāng)a＞0時，不等式化為(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞； ③ 當(dāng)a＜0時，不等式化為(x＋1)＜0； 若＜－1，即－1＜a＜0，則＜x＜－1； 若＝－1，即a＝－1，則不等式解集為空集； 若＞－1，即a＜－1，則－1＜x＜. 綜上所述，a＜－1時，解集為；a＝－1時，原不等式無解；－1＜a＜0時，解集為；a＝0時

60、，解集為{x|x＜－1}；a＞0時，解集為. ,　　　　　　　　　2　不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用) ,　　　　　2)　某輛汽車以x km/h的速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全，要求60≤x≤120)時，每小時的油耗(所需要的汽油量)為L，其中k為常數(shù)，且60≤k≤100. (1) 若汽車以120 km/h的速度行駛時，每小時的油耗為11.5 L，欲使每小時的油耗不超過9 L，求x的取值范圍； (2) 求該汽車行駛100 km的油耗的最小值． 解：(1) 由題意，當(dāng)x＝120時，＝11.5，所以k＝100. 由≤9，得x2－145x＋4 500≤0， ∴ 45≤x≤1

61、00. ∵ 60≤x≤120，∴ 60≤x≤100. (2) 設(shè)該汽車行駛100 km的油耗為y L，則 y＝·＝20－＋(60≤x≤120)． 令t＝，則t∈， ∴ y＝90 000t2－20kt＋20＝90 000＋20－. 對稱軸為直線t＝.∵ 60≤k≤100，∴ ∈. ① 若≥，即75≤k≤100，則當(dāng)t＝，即x＝時，ymin＝20－； ② 若＜，即60≤k＜75，則當(dāng)t＝，即x＝120時，ymin＝－. 答：當(dāng)75≤k≤100時，該汽車行駛100 km的油耗的最小值為L；當(dāng)60≤k＜75時，該汽車行駛100 km的油耗的最小值為L. 現(xiàn)有一占地1 800 m

62、2的矩形地塊，中間三個矩形設(shè)計為花圃(如圖)，種植不同品種的觀賞花卉，周圍則均是寬為1 m的賞花小徑，設(shè)花圃占地面積為S m2，設(shè)矩形一邊的長為x(如圖所示)． (1) 試將S表示為x的函數(shù)； (2) 問應(yīng)該如何設(shè)計矩形地塊的邊長，使花圃占地面積S取得最大值？ 解：(1) 由題知S＝a(x－2)＋2a(x－3)＝a(3x－8)， 又3a＋3＝，則a＝－1， 所以S＝(3x－8)＝1 808－3x－. (2) S＝1 808－3x－＝1 808－3≤1 808－240＝1 568(當(dāng)且僅當(dāng)x＝40時取等號)，此時另一邊長為45 m . 答：當(dāng)x＝40 m，另一邊長為45 m時花

63、圃占地面積S取得最大值1 568 m2. ,　　　　　　　　　3　基本不等式的靈活運(yùn)用) ,　　　　　3)　設(shè)x，y均為正實(shí)數(shù)，且＋＝1，則xy的最小值為__________． 答案：16 解析：由＋＝1，得xy＝8＋x＋y. ∵ x，y均為正實(shí)數(shù)，∴ xy＝8＋x＋y≥8＋2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時等號成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16.故xy的最小值為16. 變式訓(xùn)練 已知x＋y＝1，y＞0，x＞0，則＋的最小值為________． 答案： 解析：將x＋y＝1代入＋中，得＋＝＋＋.設(shè)＝t＞0，則原式＝＋＝＝·＝[(1＋2t)＋＋1]≥×2＋＝，當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即x

64、＝，y＝時等號成立． 1. 已知正數(shù)x，y滿足x＋2y＝1，則的最大值為________． 答案： 解析：∵ 正數(shù)x，y滿足x＋2y＝1， ∴ ＝(x＋2y)·＝10＋＋≥10＋2＝18， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝，y＝時取等號， ∴ 的最小值為18，∴ 的最大值為. 2. 若x＞0，y＞0，則＋的最小值為________． 答案：－ 解析：設(shè)＝t＞0，則＋＝＋t＝＋(2t＋1)－≥2－＝－，當(dāng)且僅當(dāng)t＝＝時取等號． 3. 若x，y，z均為正實(shí)數(shù)，且x2＋y2＋z2＝1，則的最小值為________． 答案：3＋2 解析：x，y，z均為正實(shí)數(shù)，且x2＋y2＋z2＝1，可得

65、1－z2＝x2＋y2≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取等號，則 ≥＝＝≥＝3＋2.當(dāng)且僅當(dāng)z＝－1，即x＝y(tǒng)＝時，取得最小值3＋2. 4. 已知x＞y＞0，且x＋y≤2，則＋的最小值為________． 答案： 解析：由x＞y＞0，可得x＋3y＞0，x－y＞0， [(x＋3y)＋(x－y)]＝5＋＋≥5＋2＝9，可得＋≥＝≥. 當(dāng)且僅當(dāng)2(x－y)＝x＋3y，即x＝5y＝時，取得最小值. 5. (2017·蘇州期中)如圖，有一塊平行四邊形綠地ABCD，經(jīng)測量BC＝2百米，CD ＝1百米，∠BCD＝120°，擬過線段BC上一點(diǎn)E設(shè)計一條直路EF(點(diǎn)F在四邊形ABCD的邊上，不計路的寬度)

66、，EF將綠地分成兩部分，且右邊面積是左邊面積的3倍．設(shè)EC ＝x百米，EF＝y(tǒng)百米． (1) 當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時，試確定點(diǎn)E的位置； (2) 試求x的值，使路EF的長度y最短． 解：(1) 平行四邊形ABCD的面積為S?ABCD＝2××1×2sin 120°＝， 當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時，S△CFE＝CE·CD·sin 120°＝x. ∵ S△CFE＝S?ABCD，∴ x＝，∴ x＝1， ∴ E是BC的中點(diǎn)． (2) ① 當(dāng)點(diǎn)F在CD上時， ∵ S△CFE＝CE·CF·sin 120°＝S?ABCD＝， ∴ CF＝. 在△CFE中，EF2＝CE2＋CF2－2CE·CF·cos 120°， ∴ y＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號， 此時E在BC中點(diǎn)處且F與D重合，符合題意； ② 當(dāng)點(diǎn)F在DA上時， ∵ S梯形CEFD＝·＝S?ABCD＝， ∴ DF＝1－x. (ⅰ) 當(dāng)CE＜DF時，過E作EG∥CD交DA于G， 在△EGF中，EG＝1，GF＝1－2x，∠EGF＝60°，由余弦定理得y＝； (ⅱ) 當(dāng)CE≥DF時，過E作EG∥CD交DA于G， 在△EGF中，