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1、2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提分專練05 以三角形為背景的中檔計(jì)算題與證明題練習(xí) 湘教版
|類型1| 與特殊三角形相關(guān)的計(jì)算、證明題
1.如圖T5-1,在△ABC中,點(diǎn)D在AB上,且CD=CB,點(diǎn)E為BD的中點(diǎn),點(diǎn)F為AC的中點(diǎn),連接EF交CD于點(diǎn)M,連接AM.
(1)求證:EF=AC;
(2)若∠BAC=45°,求線段AM,DM,BC之間的數(shù)量關(guān)系.
圖T5-1
2.[xx·連云港] 如圖T5-2,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,且AD=AE,連接BE,CD,交于點(diǎn)F.
(1)判斷∠ABE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系,并說明理
2、由;
(2)求證:過點(diǎn)A,F的直線垂直平分線段BC.
圖T5-2
|類型2| 與全等三角形相關(guān)的計(jì)算、證明題
3.如圖T5-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,AE∥BC,CE⊥AE,垂足為E.
(1)求證:△ABD≌△CAE.
(2)連接DE,線段DE與AB之間有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論.
圖T5-3
4.[xx·寧波] 如圖T5-4,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)D與A,B不重合),連接CD,將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連
3、接DE交BC于點(diǎn)F,連接BE.
(1)求證:△ACD≌△BCE;
(2)當(dāng)AD=BF時(shí),求∠BEF的度數(shù).
圖T5-4
|類型3| 與相似三角形相關(guān)的計(jì)算、證明題
5.如圖T5-5,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分別為D,E,AD與BE相交于點(diǎn)F.
(1)求證:△ACD∽△BFD;
(2)當(dāng)tan∠ABD=1,AC=3時(shí),求BF的長.
圖T5-5
6.[xx·東營] (1)某學(xué)校“智慧方園”數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目:
如圖T5-6①,在△ABC中,點(diǎn)O在線段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=
4、3,BO∶CO=1∶3,求AB的長.
經(jīng)過社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn),過點(diǎn)B作BD∥AC,交AO的延長線于點(diǎn)D,通過構(gòu)造△ABD就可以解決問題(如圖②).
請回答:∠ADB= °,AB= .?
(2)請參考以上解題思路,解決下列問題:
如圖③,在四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AC⊥AD,AO=3,∠ABC=∠ACB=75°,BO∶OD=1∶3,求DC的長.
圖T5-6
參考答案
1.解:(1)證明:連接CE.∵CD=CB,點(diǎn)E為BD的中點(diǎn),
∴CE⊥BD.
∵點(diǎn)F為AC的中點(diǎn),
∴EF=AC.
(2)∵∠BAC=45°,CE⊥BD,
∴
5、△AEC是等腰直角三角形.
∵點(diǎn)F為AC的中點(diǎn),
∴EF垂直平分AC,∴AM=CM.
∵CD=CM+DM=AM+DM,CD=CB,
∴BC=AM+DM.
2.解:(1)∠ABE=∠ACD.理由如下:
因?yàn)锳B=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,
所以△ABE≌△ACD,所以∠ABE=∠ACD.
(2)證明:因?yàn)锳B=AC,所以∠ABC=∠ACB.
由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因?yàn)锳B=AC,所以點(diǎn)A,F均在線段BC的垂直平分線上,
即直線AF垂直平分線段BC.
3.解:(1)證明:∵AB=AC,
∴∠B=∠ACD.
∵
6、AE∥BC,
∴∠EAC=∠ACD,
∴∠B=∠EAC.
∵AD是BC邊上的中線,
∴AD⊥BC.
∵CE⊥AE,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
在△ABD和△CAE中,
∵
∴△ABD≌△CAE(AAS).
(2)AB平行且等于DE.
證明:由(1)知△ABD≌△CAE,
∴AE=BD.
又∵AE∥BD,
∴四邊形ABDE為平行四邊形,
∴AB平行且等于DE.
4.解:(1)證明:∵線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,
∴∠DCE=90°,CD=CE.
又∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DCE,
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD
7、和△BCE中,∵
∴△ACD≌△BCE.
(2)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=45°,
∵△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°.
又AD=BF,
∴BE=BF,
∴∠BEF=∠BFE==67.5°.
5.解:(1)證明:∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°,
∴∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°,
∴∠DBF=∠DAC,∴△ACD∽△BFD.
(2)∵∠ADB=90°,tan∠ABD=1,
∴tan∠ABD==1,∴AD=BD.
∵△ACD∽△BFD,
∴==1,∴BF=AC=3.
6
8、.[解析] (1)利用兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等,可得∠ADB=∠OAC=75°和△AOC與△DOB相似,于是得DO=,再利用三角形內(nèi)角和定理可求得∠ABD=75°,所以AB=AD=4.
(2)同理,可過B作AD的平行線,利用相似可求得DC的長.
解:(1)∵BD∥AC,∴∠ADB=∠OAC=75°.
又∵∠DOB=∠AOC,
∴△DOB∽△AOC,
∴==.
∵AO=3,∴DO=,
∴AD=AO+DO=3+=4.
在△ABD中,∠BAO=30°,∠ADB=75°,
∴∠ABD=180°-∠BAO-∠ADB=180°-30°-75°=75°,
∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD=4.
(2)過點(diǎn)B作BE∥AD交AC于點(diǎn)E.
∵AC⊥AD,∴∠DAC=∠BEA=90°.
又∵∠AOD=∠EOB,
∴△AOD∽△EOB,
∴==.
∵BO∶OD=1∶3,
∴==.
∵AO=3,∴EO=,∴AE=4.
∵∠ABC=∠ACB=75°,
∴∠BAC=30°,AB=AC,∴AB=2BE.
在Rt△AEB中,AE2+BE2=AB2,
即(4)2+BE2=(2BE)2,得BE=4,
∴AB=AC=8,AD=12.
在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2,
即82+122=CD2,得CD=4.
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