2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 文 (IV)

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1、2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 文 (IV) 一、選擇題（本大題共12題，每題5分，滿分60分，每小題只有一個正確答案） 1.給出命題“方程x2＋ax＋1＝0沒有實(shí)數(shù)根”，則使該命題為真命題的a的一個值可以是(　　) A． 4 B． 2 C． 1 D． －3 2.已知a，b∈R，命題“若a＋b＝1，則a2＋b2≥”的否命題是(　　) A． 若a2＋b2＜，則a＋b≠1 B． 若a＋

2、b＝1，則a2＋b2＜ C． 若a＋b≠1，則a2＋b2＜ D． 若a2＋b2≥，則a＋b＝1 3.設(shè)f(x)存在導(dǎo)函數(shù)，且滿足＝－1，則曲線y＝f(x)上點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為(　　) A． 2 B． －1 C． 1 D． －2 4.已知條件p：x<－3或x>1，條件q：x>a，且p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)≥－1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥1

3、D．a(chǎn)≤－3 5.已知p：?x0∈R，mx＋2≤0.q：?x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A． [1，＋∞) B． (－∞，－1] C． (－∞，－2] D． [－1,1] 6.已知雙曲線my2－x2＝1(m∈R)與橢圓＋x2＝1有相同的焦點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±3x 7.已知橢圓C：＋＝1(a

4、>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長為4，則C的方程為(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 8.已知拋物線y2＝x，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，·＝2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△ABO與△AFO的面積之和的最小值是(　　) A． 2 B． 3 C． D． 9.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝ax2＋bx＋c的

5、圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是(　　) 10.過曲線y＝上一點(diǎn)P的切線的斜率為－4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A． B．或 C． D． 11.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，A1，A2，B1，B2為橢圓頂點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，延長B1F2與A2B2交于點(diǎn)P，若∠B1PB2為鈍角，則該橢圓離心率的取值范圍是(　　) A． B． C． D． 12.函數(shù)f(x)＝x＋lnx在(0,6)

6、上是(　　) A． 單調(diào)增函數(shù) B． 單調(diào)減函數(shù) C． 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù) D． 在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù) 第II卷 非選擇題 （共90分） 二、填空題(共4小題,每小題5分,共20分) 13.若曲線y＝xlnx上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________． 14.已知函數(shù)f(x)＝

7、x4＋ax2－bx，且f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，則a＋b等于________． 15.設(shè)雙曲線－＝1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且與雙曲線的一條漸近線平行的直線與另一條漸近線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為________． 16.點(diǎn)P在橢圓x2＋＝1上，點(diǎn)Q在直線y＝x＋4上，若|PQ|的最小值為，則m＝________. 三、解答題(共6小題,共70分) 17. （10分）已知命題p：函數(shù)f(x)＝x2－2mx＋4在[2

8、，＋∞)上單調(diào)遞增，命題q：關(guān)于x的不等式mx2＋4(m－2)x＋4>0的解集為R.若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求m的取值范圍． 18.（12分）已知橢圓＋＝1(a>b>0)上的點(diǎn)P到左，右兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為2，離心率為. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若y軸上一點(diǎn)M(0，)滿足|MA|＝|MB|，求直線l的斜率k的值． 19. （12分）雙曲線的方程是－y2＝1. (1)直線l的傾斜角為，被雙曲線截得的弦長為，求直線l的方程； (2)過點(diǎn)P(3,1)作直線l′，使其被雙曲線截得的弦恰被P點(diǎn)平分，求直線l′的方程． 20.

9、 （12分）斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線y＝x2的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若線段|AB|的長為8. (1)求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； (2)求直線的斜率k. 21. （12分）設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值． 22.（12分）設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[－1,0)∪(0,1]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,0)時，f(x)＝x3－ax(a為實(shí)數(shù))． (1)當(dāng)x∈(0,1]時

10、，求f(x)的解析式； (2)若a>3，試判斷f(x)在(0,1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論； (3)是否存在a，使得x∈(0,1]時，f(x)有最大值1? 高二數(shù)學(xué)（文科）試題答案 1.C 2.C 3.B 4.C 5.A 6.A 7.A 8.B 9.D 10.B 11.C 12.A 13.(e，e)　 14.18 15. 16.3 17.若命題p為真，因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為x＝m，則m≤2. 若命題q為真，當(dāng)m＝0時原不等式為－8x＋4>0，顯然不成立． 當(dāng)m≠0時，則有?1

11、或 解得m≤1或2＜m＜4. 18.解　(1)由題意知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2， 所以a＝. 又因?yàn)閑＝＝， 所以c＝×＝1， 所以b2＝a2－c2＝2－1＝1， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)已知F2(1,0)，直線斜率顯然存在， 設(shè)直線的方程為y＝k(x－1)， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立直線與橢圓的方程得 化簡得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 所以x1＋x2＝， y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝. 所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)． ①當(dāng)k≠0時，AB的中垂線方程為y－＝－(x－)， 因?yàn)閨MA|＝|MB

12、|， 所以點(diǎn)M在AB的中垂線上， 將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程得， ＋＝， 即2k2－7k＋＝0， 解得k＝或k＝； ②當(dāng)k＝0時，AB的中垂線方程為x＝0，滿足題意． 所以斜率k的取值為0，或． 19.解　(1)設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，代入雙曲線方程，得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0， Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0， ∴m2>3. 設(shè)直線l與雙曲線交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)， 則x1＋x2＝－m，x1x2＝. 由弦長公式|AB|＝|x1－x2|，得 , ∴＝，即m＝±5，滿足m2>3， ∴直線l的方程為y＝x

13、±5. (2)設(shè)直線l′與雙曲線交于A′(x3，y3)、B′(x4，y4)兩點(diǎn)， 點(diǎn)P(3,1)為A′B′的中點(diǎn)，則x3＋x4＝6，y3＋y4＝2. 由＝4，＝4， 兩式相減得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0， ∴＝， ∴l(xiāng)′的方程為y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0. 把此方程代入雙曲線方程，整理得5y2－10y＋＝0， 滿足Δ>0， 即所求直線l′的方程為3x－4y－5＝0. 20.解　(1)化y＝x2為標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝4y， 由此，可知拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y

14、2)， 由拋物線的定義知|AF|＝y(tǒng)1＋1，|BF|＝y(tǒng)2＋1， 于是|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋2， 又|AB|＝8，所以y1＋y2＝6， 由(1)得，拋物線的焦點(diǎn)為(0,1)， 所以直線l的方程為y＝kx＋1， 所以kx1＋1＋kx2＋1＝6，k(x1＋x2)＝4， 由直線l的方程與拋物線方程得kx＋1＝， 即x2－4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，所以x1＋x2＝4k， 代入k(x1＋x2)＝4，得k2＝1，k＝±1. 21.(1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3. 當(dāng)x＝2時，y＝，∴f(2)＝，① 又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，② 由①，②得解之得.

15、 故f(x)＝x－. (2)證明　設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由y′＝1＋知 曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為 y－y0＝(1＋)(x－x0)， 即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)． 令x＝0得y＝－，從而得切線與直線x＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－)． 令y＝x得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)． 所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|－||2x0|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6. 22.(1)f(x)＝－x3＋ax． (

16、2)f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，證明見解析.(3)存在a＝，使f(x)在(0,1]上有最大值1 【解析】(1)設(shè)x∈(0,1]，則－x∈[－1,0)． ∵f(x)為偶函數(shù)， ∴f(x)＝f(－x)＝－x3＋ax， 即x∈(0,1]時，f(x)＝－x3＋ax. (2)f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，證明如下： f′(x)＝－3x2＋a，x∈(0,1]， ∴－3x2∈[－3,0)． 又a>3，∴a－3x2>0，即f′(x)>0. ∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增． (3)當(dāng)a>3時，f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增， ∴f(x)max＝f(1)＝a－1＝1. ∴a＝2與a>3矛盾． 當(dāng)0≤a≤3時，令f′(x)＝a－3x2＝0， 得x＝或x＝－(舍去)． x∈時，f′(x)>0， ∴f(x)在上單調(diào)遞增． x∈時，f′(x)<0， ∴f(x)在上單調(diào)遞減． 又函數(shù)f(x)在x＝處連續(xù)， ∴f(x)max＝f＝－3＋a＝1. 解得a＝， 當(dāng)a<0時，f′(x)＝a－3x2<0， ∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，f(x)在(0,1]上無最大值． 綜上，存在a＝，使f(x)在(0,1]上有最大值1.