2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 計(jì)數(shù)原理和概率 第8課時(shí) n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布練習(xí) 理
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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 計(jì)數(shù)原理和概率 第8課時(shí) n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布練習(xí) 理 1.(2018·福建漳州二模)從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù),在取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的條件下,取到的2個(gè)數(shù)均為奇數(shù)的概率為( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 記“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”為事件A,“取到的2個(gè)數(shù)均為奇數(shù)”為事件B,則P(A)==,P(AB)==.由條件概率的計(jì)算公式得P(B|A)===,故選D. 2.某廠大量生產(chǎn)某種小零件,經(jīng)抽樣檢驗(yàn)知道其次品率是1%,現(xiàn)把這種零件每6件裝成一盒,那么每盒中恰好含一件次品的概率是( )
2、A.()6 B.0.01 C.(1-)5 D.C62()2(1-)4 答案 C 解析 P=C61·1%·(1-)5. 3.箱子里有5個(gè)黑球,4個(gè)白球,每次隨機(jī)取出一個(gè)球,若取出黑球,則放回箱中,重新取球;若取出白球,則停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率為( ) A. B.× C.× D.C41×× 答案 B 解析 由題意知,第四次取球后停止是當(dāng)且僅當(dāng)前三次取的球是黑球,第四次取的球是白球的情況,此事件發(fā)生的概率為×. 4.(2017·滄州七校聯(lián)考)某道路的A,B,C三處設(shè)有交通燈,這三盞燈在一分鐘內(nèi)開(kāi)放綠燈的時(shí)間分別為25秒,35秒,45秒.某輛車(chē)在這
3、條路上行駛時(shí),三處都不停車(chē)的概率是( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 三處都不停車(chē)的概率是P(ABC)=××=. 5.如圖所示,在兩個(gè)圓盤(pán)中,指針落在本圓盤(pán)每個(gè)數(shù)所在區(qū)域的機(jī)會(huì)均等,那么兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 設(shè)A表示“第一個(gè)圓盤(pán)的指針落在奇數(shù)所在的區(qū)域”,則P(A)=,B表示“第二個(gè)圓盤(pán)的指針落在奇數(shù)所在的區(qū)域”,則P(B)=. 則P(AB)=P(A)P(B)=×=. 6.(2017·保定模擬)小王通過(guò)英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試的概率是,他連續(xù)測(cè)試3次,那么其中恰有1次獲得通過(guò)的概率是(
4、 ) A. B. C. D. 答案 A 解析 所求概率P=C31·()1·(1-)3-1=. 7.設(shè)隨機(jī)變量X~B(2,p),Y~B(4,p),若P(X≥1)=,則P(Y≥2)的值為( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=C21p(1-p)+C22p2=,解得p=.(0≤p≤1,故p=舍去). 故P(Y≥2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-C40×()4-C41××()3=. 8.口袋里放有大小相等的兩個(gè)紅球和一個(gè)白球,有放回地每次摸取一個(gè)球,定義數(shù)列{an}:an= 如果Sn為數(shù)列{an}的前n
5、項(xiàng)和,那么S7=3的概率為( ) A.C75· B.C72· C.C75· D.C72· 答案 B 解析 S7=3說(shuō)明摸取2個(gè)紅球,5個(gè)白球,故S7=3的概率為C72·. 9.(2018·山東師大附中模擬)已知某次考試中一份試卷由5個(gè)選擇題和3個(gè)填空題組成,每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中有且僅有1個(gè)選項(xiàng)是正確的.已知每題答案正確得5分,答案錯(cuò)誤得0分,滿分40分.若小強(qiáng)做對(duì)任一個(gè)選擇題的概率為,做對(duì)任一個(gè)填空題的概率為,則他在這次考試中得分為35分的概率為( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 設(shè)小強(qiáng)做對(duì)選擇題的個(gè)數(shù)為ξ,做對(duì)填空題的個(gè)數(shù)為η,則ξ~B
6、(5,),η~B(3,),由于每題答案正確得5分,答案錯(cuò)誤得0分,若小強(qiáng)得分為35分,則他做對(duì)題的個(gè)數(shù)為7,故所求概率為P(ξ=5)P(η=2)+P(ξ=4)P(η=3)=C55()5×C32()2(1-)+C54()4(1-)×C33()3=. 10.(2018·洛陽(yáng)模擬)在某次人才招聘會(huì)上,假定某畢業(yè)生贏得甲公司面試機(jī)會(huì)的概率為,贏得乙、丙兩公司面試機(jī)會(huì)的概率均為,且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的.則該畢業(yè)生只贏得甲、乙兩個(gè)公司面試機(jī)會(huì)的概率為( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 記事件A為“該畢業(yè)生贏得甲公司的面試機(jī)會(huì)”,事件B為“該畢業(yè)生贏得乙公司的面試
7、機(jī)會(huì)”,事件C為“該畢業(yè)生贏得丙公司的面試機(jī)會(huì)”. 由題可得P(A)=,P(B)=P(C)=. 則事件“該畢業(yè)生只贏得甲、乙兩個(gè)公司面試機(jī)會(huì)”為ABC, 由相互獨(dú)立事件同時(shí)成立的概率公式,可得 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××(1-)=,故選B. 11.(2018·長(zhǎng)沙調(diào)研)某次數(shù)學(xué)摸底考試共有10道選擇題,每道題給的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的;張三同學(xué)每道題都隨意地從中選了一個(gè)答案,記該同學(xué)至少答對(duì)9道題的概率為P,則下列數(shù)據(jù)中與P的值最接近的是( ) A.3×10-4 B.3×10-5 C.3×10-6 D.3×10-7 思路 由“隨意”兩字知
8、道這是個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題. 答案 B 解析 由題意知本題是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)是10,選題正確的概率是,該同學(xué)至少答對(duì)9道題包括答對(duì)9道題或答對(duì)10道題,根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式得到該同學(xué)至少答對(duì)9道題的概率為P=C109·()9×+C1010()10≈3×10-5. 12.(2017·上海十二校聯(lián)考)小李同學(xué)在上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口,假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的,遇到紅燈的概率都是,則他在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率為_(kāi)_______.(用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示) 答案 解析 由于在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的,遇到紅燈的概率都是,則第三個(gè)路口首次遇到紅燈的
9、概率為P=(1-)×(1-)×=. 13.(2018·天津一中期末)將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^(guò)程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí),向左、右兩邊下落的概率都是,則小球落入A袋中的概率為_(kāi)_______. 答案 解析 記“小球落入A袋中”為事件A,“小球落入B袋中”為事件B,則事件A的對(duì)立事件為B,若小球落入B袋中,則小球必須一直向左落下或一直向右落下,故P(B)=()3+()3=,從而P(A)=1-P(B)=1-=. 14.某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層??浚?/p>
10、該電梯在底層載有5位乘客,且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為,用ξ表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù),則P(ξ=4)=________. 答案 解析 考查一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗(yàn),這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),故ξ~B(5,). 即有P(ξ=k)=C5k()k×()5-k,k=0,1,2,3,4,5. ∴P(ξ=4)=C54()4×()1=. 15.某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下:在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中,選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問(wèn)題,即停止答題,晉級(jí)下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.8,且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立,則該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概
11、率等于________. 答案 0.128 解析 依題意得,事件“該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪”即意味著“該選手在回答前面4個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中,要么第一個(gè)問(wèn)題答對(duì)且第二個(gè)問(wèn)題答錯(cuò),第三、四個(gè)問(wèn)題都答對(duì)了;要么第一、二個(gè)問(wèn)題都答錯(cuò);第三、四個(gè)問(wèn)題都答對(duì)了”,因此所求事件的概率等于[0.8×(1-0.8)+(1-0.8)2]×0.82=0.128. 16.(2018·山東師大附中測(cè)試)在一次數(shù)學(xué)考試中,第22,23,24題為選做題,規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題,設(shè)5名考生選做這三題的任意一題的可能性均為,每位考生對(duì)每題的選擇是相互獨(dú)立的,各考生的選擇相互之間沒(méi)有影響. (1)求
12、其中甲、乙兩人選做同一題的概率; (2)設(shè)選做第23題的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望. 答案 (1) (2) 解析 (1)設(shè)事件A1表示甲選第22題,A2表示甲選第23題,A3表示甲選第24題, B1表示乙選第22題,B2表示乙選第23題,B3表示乙選第24題, 則甲、乙兩人選做同一題的事件為A1B1+A2B2+A3B3,且A1與B1,A2與B2,A3與B3相互獨(dú)立, 所以P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=3×=. (2)設(shè)ξ可能的取值為0,1,2,3,4,5.∵ξ~B(5,), ∴P(ξ=k)=C5k()
13、k()5-k=C5k,k=0,1,2,3,4,5. ∴ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 5 P ∴E(ξ)=np=5×=. 17.(2018·河南五個(gè)一聯(lián)盟)空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index,簡(jiǎn)稱(chēng)AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí):0~50為優(yōu);51~100為良;101~150為輕度污染;151~200為中度污染;201~300為重度污染;>300為嚴(yán)重污染. 一環(huán)保人士記錄去年某地某月10天的AQI的莖葉圖如下. (1)利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良(AQI≤100)的天數(shù);(按這
14、個(gè)月總共30天計(jì)算) (2)將頻率視為概率,從本月中隨機(jī)抽取3天,記空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為ξ,求ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望. 答案 (1)18 (2) 解析 (1)從莖葉圖中可發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)為2,空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4,故該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的頻率為=,估計(jì)該月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的頻率為,從而估計(jì)該月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為30×=18. (2)由(1)可估計(jì)某天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率為,ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ=0)=()3=, P(ξ=1)=C31××()2=, P(ξ=2)=C32×()2×=, P(ξ=3)=()3=. ∴ξ的分布列為 ξ 0 1
15、2 3 P ∵ξ~B(3,),∴E(ξ)=3×=. 1.每次試驗(yàn)的成功率為p(0
16、=1-P(η=0)-P(η=1)=1-C30×()0×()3-C31×()1×()2=1--=,故選C. 3.如果ξ~B,那么使P(ξ=k)取最大值的k值為( ) A.3 B.4 C.5 D.3或4 答案 D 解析 采取特殊值法. ∵P(ξ=3)=C153,P(ξ=4)=C154,P(ξ=5)=C155, 從而易知P(ξ=3)=P(ξ=4)>P(ξ=5).故選D. 4.如圖所示,用K,A1,A2三類(lèi)不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng).當(dāng)K正常工作且A1,A2至少有一個(gè)正常工作時(shí),系統(tǒng)正常工作,已知K,A1,A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為(
17、 ) A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 答案 B 解析 A1,A2不能同時(shí)工作的概率為0.2×0.2=0.04,所以A1,A2至少有一個(gè)正常工作的概率為1-0.04=0.96,所以系統(tǒng)正常工作的概率為0.9×0.96=0.864. 5.由0,1組成的三位編號(hào)中,若用A表示“第二位數(shù)字為0的事件”,用B表示“第一位數(shù)字為0的事件”,則P(A|B)=( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 因?yàn)榈谝晃粩?shù)字可為0或1,所以第一位數(shù)字為0的概率P(B)=,第一位數(shù)字為0且第二位數(shù)字也是0,即事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)=×
18、=,所以P(A|B)===. 6.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生2次的概率,則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p的取值范圍是( ) A.[0.4,1) B.(0,0.6] C.(0,0.4] D.[0.6,1) 答案 A 解析 C41p(1-p)3≤C42p2(1-p)2,4(1-p)≤6p,p≥0.4,又0
19、==,P(AB)==,P(B|A)==. 8.一個(gè)病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9,則服用這種新藥的4個(gè)病人中至少3人被治愈的概率為_(kāi)_______(用數(shù)字作答). 答案 0.947 7 解析 分情況討論:若共有3人被治愈,則P1=C43(0.9)3×(1-0.9)=0.291 6;若共有4人被治愈,則P2=(0.9)4=0.656 1,故至少有3人被治愈概率P=P1+P2=0.947 7. 9.(2017·武漢調(diào)研)如圖所示,圓通快遞公司送貨員從公司A處準(zhǔn)備開(kāi)車(chē)送貨到某單位B處,有A→C→D→B,A→E→F→B兩條路線.若該地各路段發(fā)生堵車(chē)與否是相互獨(dú)立的,且各路段發(fā)生堵車(chē)事件
20、的概率如圖所示(例如A→C→D算作兩個(gè)路段,路段AC發(fā)生堵車(chē)事件的概率為,路段CD發(fā)生堵車(chē)事件的概率為).若使途中發(fā)生堵車(chē)事件的概率較小,則由A到B應(yīng)選擇的路線是________. 思路 利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式與對(duì)立事件的概率公式、求出路線A→C→D→B途中堵車(chē)與路線A→E→F→B途中堵車(chē)的概率,哪條路線堵車(chē)的概率小,就選擇哪條路線. 答案 A→E→F→B 解析 路線A→C→D→B途中發(fā)生堵車(chē)事件的概率為P1=1-(1-)×(1-)×(1-)=, 路線A→E→F→B途中發(fā)生堵車(chē)事件的概率為P2=1-(1-)×(1-)×(1-)=. 因?yàn)?,所以應(yīng)選擇路線A→E→F→B.
21、 10.在某校老師趣味投藍(lán)比賽中,比賽規(guī)則是:每場(chǎng)投6個(gè)球,至少投進(jìn)4個(gè)球且最后2個(gè)球都投進(jìn)者獲獎(jiǎng);否則不獲獎(jiǎng).已知教師甲投進(jìn)每個(gè)球的概率都是. (1)記教師甲在每場(chǎng)的6次投球中投進(jìn)球的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望; (2)求教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率. 答案 (1)E(X)=4 (2) 解析 (1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6,依條件可知,X~B(6,), P(X=k)=C6k·()k·()6-k(k=0,1,2,3,4,5,6). 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 6 P 故E(X)=(0×1+1
22、×12+2×60+3×160+4×240+5×192+6×64)==4. (或因?yàn)閄~B(6,),所以E(X)=6×=4.) (2)設(shè)教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)為事件A, 則P(A)=C42·()2·()4+C41··()5+()6=, 即教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率為. 11.(2018·福州市高三質(zhì)檢)質(zhì)檢過(guò)后,某校為了解理科班學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理學(xué)習(xí)情況,利用隨機(jī)數(shù)表法從全年級(jí)600名理科生的成績(jī)中抽取100名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.已知學(xué)生考號(hào)的后三位分別為000,001,002,…,599. (1)若從隨機(jī)數(shù)表的第4行第7列的數(shù)開(kāi)始向右讀,請(qǐng)依次寫(xiě)出抽取的前7人的后三位考號(hào);
23、(2)如果第(1)問(wèn)中隨機(jī)抽取到的7名同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理成績(jī)(單位:分)依次對(duì)應(yīng)如下表: 數(shù)學(xué)成績(jī) 90 97 105 123 117 130 135 物理成績(jī) 105 116 120 127 135 130 140 從這7名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué),記這3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望(規(guī)定成績(jī)不低于120分為優(yōu)秀). 附:(下面是摘自隨機(jī)數(shù)表的第3行到第5行) …… 15 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 12
24、 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 …… 答案 (1)310,503,315,571,210,142,188 (2)E(ξ)= 解析 (1)抽出的前7人的后三位考號(hào)分別為:310,503,315,571,210,142,188. (2)ξ的所有可能取值為0,1,2,3.依題意知,ξ服從超幾何分布H(7,3,3), 所以P(ξ=
25、0)==,P(ξ=1)==, P(ξ=2)==,P(ξ=3)==. 故隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 方法一:所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×=. 方法二:所以E(ξ)==. 解題技巧 求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵:一是會(huì)“讀數(shù)”,即會(huì)利用隨機(jī)數(shù)表的讀數(shù)規(guī)則,得到樣本;二是求概率,即會(huì)利用排列、組合知識(shí),以及古典概型的概率公式求基本事件的概率;三是定分布,即判斷離散型隨機(jī)變量是否服從超幾何分布H(N,M,n);四是用公式,即利用超幾何分布的概率、期望、方差的公式P(X=k)=(k=0,1,…,m),E(X)=,D(X)=(1-),求出X取每個(gè)值時(shí)的概率及X的期望、方差.
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