2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 2 數(shù)學(xué)證明學(xué)案 北師大版選修1-2

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1、§2　數(shù)學(xué)證明 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解演繹推理的意義.2.掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系． 知識(shí)點(diǎn)一　演繹推理的含義 思考　分析下面幾個(gè)推理，找出它們的共同點(diǎn)． (1)所有的金屬都能導(dǎo)電，鈾是金屬，所以鈾能夠?qū)щ姡? (2)一切奇數(shù)都不能被2整除，(2100＋1)是奇數(shù)，所以(2100＋1)不能被2整除． 答案　問(wèn)題中的推理都是從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理叫演繹推理． 梳理 定義 從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理 特點(diǎn) 由一般到特殊的推理 知識(shí)點(diǎn)二　三段

2、論 思考　所有的金屬都能導(dǎo)電，銅是金屬，所以銅能導(dǎo)電，這個(gè)推理可以分為幾段？每一段分別是什么？ 答案　分為三段． 大前提：所有的金屬都能導(dǎo)電； 小前提：銅是金屬； 結(jié)論：銅能導(dǎo)電． 梳理 一般模式 常用格式 大前提 已知的一般原理 M是P 小前提 所研究的特殊情況 S是M 結(jié)論 根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷 S是P 類型一　演繹推理與三段論 例1　將下列演繹推理寫成三段論的形式． (1)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對(duì)角線互相平分； (2)等腰三角形的兩底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的兩底角

3、，則∠A＝∠B； (3)通項(xiàng)公式為an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 解　(1)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，大前提 菱形是平行四邊形，小前提 菱形的對(duì)角線互相平分．結(jié)論 (2)等腰三角形的兩底角相等，大前提 ∠A，∠B是等腰三角形的兩底角，小前提 ∠A＝∠B.結(jié)論 (3)在數(shù)列{an}中，如果當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1為常數(shù)，則{an}為等差數(shù)列，大前提 當(dāng)通項(xiàng)公式為an＝2n＋3時(shí)，若n≥2， 則an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常數(shù))，小前提 通項(xiàng)公式為an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列．結(jié)論 反思與感悟　用三段論寫推理過(guò)程時(shí)，關(guān)鍵是明確

4、大、小前提，三段論中的大前提提供了一個(gè)一般性的原理，小前提指出了一種特殊情況，兩個(gè)命題結(jié)合起來(lái)，揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系．有時(shí)可省略小前提，有時(shí)甚至也可把大前提與小前提都省略，在尋找大前提時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)推理：“①矩形是平行四邊形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四邊形”中的小前提是________．(填序號(hào)) (2)函數(shù)y＝2x＋5的圖像是一條直線，用三段論表示為 大前提：________________________________________________________________________； 小前提

5、：________________________________________________________________________； 結(jié)論：________________________________________________________________________. 答案　(1)② (2)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖像是一條直線 函數(shù)y＝2x＋5是一次函數(shù) 函數(shù)y＝2x＋5的圖像是一條直線 類型二　三段論的應(yīng)用 例2　如圖，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點(diǎn)，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證：ED＝AF，寫出三段論形式的演

6、繹推理． 證明　因?yàn)橥唤窍嗟?，兩直線平行，大前提 ∠BFD與∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提 所以FD∥AE.結(jié)論 因?yàn)閮山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，大前提 DE∥BA，且FD∥AE，小前提 所以四邊形AFDE為平行四邊形．結(jié)論 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等，大前提 ED和AF為平行四邊形AFDE的對(duì)邊，小前提 所以ED＝AF.結(jié)論 反思與感悟　(1)用“三段論”證明命題的格式 (2)用“三段論”證明命題的步驟 ①理清證明命題的一般思路； ②找出每一個(gè)結(jié)論得出的原因； ③把每個(gè)結(jié)論的推出過(guò)程用“三段論”表示出來(lái)． 跟蹤訓(xùn)練2　已知：在空間四邊形

7、ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，如圖所示，求證：EF∥平面BCD. 證明　因?yàn)槿切蔚闹形痪€平行于底邊，大前提 點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，小前提 所以EF∥BD.結(jié)論 若平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線，則直線與此平面平行，大前提 EF平面BCD，BD平面BCD，EF∥BD，小前提 所以EF∥平面BCD.結(jié)論 例3　設(shè)函數(shù)f(x)＝，其中a為實(shí)數(shù)，若f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　若函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有意義，則函數(shù)定義域?yàn)镽，大前提 因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，小前提 所以x2＋ax＋a≠0恒成立．結(jié)論 所以Δ＝a2－4a<0，

8、 所以00， ∴在(－∞，0)和(2－a，＋∞)上，f′(x)>0， ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0)，(2－a，＋∞)． 當(dāng)a＝2時(shí)，f′(x)≥0恒成立， ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)． 當(dāng)20， ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，2－a)，(0，＋∞)． 綜上所述

9、，當(dāng)01)，證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上是增加的． 證明　方法一　(定義法) 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x10，且a>1，所以 而－10，x2＋1>0， 所以f(x2)－f(x1)>0， 所以f(x)在(－1，＋∞)上是增加

10、的． 方法二　(導(dǎo)數(shù)法) f(x)＝ax＋＝ax＋1－. 所以f′(x)＝axlna＋. 因?yàn)閤>－1，所以(x＋1)2>0，所以>0. 又因?yàn)閍>1，所以lna>0，ax>0， 所以axlna>0，所以f′(x)>0. 故f(x)＝ax＋在(－1，＋∞)上是增加的. 1．下面幾種推理過(guò)程是演繹推理的是(　　) A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180° B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人數(shù)超過(guò)50人 C．由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四邊形的性質(zhì) D．在數(shù)列{an}中，a1＝1

11、，an＝(n≥2)，由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式 答案　A 解析　A是演繹推理，B，D是歸納推理，C是類比推理． 2．“因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y＝logax是增函數(shù)(大前提)，又是對(duì)數(shù)函數(shù)(小前提)，所以是增函數(shù)(結(jié)論)．”下列說(shuō)法正確的是(　　) A．大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 D．大前提和小前提都錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 答案　A 解析　y＝logax是增函數(shù)錯(cuò)誤，故大前提錯(cuò)誤． 3．三段論：“①只有船準(zhǔn)時(shí)起航，才能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港，②這艘船是準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港的，③這艘船是準(zhǔn)時(shí)起航的”，其中的“小前提”是(　　) A．①B．②C．①②D

12、．③ 答案　D 4．把“函數(shù)y＝x2＋x＋1的圖像是一條拋物線”恢復(fù)成三段論，則大前提：____________； 小前提：____________； 結(jié)論：____________. 答案　二次函數(shù)的圖像是一條拋物線　函數(shù)y＝x2＋x＋1是二次函數(shù)　函數(shù)y＝x2＋x＋1的圖像是一條拋物線 5．設(shè)m為實(shí)數(shù)，利用三段論證明方程x2－2mx＋m－1＝0有兩個(gè)相異實(shí)根． 證明　因?yàn)槿绻辉畏匠蘟x2＋bx＋c＝0(a≠0)的判別式Δ＝b2－4ac>0， 那么方程有兩個(gè)相異實(shí)根，大前提 方程x2－2mx＋m－1＝0的判別式 Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4 ＝

13、(2m－1)2＋3>0，小前提 所以方程x2－2mx＋m－1＝0有兩個(gè)相異實(shí)根．結(jié)論 1．應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡(jiǎn)潔，如果前提是顯然的，則可以省略． 2．合情推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理． 3．合情推理與演繹推理是相輔相成的，數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)主要靠合情推理；數(shù)學(xué)結(jié)論、猜想的正確性必須通過(guò)演繹推理來(lái)證明. 一、選擇題 1．《論語(yǔ)·學(xué)路》篇中說(shuō)：“名不正，則言不順；言不順，則事不成；事不成，則禮樂不興；禮樂不興，則刑罰不中；刑罰不中，則民無(wú)所措手足；所以，名不正

14、，則民無(wú)所措手足．”上述推理用的是(　　) A．類比推理 B．歸納推理 C．演繹推理 D．一次三段論 答案　C 2．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)．以上推理(　　) A．結(jié)論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．全不正確 答案　C 解析　由于函數(shù)f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)．故小前提不正確． 3．命題“有些有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是(　　) A．使用了歸納推理 B．使用了類比推理 C．使用了“三段論”，但推理形式錯(cuò)誤 D．

15、使用了“三段論”，但小前提錯(cuò)誤 答案　C 解析　由“三段論”的推理方式可知，該推理的錯(cuò)誤原因是推理形式錯(cuò)誤． 4．函數(shù)y＝xcosx－sinx在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增加的(　　) A. B．(π，2π) C. D．(2π，3π) 答案　B 解析　y′＝－xsinx．當(dāng)x∈(π，2π)時(shí)，y′>0， ∴y＝xcosx－sinx在(π，2π)上是增加的． 5．下面幾種推理中是演繹推理的是(　　) A．因?yàn)閥＝2x是指數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y＝2x經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,1) B．猜想數(shù)列，，，……的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N＋) C．由圓x2＋y2＝r2的面積為πr2，猜想出橢圓＋＝1的面積為π

16、ab D．由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推測(cè)空間直角坐標(biāo)系中，球的方程為(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2 答案　A 6．在R上定義運(yùn)算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則(　　) A．－10對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立， 則Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0， ∴4a2－4a－3<0

17、，解得－

18、_________________________． 答案　一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形 解析　大前提：一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三邊長(zhǎng)依次為3,4,5，滿足32＋42＝52；結(jié)論：△ABC是直角三角形． 10．“由(a2＋a＋1)x>3，得x>”的推理過(guò)程中，其大前提是____________________． 答案　不等式兩邊同乘一個(gè)大于0的數(shù)，不等號(hào)方向不變 11．若不等式ax2＋2ax＋2<0的解集為?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________． 答案　[0,2] 解析　∵不等式ax2＋2ax＋2<

19、0無(wú)解， 則不等式ax2＋2ax＋2≥0的解集為R. ∴當(dāng)a＝0時(shí)，2≥0，顯然成立； 當(dāng)a≠0時(shí)， 解得0

20、 證明　∵f(x)＝， ∴f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝. 同理可得f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝. 猜想f(x)＋f(1－x)＝. 設(shè)x1＋x2＝1， 則f(x1)＋f(x2)＝ 14.如圖A，B，C，D為空間四點(diǎn)，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等邊三角形ADB以AB為軸旋轉(zhuǎn)． (1)當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，求CD； (2)當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是否總有AB⊥CD？證明你的結(jié)論． 解　(1)如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，DE. 因?yàn)锳C＝BC＝，AB＝2， 所以△ABC為等腰直角三角形， 所以CE⊥AB. 因?yàn)椤鰽DB是等邊三角形，

21、 所以DE⊥AB. 又平面ADB⊥平面ABC， 且平面ADB∩平面ABC＝AB，DE平面ADB， 所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥CE. 由已知，得DE＝AB＝，CE＝1. 所以在Rt△CDE中，CD＝＝2. (2)當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，總有AB⊥CD. 證明如下： 當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時(shí)，因?yàn)锽C＝AC，AD＝BD， 所以C，D都在AB的垂直平分線上， 所以AB⊥CD. 當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時(shí)，由(1)知，AB⊥DE，AB⊥CE， 又DE∩CE＝E， 所以AB⊥平面CDE.又CD平面CDE， 所以AB⊥CD. 綜上所述，當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，總有AB⊥CD. 四、探究與拓展 15．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上為增函數(shù)．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，則f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能等于0 D．可正也可負(fù) 答案　A 解析　不妨設(shè)x1－2<0，x2－2>0， 則x1<2，x2>2，∴2－f(4－x1)， 從而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)<0. 11