2022年高考數學二輪復習 專題八 選考4系列 專題能力訓練20 坐標系與參數方程 文

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1、2022年高考數學二輪復習 專題八 選考4系列 專題能力訓練20 坐標系與參數方程 文 1.在平面直角坐標系xOy中,圓C的參數方程為(t為參數).在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸非負半軸為極軸)中,直線l的方程為ρsin=m(m∈R). (1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程; (2)設圓心C到直線l的距離等于2,求m的值. 2.已知動點P,Q都在曲線C:(t為參數)上,對應參數分別為t=α與t=2α(0<α<2π),M為PQ的中點. (1)求點M的軌跡的參數方程; (2)將點M到坐標原點的距離d表

2、示為α的函數,并判斷點M的軌跡是否過坐標原點. 3.在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數方程為(t為參數),曲線C的參數方程為(s為參數).設P為曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值. 4.(2018全國Ⅰ,文22)在直角坐標系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐標方程; (2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程. 5.在極坐標系中,曲線

3、C的極坐標方程為ρsin2θ-cos θ=0,點M.以極點O為原點,以極軸為x軸正半軸建立直角坐標系.斜率為-1的直線l過點M,且與曲線C交于A,B兩點. (1)求出曲線C的直角坐標方程和直線l的參數方程; (2)求點M到A,B兩點的距離之積. 二、思維提升訓練 6.在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為 (t為參數),以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,☉C的極坐標方程為ρ=2sin θ. (1)寫出☉C的直角坐標方程; (2)P為直線l上一動點,當P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標. 7.已知直線l的參數

4、方程為(t為參數),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是ρ=. (1)寫出直線l的極坐標方程與曲線C的直角坐標方程; (2)若點P是曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值,并求出點P的坐標. 8.在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(α為參數),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρsin=4. (1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程; (2)設P為曲線C1上的動點,求點P到C2上點的距離的最小值,并求此時點P的坐標. 專題能力訓練20　坐標系與參數方程(

5、選修4—4) 一、能力突破訓練 1.解 (1)消去參數t,得到圓C的普通方程為(x-1)2+(y+2)2=9.由ρsin=m, 得ρsin θ-ρcos θ-m=0. 所以直線l的直角坐標方程為x-y+m=0. (2)依題意,圓心C到直線l的距離等于2, 即=2,解得m=-3±2. 2.解 (1)依題意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). 點M的軌跡的參數方程為(α為參數,0<α<2π). (2)點M到坐標原點的距離 d=(0<α<2π). 當α=π時,d=0,故點M的

6、軌跡過坐標原點. 3.解 直線l的普通方程為x-2y+8=0. 因為點P在曲線C上,設P(2s2,2s), 從而點P到直線l的距離d=. 當s=時,dmin=. 因此當點P的坐標為(4,4)時,曲線C上點P到直線l的距離取到最小值. 4.解 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓. 由題設知,C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2,由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2

7、與C2有兩個公共點,或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點. 當l1與C2只有一個公共點時,A到l1所在直線的距離為2,所以=2,故k=-或k=0.經檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;當k=-時,l1與C2只有一個公共點,l2與C2有兩個公共點. 當l2與C2只有一個公共點時,A到l2所在直線的距離為2,所以=2,故k=0或k=,經檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;當k=時,l2與C2沒有公共點. 綜上,所求C1的方程為y=-|x|+2. 5.解 (1)x=ρcos θ,y=ρsin θ, 由ρsin2θ-cos θ=0,得ρ2sin2θ=ρcos θ. 所

8、以y2=x即為曲線C的直角坐標方程. 點M的直角坐標為(0,1), 直線l的傾斜角為, 故直線l的參數方程為 (t為參數),即(t為參數). (2)把直線l的參數方程(t為參數)代入曲線C的方程得=-t, 即t2+3t+2=0,Δ=(3)2-4×2=10>0. 設A,B對應的參數分別為t1,t2, 則 又直線l經過點M,故由t的幾何意義得 點M到A,B兩點的距離之積 |MA|·|MB|=|t1||t2|=|t1·t2|=2. 二、思維提升訓練 6.解 (1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ, 從而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3. (2)設P

9、,又C(0,), 則|PC|=, 故當t=0時,|PC|取得最小值, 此時,點P的直角坐標為(3,0). 7.解 (1)由得x-y=1, 故直線l的極坐標方程為ρcos θ-ρsin θ=1, 即=1, 即ρcos=1. ∵ρ=, ∴ρ=, ∴ρcos2θ=sin θ, ∴(ρcos θ)2=ρsin θ, 即曲線C的直角坐標方程為y=x2. (2)設P(x0,y0),y0=,則P到直線l的距離d=. ∴當x0=時,dmin=,此時P. ∴當點P的坐標為時,P到直線l的距離最小,最小值為. 8.解 (1)由曲線C1:(α為參數),得 (α為參數), 兩式兩邊平方相加,得+y2=1, 即曲線C1的普通方程為+y2=1. 由曲線C2:ρsin=4,得 ρ(sin θ+cos θ)=4, 即ρsin θ+ρcos θ=8,所以x+y-8=0, 即曲線C2的直角坐標方程為x+y-8=0. (2)由(1)知,橢圓C1與直線C2無公共點,橢圓上的點P(cos α,sin α)到直線x+y-8=0的距離d=, 所以當sin=1時,d的最小值為3,此時點P的坐標為.