2021高考數(shù)學一輪復習 第9章 平面解析幾何 經(jīng)典微課堂 突破疑難系列2 圓錐曲線教學案 理 北師大版

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1、突破疑難系列2 圓錐曲線 解析幾何研究的問題是幾何問題，研究的方法是代數(shù)法(坐標法)．因此，求解解析幾何問題最大的思維難點是轉(zhuǎn)化，即幾何條件代數(shù)化．如何在解析幾何問題中實現(xiàn)代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，找到常見問題的求解途徑，是突破解析幾何問題難點的關(guān)鍵所在．為此，從以下幾個途徑，結(jié)合數(shù)學思想在解析幾何中的切入為視角，突破思維難點． 途徑一　“圖形”引路，“斜率”搭橋 高考示例 方法與思維 1.(2015·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C：y＝與直線l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N兩點． (1)當k＝0時，分別求C在點M和N處的切線方程； (2)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有

2、∠OPM＝∠OPN？(說明理由) [解]　(1)x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.(步驟省略) (2)存在符合題意的點．證明如下： 設(shè)P(0，b)為符合題意的點，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 直線PM，PN的斜率分別為k1，k2. 將y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0. 故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a. 從而k1＋k2＝＋＝＝.【關(guān)鍵點1：建立斜率之間的關(guān)系】 當b＝－a時，有k1＋k2＝0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，【關(guān)鍵點2：把斜率間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為傾斜角之間的關(guān)系】 故∠OPM＝∠OPN，所以點P(0，－a)符合題意． 【點

3、評】　破解此類解析幾何題的關(guān)鍵：一是“圖形”引路，一般需畫出大致圖形，把已知條件翻譯到圖形中，利用直線方程的點斜式或兩點式，即可快速表示出直線方程；二是“轉(zhuǎn)化”橋梁，即先把要證的兩角相等，根據(jù)圖形的特征，轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系，再把直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及斜率公式即可證得結(jié)論. 2.(2019·全國卷Ⅱ)已知點A(－2,0)，B(2,0)，動點M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為－.記M的軌跡為曲線C. (1)求C的方程，并說明C是什么曲線； (2)過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G，證明：(ⅰ)△P

4、QG是直角三角形； [解]　(1)由題設(shè)得·＝－，化簡得＋＝1(|x|≠2)，【關(guān)鍵點1：指明斜率公式中變量隱含的范圍】 所以C為中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓，不含左右頂點． (2)設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為y＝kx(k>0)． 由得x＝±.記u＝，則P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)． 于是直線QG的斜率為，方程為y＝(x－u)． 由 得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.① 設(shè)G(xG，yG)，則－u和xG是方程①的解，故xG＝，由此得yG＝. 從而直線PG的斜率為＝－.【關(guān)鍵點2：利用斜率之積為－1說明線段PQ與PG的幾何關(guān)系】 所

5、以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形． 【點評】　(1)求曲線的軌跡時務(wù)必檢驗幾何圖形的完備性，謹防增漏點；(2)幾何關(guān)系的證明問題常轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的運算問題，此時常借助斜率公式、平面向量等實現(xiàn)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化. 途徑二　“換元”轉(zhuǎn)化，方便運算 高考示例 方法與思維 (2019·全國卷Ⅱ)已知點A(－2,0)，B(2,0)，動點M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為－.記M的軌跡為曲線C. (1)求C的方程，并說明C是什么曲線； (2)過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G， (ⅰ)△PQG是直角三角形； (ⅱ)求△

6、PQG面積的最大值． …… (ⅱ)由(ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝， 所以△PQG的面積S＝|PQ‖PG|＝＝.【關(guān)鍵點1：分子分母同除以k2】 設(shè)t＝k＋，則由k>0得t≥2，當且僅當k＝1時取等號．【關(guān)鍵點2：整體代換，指明范圍】 因為S＝在[2，＋∞)單調(diào)遞減，所以當t＝2，即k＝1時，S取得最大值，最大值為.【關(guān)鍵點3：用活“對勾”函數(shù)及復合函數(shù)的單調(diào)性】 因此，△PQG面積的最大值為. 【點評】　基本不等式求最值的5種典型情況分析 (1)s＝(先換元，注意“元”的范圍，再利用基本不等式)． (2)s＝≥(基本不等式)． (3)s＝(基本不等式)． (4)

7、s＝＝(先分離參數(shù)，再利用基本不等式)． (5)s＝＝(上下同時除以k2，令t＝k＋換元，再利用基本不等式). 途徑三　性質(zhì)主導，向量解題 高考示例 方法與思維 (2019·全國卷Ⅰ)已知點A，B關(guān)于坐標原點O對稱，|AB| ＝4，⊙M過點A，B且與直線x＋2＝0相切． (1)若A在直線x＋y＝0上，求⊙M的半徑； (2)是否存在定點P，使得當A運動時，│MA│－│MP│為定值？并說明理由. [解]　(1)因為⊙M過點A，B，所以圓心M在AB的垂直平分線上．【關(guān)鍵點1：圓的幾何性質(zhì)】 由已知A在直線x＋y＝0上，且A，B關(guān)于坐標原點O對稱，【關(guān)鍵點2：圓的幾何性質(zhì)】 所

8、以M在直線y＝x上，故可設(shè)M(a，a)． 因為⊙M與直線x＋2＝0相切， 所以⊙M的半徑為r＝|a＋2|.【關(guān)鍵點3：直線與圓相切的幾何性質(zhì)】 由已知得|AO|＝2，又⊥，【關(guān)鍵點4：圓的幾何性質(zhì)向量化】 故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4. 故⊙M的半徑r＝2或r＝6. (2)存在定點P(1,0)，使得|MA|－|MP|為定值． 理由如下： 設(shè)M(x，y)，由已知得⊙M的半徑為r＝|x＋2|，|AO|＝2. 由于⊥，【關(guān)鍵點5：圓的幾何性質(zhì)向量化】 故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化簡得M的軌跡方程為y2＝4x. 因為曲線C：y2＝4x是以點P(1,

9、0)為焦點，以直線x＝－1為準線的拋物線，所以|MP|＝x＋1. 因為|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在滿足條件的定點P. 【點評】　從本題可以看出，圓的幾何性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化涵蓋在整個解題過程中，向量在整個其解過程中起了“穿針引線”的作用，用活圓的幾何性質(zhì)可以達到事半功倍的效果. 途徑四　設(shè)而不求，化繁為簡 高考示例 方法與思維 (2018·全國卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C：＋＝1交于A，B兩點，線段AB的中點為M(1，m)(m>0)． (1)證明：k<－； (2)設(shè)F為C的右焦點，P為C上一點，且＋＋＝0.證明：||，||，||成等差

10、數(shù)列，并求該數(shù)列的公差． [解]　(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＋＝1，＋＝1. 兩式相減，并由＝k得＋·k＝0.【關(guān)鍵點1: “點差法”使直線的斜率與弦的中點緊緊地聯(lián)系在一起，運算上大大簡化】 由題設(shè)知＝1，＝m，于是k＝－.① 由于點M(1，m)(m>0)在橢圓＋＝1內(nèi)， ∴＋<1，解得0

11、量的建立變量間的關(guān)系，達到設(shè)而不求的目的】 又點P在C上，所以m＝， 從而P，||＝. 于是||＝＝＝2－. 同理||＝2－. 所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3. 故2||＝||＋||，即||，||，||成等差數(shù)列． 設(shè)該數(shù)列的公差為d，則 2|d|＝|||－|||＝|x1－x2|＝.② 將m＝代入①得k＝－1. 所以l的方程為y＝－x＋，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0. 故x1＋x2＝2，x1x2＝， 代入②解得|d|＝.【關(guān)鍵點3：借用根與系數(shù)的關(guān)系，達到設(shè)而不求的目的】 所以該數(shù)列的公差為或－. 【點評】　本題(1)涉及弦的中點坐標，可以采用“點差法”求解，設(shè)出點A、B的坐標，代入橢圓方程并作差，再將弦AB的中點坐標代入所得的差，可得直線AB的斜率；對于(2)圓錐曲線中的證明問題，常采用直接法證明，證明時常借助等價轉(zhuǎn)化思想，化幾何關(guān)系為數(shù)量關(guān)系，然后借助方程思想給予解答. 6