《2022年高三數(shù)學上學期10月月考試題 文(II)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022年高三數(shù)學上學期10月月考試題 文(II)（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高三數(shù)學上學期10月月考試題 文(II)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合M={x|x2+x﹣2＜0}，，則M∩N=（ ?。?
A． （﹣1，1） B． （﹣2，1） C． （﹣2，﹣1） D． （1，2）
2．已知i是虛數(shù)單位，設復數(shù)z1=1﹣3i，z2=3﹣2i，則在復平面內(nèi)對應的點在（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
3．已知向量，的夾角為45°，且||=1，|2﹣|=，則||=（ ?。?
A． B． 2 C．
2、3 D． 4
4．已知sinθ+cosθ=（0＜θ＜），則sinθ﹣cosθ的值為（ ?。?
A． B． C． D．
5．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2等于（ ?。?
A． ﹣10 B． ﹣8 C． ﹣6 D． ﹣4
6．下列命題錯誤的是（ ）
A． 命題“若x2＜1，則﹣1＜x＜1”的逆否命題是若x≥1或x≤﹣1，則x2≥1
B． “am2＜bm2”是”a＜b”的充分不必要條件
C． 命題p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，則￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0
D． 命題“p或
3、q”為真命題，則命題“p”和命題“q”均為真命題
7．已知三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，其正視圖與俯視圖如圖所示，則其側視圖的面積為（ ）
A． B． C． D．
8．為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A，B（如圖），要測算A，B兩點的距離，測量人員在岸邊定出基線BC，測得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以計算出A，B兩點的距離為（ ）
A． 50m B． 50m C． 25m D． m
9．已知函數(shù)y=﹣xf′（x）的圖象如圖（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)），下面四個圖象中，y=f（
4、x）的圖象可能是（ ?。?
A． B． C． D．
10．已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，給出下列四個命題：
①若α∥β，則l⊥m；
②若l⊥m，則α∥β；
③若α⊥β，則l∥m；
④若l∥m，則α⊥β
其中正確命題的個數(shù)是（ ?。?
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
11．已知函數(shù)f（x）=滿足對任意的實數(shù)x1≠x2都有＜0成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ?。?
A． （﹣∞，2） B． （﹣∞，] C． （﹣∞，2] D． ，則方程2﹣|x|=cos2πx所有實數(shù)根的個數(shù)為（ ?。?
A． 2 B． 3 C． 4 D．
5、 5
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．設變量x，y滿足約束條件：，則目標函數(shù)z=的最小值為 ．
14．已知x＞0，y＞0，若+＞m2+2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 ?。?
15．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=60°，則此球的表面積等于 ?。?
16．下面四個命題：
①已知函數(shù)且f（a）+f（4）=4，那么a=﹣4；
②要得到函數(shù)的圖象，只要將y=sin2x的圖象向左平移單位；
③若定義在（﹣∞，+∞）上的函數(shù)f（x）滿
6、足f（x+1）=﹣f（x），則f（x）是周期函數(shù)；
④已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，且f（﹣1）=0，則不等式f（x）＜0解集{x|x＜﹣1}．
其中正確的是 ?。?
三、解答題：本大題共5小題，共計70分．解答應寫出文字說明．證明過程或演算步驟
17．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且（c是常數(shù)，n∈N*），a2=6．
（Ⅰ）求c的值及數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）證明：．
18．在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2．
（1）若F為PC的中
7、點，求證：PC⊥平面AEF；
（2）求四棱錐P﹣ABCD的體積V．
19．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若，求cosα的值．
20．如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC．
（1）求證：平面AB1C1⊥平面AC1；
（2）若AB1⊥A1C，求線段AC與AA1長度之比；
（3）若D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？若存在，試確定點E的位置；若不存在，請說明理由．
21．設函數(shù)f（x）=ax﹣lnx，g（
8、x）=ex﹣ax，其中a為正實數(shù)．
（l）若x=0是函數(shù)g（x）的極值點，討論函數(shù)f（x）的單調性；
（2）若f（x）在（1，+∞）上無最小值，且g（x）在（1，+∞）上是單調增函數(shù)，求a的取值范圍；并由此判斷曲線g（x）與曲線y=ax2﹣ax在（1，+∞）交點個數(shù)．
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合M={x|x2+x﹣2＜0}，，則M∩N=（ ?。?
A． （﹣1，1） B． （﹣2，1） C． （﹣2，﹣1） D． （1，2）
考點： 交集及其運
9、算．
專題： 集合．
分析： 首先化簡集合M和N，然后根據(jù)交集的定義求出M∩N即可．
解答： 解：∵x2+x﹣2＜0即（x+2）（x﹣1）＜0解得：2＜x＜1
∴M={x|﹣2＜x＜1}
∵解得：x＜﹣1
∴N={x|x＜﹣1}
∴M∩N=（﹣2，﹣1）
故選：C．
點評： 本題主要考查集合的基本運算，比較基礎．
2．已知i是虛數(shù)單位，設復數(shù)z1=1﹣3i，z2=3﹣2i，則在復平面內(nèi)對應的點在（ ?。?
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考點： 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．
專題： 數(shù)系的擴充和復數(shù)．
分析： 直接把復數(shù)z1，
10、z2代入，然后利用復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡求值，求出在復平面內(nèi)對應的點的坐標，則答案可求．
解答： 解：∵z1=1﹣3i，z2=3﹣2i，
∴=，
則在復平面內(nèi)對應的點的坐標為：（，），位于第四象限．
故選：D．
點評： 本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎題．
3．已知向量，的夾角為45°，且||=1，|2﹣|=，則||=（ ?。?
A． B． 2 C． 3 D． 4
考點： 平面向量數(shù)量積的運算；向量的模．
專題： 平面向量及應用．
分析： 將|2﹣|=平方，然后將夾角與||=1代入，得到||的方程，解方程可得．
11、
解答： 解：因為向量，的夾角為45°，且||=1，|2﹣|=，
所以42﹣4?+2=10，即||2﹣2||﹣6=0，
解得||=3或||=﹣（舍）．
故選：C．
點評： 本題解題的關鍵是將模轉化為數(shù)量積，從而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想．
4．已知sinθ+cosθ=（0＜θ＜），則sinθ﹣cosθ的值為（ ?。?
A． B． C． D．
考點： 同角三角函數(shù)間的基本關系．
專題： 計算題．
分析： 將已知等式左右兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間的基本關系化簡，求出2sinθcosθ的值，再將所求式子平方，利用完全平方公式展開，并利用同角三角函
12、數(shù)間的基本關系化簡，把2sinθcosθ的值代入，開方即可求出值．
解答： 解：將已知的等式左右兩邊平方得：（sinθ+cosθ）2=，
∴sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=，
∴（sinθ﹣cosθ）2=sin2θ﹣2sinθcosθ+cos2θ=1﹣2sinθcosθ=，
∵0＜θ＜，∴sinθ＜cosθ，即sinθ﹣cosθ＜0，
則sinθ﹣cosθ=﹣．
故選B
點評： 此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關系，以及完全平方公式的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．
5．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1
13、，a3，a4成等比數(shù)列，則a2等于（ ?。?
A． ﹣10 B． ﹣8 C． ﹣6 D． ﹣4
考點： 等比數(shù)列的性質．
專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列．
分析： 由題意可得，a3=a1+4，a4=a1+6，根據(jù) （a1+4）2=a1 （a1+6），求得a1的值．從而得解．
解答： 解：由題意可得，a3=a1+4，a4=a1+6．∵a1，a3，a4成等比數(shù)列，
∴（a1+4）2=a1 （a1+6），
∴a1=﹣8，
∴a2等于﹣6，
故選：C
點評： 本題考查等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的定義，求出a1的值是解題的難點．
6．下列命題錯誤的是（ ?。?
A．
14、命題“若x2＜1，則﹣1＜x＜1”的逆否命題是若x≥1或x≤﹣1，則x2≥1
B． “am2＜bm2”是”a＜b”的充分不必要條件
C． 命題p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，則￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0
D． 命題“p或q”為真命題，則命題“p”和命題“q”均為真命題
考點： 命題的真假判斷與應用．
專題： 簡易邏輯．
分析： 對于A，寫出逆否命題，比照后可判斷真假；
對于B，利用必要不充分條件的定義判斷即可；
對于C，寫出原命題的否定形式，判斷即可．
對于D，根據(jù)復合命題真值表判斷即可；
解答： 解：命題“若x2＜1，則﹣1＜x＜1
15、”的逆否命題是若x≥1或x≤﹣1，則x2≥1，故A正確；
“am2＜bm2”?”a＜b”為真，但”a＜b”?“am2＜bm2”為假（當m=0時不成立），故“am2＜bm2”是”a＜b”的充分不必要條件，故B正確；
命題p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，則￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，故C正確；
命題“p或q”為真命題，則命題“p”和命題“q”中至少有一個是真命題，故D錯誤，
故選：D
點評： 本題借助考查命題的真假判斷，考查充分條件、必要條件的判定及復合命題的真假判定．
7．已知三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，其正視圖與俯視圖如圖所示，則其側視圖的面積為
16、（ ?。?
A． B． C． D．
考點： 簡單空間圖形的三視圖；由三視圖求面積、體積．
專題： 計算題．
分析： 由題意可得側視圖為三角形，且邊長為邊長為1的正三角形的高線，高等于正視圖的高，分別求解代入三角形的面積公式可得答案．
解答： 解：∵邊長為1的正三角形的高為=，
∴側視圖的底邊長為，
又側視圖的高等于正視圖的高，
故所求的面積為：S==
故選A
點評： 本題考查簡單空間圖形的三視圖，涉及三角形面積的求解，屬基礎題．
8．為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A，B（如圖），要測算A，B兩點的距離，測量人員在岸邊定出基線B
17、C，測得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以計算出A，B兩點的距離為（ ?。?
A． 50m B． 50m C． 25m D． m
考點： 正弦定理的應用．
專題： 計算題．
分析： 由題意及圖知，可先求出∠BAC，再由正弦定理得到AB=代入數(shù)據(jù)即可計算出A，B兩點的距離
解答： 解：由題意及圖知，∠BAC=30°，又BC=50m，∠BCA=45°
由正弦定理得AB==50m
故選A
點評： 本題考查利用正弦定理求長度，是正弦定理應用的基本題型，計算題．
9．已知函數(shù)y=﹣xf′（x）的圖象如圖（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)），下
18、面四個圖象中，y=f（x）的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
考點： 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．
專題： 導數(shù)的概念及應用．
分析： 根據(jù)函數(shù)y=﹣xf′（x）的圖象，依次判斷f（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的單調性即可．
解答： 解：由函數(shù)y=﹣xf′（x）的圖象可知：
當x＜﹣1時，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此時f（x）增；
當﹣1＜x＜0時，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此時f（x）減；
當0＜x＜1時，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此時f（x）減；
當x＞1時，﹣xf′（x）＜0
19、，f′（x）＞0，此時f（x）增．
綜上所述，y=f（x）的圖象可能是B，
故選：B．
點評： 本題主要考查了函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，同時考查了分類討論的思想，屬于基礎題．
10．已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，給出下列四個命題：
①若α∥β，則l⊥m；
②若l⊥m，則α∥β；
③若α⊥β，則l∥m；
④若l∥m，則α⊥β
其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
考點： 等差數(shù)列的性質．
專題： 綜合題．
分析： 利用直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關系逐一判斷，成立的證明，不成立的可舉出反例．
解
20、答： 解；①∵l⊥α，α∥β，∴l(xiāng)⊥β，又∵m?β，∴l(xiāng)⊥m，①正確．
②由l⊥m推不出l⊥β，②錯誤．
③當l⊥α，α⊥β時，l可能平行β，也可能在β內(nèi)，∴l(xiāng)與m的位置關系不能判斷，③錯誤．
④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m?β，∴α⊥β
故選C
點評： 本題主要考查顯現(xiàn)，線面，面面位置關系的判斷，屬于概念題．
11．已知函數(shù)f（x）=滿足對任意的實數(shù)x1≠x2都有＜0成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ?。?
A． （﹣∞，2） B． （﹣∞，] C． （﹣∞，2] D． ，
故選：B．
點評： 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，函數(shù)的單調性，是函數(shù)圖象和性質的綜合
21、應用，難度中檔．
12．己知x∈，則方程2﹣|x|=cos2πx所有實數(shù)根的個數(shù)為（ ?。?
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考點： 根的存在性及根的個數(shù)判斷．
專題： 數(shù)形結合；函數(shù)的性質及應用．
分析： 在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)f（x）=2﹣|x|，g（x）=cos2πx的圖象，根據(jù)圖象交點的個數(shù)，可得方程解的個數(shù)．
解答： 解：在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)f（x）=2﹣|x|，g（x）=cos2πx的圖象
根據(jù)函數(shù)圖象可知，圖象交點的個數(shù)為5個
∴方程2﹣|x|=cos2πx所有實數(shù)根的個數(shù)為5個
故選D．
點評： 本題考查方程解的個數(shù)，考查函數(shù)圖象的
22、作法，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．設變量x，y滿足約束條件：，則目標函數(shù)z=的最小值為 1 ．
考點： 簡單線性規(guī)劃．
專題： 不等式的解法及應用．
分析： 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義即可得到結論．
解答： 解：z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)點到點G（0，﹣1）的斜率，
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
由圖象可知，AG的斜率最小，
由解得，即A（2，1），
則AG的斜率k=，
故答案為：1
點評： 本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及直線斜率的計算，利用數(shù)形結合是
23、解決本題的關鍵．
14．已知x＞0，y＞0，若+＞m2+2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 ﹣4＜m＜2?。?
考點： 函數(shù)恒成立問題；基本不等式．
專題： 計算題．
分析： 根據(jù)題意，由基本不等式的性質，可得+≥2=8，即+的最小值為8，結合題意，可得m2+2m＜8恒成立，解可得答案．
解答： 解：根據(jù)題意，x＞0，y＞0，則＞0，＞0，
則+≥2=8，即+的最小值為8，
若+＞m2+2m恒成立，必有m2+2m＜8恒成立，
m2+2m＜8?m2+2m﹣8＜0，
解可得，﹣4＜m＜2，
故答案為﹣4＜m＜2．
點評： 本題考查不等式的恒成立問題與基本不等式的應用，關
24、鍵是利用基本不等式求出+的最小值．
15．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=60°，則此球的表面積等于 8π?。?
考點： 球的體積和表面積．
專題： 計算題．
分析： 通過已知體積求出底面外接圓的半徑，確定球心為O的位置，求出球的半徑，然后求出球的表面積．
解答： 解：在△ABC中AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=60°，
可得BC=，
可得△ABC外接圓半徑r=1，
三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱垂直于底面，
三棱柱為直三棱柱，側面BAA1B1是正方形它的中心是球心O，
球的直徑為
25、：BA1=2，球半徑R=，
故此球的表面積為4πR2=8π
故答案為：8π
點評： 本題是中檔題，解題思路是：先求底面外接圓的半徑，轉化為直角三角形，求出球的半徑，這是三棱柱外接球的常用方法；本題考查空間想象能力，計算能力．
16．下面四個命題：
①已知函數(shù)且f（a）+f（4）=4，那么a=﹣4；
②要得到函數(shù)的圖象，只要將y=sin2x的圖象向左平移單位；
③若定義在（﹣∞，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=﹣f（x），則f（x）是周期函數(shù)；
④已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，且f（﹣1）=0，則不等式f（x）＜0解集{x|x＜﹣1}．
其中正確的
26、是?、邸。?
考點： 命題的真假判斷與應用．
專題： 綜合題；簡易邏輯．
分析： ①已知函數(shù)，分a＜0，a＞0，利用f（a）+f（4）=4，即可求出a；
②要得到函數(shù)的圖象，只要將y=sin2x的圖象向左平移單位；
③利用f（x）滿足f（x+1）=﹣f（x），可得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），所以f（x）是以2為周期的周期函數(shù)；④已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，且f（﹣1）=0，則f（1）=0，在（﹣∞，0）為增函數(shù)，即可解不等式f（x）＜0．
解答： 解：①已知函數(shù)，a＜0時，f（a）+f（4）=4，那么a=﹣4；a＞0時，f（a）+f（4）=4，那么a=4
27、，故不正確；
②要得到函數(shù)的圖象，只要將y=sin2x的圖象向左平移單位，故不正確；
③若定義在（﹣∞，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=﹣f（x），則f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），所以f（x）是周期函數(shù)，周期為2；
④已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，且f（﹣1）=0，則f（1）=0，在（﹣∞，0）為增函數(shù)，不等式f（x）＜0等價于f（x）＜f（﹣1）或f（x）＜f（1），
解集{x|x＜﹣1}∪{x|0＜x＜1}，故不正確．
故答案為：③．
點評： 本題考查命題的真假的判斷，考查分段函數(shù)，函數(shù)的圖象變換，周期性，奇偶性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中
28、檔題．
三、解答題：本大題共5小題，共計70分．解答應寫出文字說明．證明過程或演算步驟
17．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且（c是常數(shù)，n∈N*），a2=6．
（Ⅰ）求c的值及數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）證明：．
考點： 等差數(shù)列的前n項和；數(shù)列的求和．
專題： 計算題；證明題．
分析： （Ⅰ）根據(jù)，令n=1代入求出a1，令n=2代入求出a2，由a2=6即可求出c的值，由c的值即可求出首項和公差，根據(jù)首項和公差寫出等差數(shù)列的通項公式即可；
（Ⅱ）利用數(shù)列的通項公式列舉出各項并代入所證不等式的坐標，利用=（﹣），把各項拆項后抵消化簡后即可得證．
解答： 解
29、：（Ⅰ）解：因為，
所以當n=1時，，解得a1=2c，
當n=2時，S2=a2+a2﹣c，即a1+a2=2a2﹣c，解得a2=3c，
所以3c=6，解得c=2，
則a1=4，數(shù)列{an}的公差d=a2﹣a1=2，
所以an=a1+（n﹣1）d=2n+2；
（Ⅱ）因為
=
=
=
=
=．
因為n∈N*，所以．
點評： 此題考查學生靈活運用等差數(shù)列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，會利用拆項法進行數(shù)列的求和，是一道綜合題．
18．在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2
30、．
（1）若F為PC的中點，求證：PC⊥平面AEF；
（2）求四棱錐P﹣ABCD的體積V．
考點： 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．
專題： 空間位置關系與距離．
分析： （1）在Rt△ABC，∠BAC=60°，可得AC=2AB，PA=CA，又F為PC的中點，可得AF⊥PC．利用線面垂直的判定與性質定理可得：CD⊥PC．利用三角形的中位線定理可得：EF∥CD．于是EF⊥PC．即可證明PC⊥平面AEF．
（2）利用直角三角形的邊角關系可得BC，CD．SABCD=．利用V=，即可得出．
解答： （1）證明：在Rt△ABC，∠BAC=60°，
∴AC=2AB，
31、
∵PA=2AB，
∴PA=CA，
又F為PC的中點，
∴AF⊥PC．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
∴CD⊥PC．
∵E為PD中點，F(xiàn)為PC中點，
∴EF∥CD．
則EF⊥PC．
∵AF∩EF=F，
∴PC⊥平面AEF．
（2）解：在Rt△ABC中，AB=1，
∠BAC=60°，
∴BC=，AC=2．
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，
∴CD=2，AD=4．
∴SABCD==．
則V==．
點評： 本題考查了線面垂直的判定與性質定理、三角形的中位線定理、直角三角形的邊角
32、關系、四棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
19．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若，求cosα的值．
考點： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．
專題： 作圖題；綜合題．
分析： （I）觀察圖象可得函數(shù)的最值為1，且函數(shù)先出現(xiàn)最大值可得A=1；函數(shù)的周期T=π，結合周期公式T=可求ω；由函數(shù)的圖象過（）代入可得φ
（II）由（I）可得f（x）=sin（2x+），從而由f（）=，代入整理可得sin（）=，
33、結合已知0＜a＜，可得cos（α+）=．，利用，代入兩角差的余弦公式可求
解答： 解：（Ⅰ）由圖象知A=1
f（x）的最小正周期T=4×（﹣）=π，故ω==2
將點（，1）代入f（x）的解析式得sin（+φ）=1，
又|φ|＜，∴φ=
故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=sin（2x+）
（Ⅱ）f（）=，即sin（）=，注意到0＜a＜，則＜＜，
所以cos（α+）=．
又cosα==cos（α+）cos+sin（α+）sin=
點評： 本題主要考查了（i）由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，其步驟一般是：由函數(shù)的最值求解A，（但要判斷是先出現(xiàn)最大值或是最小值，從而判斷A的
34、正負號）由周期求解ω=，由函數(shù)圖象上的點（一般用最值點）代入求解φ；
（ii）三角函數(shù)的同角平方關系，兩角差的余弦公式，及求值中的拆角的技巧，要掌握常見的拆角技巧：①2α=（α+β）+（α﹣β）②2β=（α+β）﹣（α﹣β）③α=（α+β）﹣β④β=（α+β）﹣α
20．如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC．
（1）求證：平面AB1C1⊥平面AC1；
（2）若AB1⊥A1C，求線段AC與AA1長度之比；
（3）若D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？若存在，試確定點E的位置；若不存在，請說明理由．
考點： 平面與平面
35、垂直的判定；直線與平面平行的判定．
專題： 證明題；空間位置關系與距離．
分析： （1）由于已知，可得B1C1⊥CC1，又AC⊥BC，可得B1C1⊥A1C1，從而B1C1⊥平面AC1，又B1C1?平面AB1C1，從而平面AB1C1⊥平面AC1．
（2）由（1）知，B1C1⊥A1C，若AB1⊥A1C，則可得：A1C⊥平面AB1C1，從而A1C⊥AC1，由于ACC1A1是矩形，故AC與AA1長度之比為1：1．
（3）證法一：設F是BB1的中點，連結DF、EF、DE．則易證：平面DEF∥平面AB1C1，從而DE∥平面AB1C1．
證法二：設G是AB1的中點，連結EG，則易證EGDC1．即有
36、DE∥C1G，DE∥平面AB1C1．
解答： 解：（1）由于ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以B1C1⊥CC1；
又因為AC⊥BC，所以B1C1⊥A1C1，所以B1C1⊥平面AC1．
由于B1C1?平面AB1C1，從而平面AB1C1⊥平面AC1．
（2）由（1）知，B1C1⊥A1C．所以，若AB1⊥A1C，則可
得：A1C⊥平面AB1C1，從而A1C⊥AC1．
由于ACC1A1是矩形，故AC與AA1長度之比為1：1．
（3）點E位于AB的中點時，能使DE∥平面AB1C1．
證法一：設F是BB1的中點，連結DF、EF、DE．
則易證：平面DEF∥平面AB1C1，從而
DE∥
37、平面AB1C1．
證法二：設G是AB1的中點，連結EG，則易證EGDC1．
所以DE∥C1G，DE∥平面AB1C1．
點評： 本題主要考察了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，屬于基本知識的考查．
21．設函數(shù)f（x）=ax﹣lnx，g（x）=ex﹣ax，其中a為正實數(shù)．
（l）若x=0是函數(shù)g（x）的極值點，討論函數(shù)f（x）的單調性；
（2）若f（x）在（1，+∞）上無最小值，且g（x）在（1，+∞）上是單調增函數(shù)，求a的取值范圍；并由此判斷曲線g（x）與曲線y=ax2﹣ax在（1，+∞）交點個數(shù)．
考點： 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．
38、
專題： 計算題；導數(shù)的綜合應用．
分析： （1）求出g（x）的導數(shù)，令它為0，求出a=1，再求f（x）的導數(shù)，令它大于0或小于0，即可得到單調區(qū)間；
（2）求出f（x）的導數(shù)，討論a的范圍，由條件得到a≥1，再由g（x）的導數(shù)不小于0在（1，+∞）上恒成立，求出a≤e，令即a=，令h（x）=，求出導數(shù)，求出單調區(qū)間，判斷極值與e的大小即可．
解答： 解：（1）由g′（x）=ex﹣a，
g′（0）=1﹣a=0得a=1，f（x）=x﹣lnx
∵f（x）的定義域為：（0，+∞），，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．
（2）由
若0＜a＜1則f（x）在（1，+∞）上有最小值f（），
當a≥1時，f（x）在（1，+∞）單調遞增無最小值．
∵g（x）在（1，+∞）上是單調增函數(shù)
∴g'（x）=ex﹣a≥0在（1，+∞）上恒成立
∴a≤e，
綜上所述a的取值范圍為，
此時即a=，令h（x）=，h′（x）=，
則 h（x）在（0，2）單調遞減，（2，+∞）單調遞增，
極小值為．故兩曲線沒有公共點．
點評： 本題考查導數(shù)的綜合應用：求單調區(qū)間，求極值和最值，考查分類討論的思想方法，曲線與曲線交點個數(shù)轉化為函數(shù)極值或最值問題，屬于中檔題．
2022年高三數(shù)學上學期10月月考試題 文(II)
