《高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合檢測 新人教B版選修2-2》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合檢測 新人教B版選修2-2(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合檢測 新人教B版選修2-2
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.設(shè)曲線y=ax2在點(1,a)處的切線與直線2x-y-6=0平行,則a=( )
A.1 B.
C.- D.-1
【解析】 y′=2ax,于是切線斜率k=y(tǒng)′|x=1=2a,由題意知2a=2,∴a=1.
【答案】 A
2.若f(x)=x2-2x-4ln x,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A.(-1,0) B.(-1,0)∪(2,+∞)
C.(2,+∞) D.(0,+∞)
【解析】
2、f′(x)=2x-2-==,由f′(x)>0得x>2.
【答案】 C
3.f(x)=ax3+2,若f′(1)=4,則a的值等于( )
A. B.
C. D.1
【解析】 f′(x)=3ax2+,∴f′(1)=3a+1=4,
∴a=1.
【答案】 D
4.使函數(shù)y=xsin x+cos x是增函數(shù)的區(qū)間可能是( )
A.(,) B.(π,2π)
C.(,) D.(2π,3π)
【解析】 y′=sin x+xcos x-sin x=xcos x,故當(dāng)x∈(,)時,y′>0,函數(shù)為增函數(shù).
【答案】 C
5.一汽車沿直線軌道前進(jìn),剎車后列車速度為v(t)=18-
3、6t,則列車的剎車距離為( )
A.27 B.54
C.81 D.13.5
【解析】 令v(t)=0得18-6t=0得t=3,
∴列車的剎車距離為v(t)dt=(18-6t)dt
=(18t-3t2)=27.
【答案】 A
圖1
6.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函數(shù)y=(1-x)f′(x)的圖象如圖1所示,則下列結(jié)論中一定成立的是( )
A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)
B.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(1)
C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2)
D.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)
4、
【解析】 由圖可知,當(dāng)x<-2時,f′(x)>0;當(dāng)-22時,f′(x)>0.由此可以得到函數(shù)在x=-2處取得極大值,在x=2處取得極小值,選D.
【答案】 D
7.由y=-x2與直線y=2x-3圍成的圖形的面積是( )
A. B.
C. D.9
【解析】 解
得交點A(-3,-9),B(1,-1).
由y=-x2與直線y=2x-3圍成的圖形的面積
=-x3-(x2-3x)=.
【答案】 B
8.若函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a在區(qū)間[-2,-1]上的最大值為2,則它在該區(qū)間上的最小值為(
5、 )
A.-5 B.7
C.10 D.-19
【解析】 ∵y′=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),
所以函數(shù)在[-2,-1]內(nèi)單調(diào)遞減,
所以最大值為f(-2)=2+a=2.
∴a=0,最小值f(-1)=a-5=-5.
【答案】 A
9.已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=2,且f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)在R上恒有f′(x)<1(x∈R),則不等式f(x)<x+1的解集為( )
A.(1,+∞) B.(-∞,-1)
C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
【解析】 不等式f(x)<x+1可化為f(x)-x<1,設(shè)g(x)=f(x)-x
6、,
由題意g′(x)=f′(x)-1<0,g(1)=f(1)-1=1,
故原不等式?g(x)<g(1),故x>1.
【答案】 A
10.(xx·課標(biāo)全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的圖象大致為
( )
【解析】 在[-π,π]上,
∵f(-x)=[1-cos(-x)]sin(-x)
=(1-cos x)(-sin x)=-(1-cos x)sin x=-f(x),
∴f(x)是奇函數(shù),
∴f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,排除B.
取x=,則f()=(1-cos )sin =1>0,排除A.
∵f(x)=(1-cos x)sin x,
7、
∴f′(x)=sin x·sin x+(1-cos x)cos x
=1-cos2x+cos x-cos2x=-2cos2x+cos x+1.
令f′(x)=0,則cos x=1或cos x=-.
結(jié)合x∈[-π,π],求得f(x)在(0,π]上的極大值點為π,靠近π,選C.
【答案】 C
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上)
11.(xx·江西高考)設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo),且f(ex)=x+ex,則f′(1)=________.
【解析】 令ex=t,則x=ln t,所以f(x)=ln x+x,即f′(x)=1+,則f′(1)
8、=1+1=2.
【答案】 2
12.已知函數(shù)f(x)=x3-(a+)x2+x(a>0),則f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率最大時的切線方程是________.
【解析】 f′(x)=x2-(a+)x+1,故f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率k=2-(a+),顯然當(dāng)a=1時,a+最小,k最大為0,又f(1)=,∴切線方程為y=.
【答案】 y=
13.若函數(shù)f(x)=在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞增,則實數(shù)m的取值范圍是________.
【解析】 f′(x)=,令f′(x)>0,得-1
9、單調(diào)遞增,
所以解得-10,當(dāng)x∈(,10)時,V′(x)<0,
∴當(dāng)x=時,V(x)取得最大值為π cm3.
【答案】 π cm3
三、解答題(本大題共4小題,共50分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
10、
15.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a>0).
(1)當(dāng)a=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值為,求a的值.
【解】 函數(shù)f(x)的定義域為(0,2),
f′(x)=-+a.
(1)當(dāng)a=1時,f′(x)=,
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),
單調(diào)遞減區(qū)間為(,2).
(2)當(dāng)x∈(0,1]時,f′(x)=+a>0,即f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,故f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)=a,因此a=.
16.(本小題滿分12分)(xx·課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=ex(ax+b)-x2
11、-4x,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)討論f(x)的單調(diào)性,并求f(x)的極大值.
【解】 (1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.
由已知得f(0)=4,f′(0)=4.故b=4,a+b=8.
從而a=4,b=4.
(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,
f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).
令f′(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.
從而當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)時,f′(x)>0;
當(dāng)x∈(-2,-ln 2)時,f′(x)<0.
故f(
12、x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-2,-ln 2)上單調(diào)遞減.
當(dāng)x=-2時,函數(shù)f(x)取得極大值,極大值為f(-2)=4(1-e-2).
17.(本小題滿分12分)(xx·合肥高二檢測)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx在區(qū)間(-2,1)內(nèi)x=-1時取極小值,x=時取極大值.
(1)求函數(shù)y=f(x)在x=-2時的對應(yīng)點的切線方程;
(2)求函數(shù)y=f(x)在[-2,1]上的最大值與最小值.
【解】 (1)f′(x)=-3x2+2ax+b.
又x=-1,x=分別對應(yīng)函數(shù)取得極小值、極大值,
所以-1,為方程-3x2+2ax+b=0的兩個根.
所
13、以a=-1+,-=(-1)×.
于是a=-,b=2,
則f(x)=-x3-x2+2x.
當(dāng)x=-2時,f(-2)=2,即(-2,2)在曲線上.
又切線斜率為k=f′(-2)=-8,
所求切線方程為y-2=-8(x+2),
即為8x+y+14=0.
(2)當(dāng)x變化時,f′(x)及f(x)的變化情況如下表:
x
-2
(-2,-1)
-1
(-1,)
(,1)
1
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
2
-
則f(x)在[-2,1]上的最大值為2,最小值為-.
18.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=
14、x3+ax2+bx+c在x=-1與x=2處都取得極值.
(1)求a,b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對x∈[-2,3],不等式f(x)+c0,解得x<-1或x>2.
∴f(x)的減區(qū)間為(-1,2),
增區(qū)間為(-∞,-1),(2,+∞).
(2)由(1)知,f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增;在(-1,2)上單調(diào)遞減;在(2,+∞)上單調(diào)遞增.
∴x∈[-2,3]時,f(x)的最大值即為
f(-1)與f(3)中的較大者.
f(-1)=+c,f(3)=-+c.
∴當(dāng)x=-1時,f(x)取得最大值.
要使f(x)+cf(-1)+c,
即2c2>7+5c,解得c<-1或c>.
∴c的取值范圍為(-∞,-1)∪(,+∞).