2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修五 3-3-1 二元一次不等式（組）與平面區(qū)域 教案

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1、3.3.1 二元一次不等式（組）與平面區(qū)域 一、教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能： 1.使學(xué)生了解并會(huì)用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及用二元一次不等式組表示平面區(qū)域； 2.能畫出二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域. 過程與方法： 1.培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想； 2.提高學(xué)生“建?！焙徒鉀Q實(shí)際問題的能力； 3.本節(jié)新課講授分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進(jìn)行，目的是為了分散難點(diǎn)，層層遞進(jìn)，突出重點(diǎn)，只要學(xué)生對(duì)舊知識(shí)掌握較好，完全有可能由學(xué)生主動(dòng)去探求新知，得出結(jié)論. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀： 1.通過本節(jié)教學(xué)著重培養(yǎng)學(xué)生掌握“

2、數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，盡管側(cè)重于用“數(shù)”研究“形”，但同時(shí)也用“形”去研究“數(shù)”，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、猜測(cè)、歸納等數(shù)學(xué)能力； 2.結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，激勵(lì)學(xué)生勇于創(chuàng)新. 二．重點(diǎn)難點(diǎn)? 重點(diǎn)：會(huì)求二元一次不等式（組）表示平面的區(qū)域. 難點(diǎn)：如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答. 三、教材與學(xué)情分析 由具體問題的解決，讓學(xué)生去感受、體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的需要用不同的數(shù)學(xué)模型來刻畫和研究它們.借助前面學(xué)習(xí)了一元二次不等式及其解法，類比數(shù)形結(jié)合思想解決二元一次不等式問題，并鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行類比、歸納、抽象，及數(shù)形結(jié)合思想

3、，感受函數(shù)思想在解決二元一次不等式的作用。激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，同時(shí)去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘、數(shù)學(xué)的簡潔美、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 四、教學(xué)方法 問題引導(dǎo)，主動(dòng)探究，啟發(fā)式教學(xué)． 五、教學(xué)過程 （一）導(dǎo)入新課 師 在現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)中，我們會(huì)遇到各種不同的不等關(guān)系，需要用不同的數(shù)學(xué)模型來刻畫和研究它們.前面我們學(xué)習(xí)了一元二次不等式及其解法，這里我們將學(xué)習(xí)另一種不等關(guān)系的模型.先看一個(gè)實(shí)際例子. 一家銀行的信貸部計(jì)劃年初投入25 000 000元用于企業(yè)和個(gè)人貸款，希望這筆貸款資金至少可帶來30 000元的效益，其中從企業(yè)貸款中獲

4、益12%，從個(gè)人貸款中獲益10%，那么，信貸部應(yīng)該如何分配資金呢？ 師 這個(gè)問題中存在一些不等關(guān)系，我們應(yīng)該用什么不等式模型來刻畫它們呢？ 生 設(shè)用于企業(yè)貸款的資金為x元，用于個(gè)人貸款的資金為y元，由資金總數(shù)為25 000 000元， 得到x+y≤25 000 000.① 師 由于預(yù)計(jì)企業(yè)貸款創(chuàng)收12%，個(gè)人貸款創(chuàng)收10%.共創(chuàng)收30 000元以上，所以 (12%)x+(10%)y≥30 000，即12x+10y≥3 000 000.② 師 最后考慮到用于企業(yè)貸款和個(gè)人貸款的資金數(shù)額都不能是負(fù)數(shù)，于是 生 x≥0,y≥0.③ 師 將①②③合在一起，得到分配資金應(yīng)

5、該滿足的條件： 師 我們把含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式（組）稱為二元一次不等式（組）. 滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)(x,y)，所有這樣的有序數(shù)對(duì)(x,y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集.有序數(shù)對(duì)可以看成直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo).于是，二元一次不等式（組）的解集就可以看成直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合. 師 我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，以二元一次方程x+y-1=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合{(x,y)|x+y-1=0}是經(jīng)過點(diǎn)（0，1）和（1，0）的一條直線l，那么，以二元一次不等式（即含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)都是1的不等式）x+y-1

6、＞0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合A={(x,y)|x+y-1＞0}是什么圖形呢？ （二）探究新知 師 二元一次方程x＋y－1＝0有無數(shù)組解，每一組解是一對(duì)實(shí)數(shù)，它們?cè)谧鴺?biāo)平面上表示一個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)的集合組成點(diǎn)集{(x，y)|x＋y－1＝0}，它在坐標(biāo)平面上表示一條直線. 以二元一次不等式x＋y－1＞0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)，也拼成一個(gè)點(diǎn)集.如x＝3，y＝2時(shí)，x＋y－1＞0，點(diǎn)(3，2)的坐標(biāo)滿足不等式x＋y－1＞0.(3，2)是二元一次不等式x＋y－1＞0的解集中的一個(gè)元素.我們把二元一次不等式x＋y－1＞0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)拼成的點(diǎn)集記為{(x，y)|x＋y－1＞0}. 請(qǐng)同學(xué)們猜想一下，這個(gè)

7、點(diǎn)集在坐標(biāo)平面上表示什么呢？ 生 x＋y－1＞0表示直線l：x＋y－1＝0右上方的所有點(diǎn)拼成的平面區(qū)域. 師 事實(shí)上，在平面直角坐標(biāo)系中，所有的點(diǎn)被直線x＋y－1＝0分為三類：在直線x＋y－1＝0上；在直線x＋y－1＝0右上方的平面區(qū)域內(nèi)；在直線x＋y－1＝0左下方的平面區(qū)域內(nèi).如(2，2)點(diǎn)的坐標(biāo)代入x＋y－1中，x＋y－1＞0，(2，2)點(diǎn)在直線x＋y－1＝0的右上方.(－1，2)點(diǎn)的坐標(biāo)代入x＋y－1中，x＋y－1＝0，(－1，2)點(diǎn)在直線x＋y－1＝0上.(1，－1)點(diǎn)的坐標(biāo)代入x＋y－1中，x＋y－1＜0，(1，-1)點(diǎn)在直線x＋y－1＝0的左下方. 因此，我們猜想

8、，對(duì)直線x＋y－1＝0右上方的點(diǎn)(x，y)，x＋y－1＞0成立；對(duì)直線x＋y－1＝0左下方的點(diǎn)(x，y)，x＋y－1＜0成立. 師 下面對(duì)這一猜想進(jìn)行一下推證.在直線l：x＋y－1＝0上任取一點(diǎn)P(x 0，y 0)，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線y＝y(tǒng)0，這時(shí)這條平行線上在P點(diǎn)右側(cè)的任意一點(diǎn)都有x＞x 0，y＝y(tǒng)0兩式相加. x＋y＞x 0＋y 0，則x＋y－1＞x0＋y0－1,P點(diǎn)在直線x＋y－1＝0上，x0＋y 0－1＝0. 所以x＋y－1＞0. 因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)是直線x＋y－1＝0上的任意一點(diǎn)，所以對(duì)于直線x＋y－1＝0的右上方的任意點(diǎn)(x，y),x＋y－1＞0都成立

9、.同理，對(duì)于直線x＋y－1＝0左下方的任意點(diǎn)(x，y)，x＋y－1＜0都成立. 所以點(diǎn)集{(x，y)|x＋y－1＞0}是直線x＋y－1＝0右上方的平面區(qū)域，點(diǎn)集{(x，y)|x＋y－1＜0}是直線x＋y－1＝0左下方的平面區(qū)域. 師 一般來講，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0的某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.由于對(duì)在直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，實(shí)數(shù)Ax＋By＋C的符號(hào)相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x 0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正、負(fù)就可判斷Ax＋By＋C＞0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.當(dāng)C≠0時(shí)，

10、我們常把原點(diǎn)作為這個(gè)特殊點(diǎn)去進(jìn)行判斷.如把(0，0)代入x＋y－1中，x＋y－1＜0.說明：x＋y－1＜0表示直線x＋y－1＝0左下方原點(diǎn)所在的區(qū)域，就是說不等式所表示的區(qū)域與原點(diǎn)在直線x＋y－1＝0的同一側(cè). 如果C＝0，直線過原點(diǎn)，原點(diǎn)坐標(biāo)代入無法進(jìn)行判斷，則可另選一個(gè)易計(jì)算的點(diǎn)去進(jìn)行判斷. 師 提醒同學(xué)們注意，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的區(qū)域，應(yīng)當(dāng)理解為{(x，y)|Ax＋By＋C＞0}∪{(x，y)|Ax＋By＋C＝0}.這個(gè)區(qū)域包括邊界直線，應(yīng)把邊界直線畫為實(shí)線. 師 另外同學(xué)們還應(yīng)當(dāng)明確有關(guān)區(qū)域的一些稱呼. （1）A為直線l右上方的平面區(qū)域　　　

11、(2)B為直線l左下方的平面區(qū)域 (3)C為直線l左上方的平面區(qū)域　　　 (4)D為直線l右下方的平面區(qū)域 ［教師精講］ 師 二元一次不等式ax+by+c＞0和ax+by+c＜0表示的平面區(qū)域. （1）結(jié)論：二元一次不等式ax+by+c＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線ax+by+c=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線，若畫不等式ax+by+c≥0表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域包括邊界直線，則把邊界直線畫成實(shí)線. （2）判斷方法：由于對(duì)在直線ax+by+c=0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y)，把它的坐標(biāo)(x,y)代入ax+by+c，所得的實(shí)數(shù)的符

12、號(hào)都相同，故只需在這條直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0,y0)，以ax0+by0+c的正負(fù)情況便可判斷ax+by+c＞0表示這一直線哪一側(cè)的平面區(qū)域，特殊地，當(dāng)c≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn). （三）典例解析 【例1】 畫出不等式2x＋y－6＞0表示的平面區(qū)域. 解:先畫直線2x＋y－6＝0(虛線)，把原點(diǎn)(0，0)代入2x＋y－6，得0－6＜0.因2x＋y－6＜0，說明原點(diǎn)不在要求的區(qū)域內(nèi)，不等式2x＋y－6＞0表示的平面區(qū)域與原點(diǎn)在直線2x＋y－6＝0的異側(cè)，即直線2x＋y－6＝0的右上部分的平面區(qū)域. 生 學(xué)生課堂練習(xí). (1)x－y＋1＜0. (2)2x＋

13、3y－6＞0. (3)2x＋5y－10≥0. (4)4x－3y≤12. 【例2】 畫出不等式組表示的平面區(qū)域. x＋3y＋6≥0表示直線上及其右上方的點(diǎn)的集合. x－y＋2＜0表示直線左上方一側(cè)不包括邊界的點(diǎn)的集合. 在確定這兩個(gè)點(diǎn)集的交集時(shí)，要特別注意其邊界線是實(shí)線還是虛線，還有兩直線的交點(diǎn)處是實(shí)點(diǎn)還是空點(diǎn). 【例3】 畫出不等式組表示的平面區(qū)域. 師 不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分. 生 解：不等式x-y+5≥0表示直線x-y+5=0右上方的平面區(qū)域，x+y≥0表示

14、直線x+y=0右上方的平面區(qū)域，x≤3左上方的平面區(qū)域，所以原不等式表示的平面區(qū)域如右圖中的陰影部分. 課堂練習(xí)：作出下列二元一次不等式或不等式組表示的平面區(qū)域. （1）x-y+1＜0;（2）2x+3y-6＞0;（3）2x+5y-10＞0;（4）4x-3y-12＜0;（5） 如下圖： ［合作探究］ 師 由上述討論及例題，可歸納出如何由二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的嗎？ 生 歸納如下： 1.在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)的所有點(diǎn)被直線l:x+y-1=0分成三類： （1）直線l上：{(x,y)|x+y-1=0}； （2）直線l的上方：{(x,y)|x+

15、y-1＞0}； （3）直線l的下方：{(x,y)|x+y-1＜0}. 對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo),代入x+y-1中，得到一個(gè)實(shí)數(shù)，此實(shí)數(shù)或等于0，或大于0，或小于0.觀察到所有大 于0的點(diǎn)都在直線l的右上方，所有小于0的點(diǎn)都在直線l的左下方，所有等于0的點(diǎn)在直線l上. 2.一般地，二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0的某一側(cè)的所有的點(diǎn)組成的平面區(qū)域.直線畫成虛線表示不包括邊界. 二元一次不等式Ax+By+C≥0表示的平面區(qū)域是直線Ax+By+C=0的某一側(cè)的所有的點(diǎn)組成的平面區(qū)域.直線應(yīng)畫成實(shí)線.此時(shí)常常用“直線定界，特殊

16、點(diǎn)定位”的方法.（當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，常常取原點(diǎn)；過原點(diǎn)時(shí)取坐標(biāo)軸上的點(diǎn)） ［方法引導(dǎo)］ 上述過程分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進(jìn)行，目的是分散難點(diǎn)，層層遞進(jìn)，突出重點(diǎn)，只要學(xué)生對(duì)舊知識(shí)掌握較好，完全可以由學(xué)生主動(dòng)去探求新知，得出結(jié)論. 六、課堂小結(jié) 1.在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)的所有點(diǎn)被直線l分成三類： （1）直線l上； （2）直線l的上方； （3）直線l的下方. 2.二元一次不等式ax+by+c＞0和ax+by+c＜0表示的平面區(qū)域. 七、課后作業(yè) 1.課時(shí)練與測(cè) 2.課外延伸 1.不等式x-2y+6＞0表示的區(qū)域在x-2y+6=0的（　　

17、） A.右上方　　　　　B.右下方　　　　　C.左上方　　　　D.左下方 2.不等式3x+2y-6＜0表示的平面區(qū)域是（　　） 3.不等式組表示的平面區(qū)域是（　?。┆? 4.直線x+2y-1=0右上方的平面區(qū)域可用不等式___________表示. 5.不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)是_______________. 6.畫出(x+2y-1)(x-y+3)≥0表示的區(qū)域. 答案： 1.B　2.D　3.B　4.x+2y-1＞0　5.（－1，－1） 2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修五 3-3-1 二元一次不等式（組）與平面區(qū)域 教案 八、教學(xué)反思