（浙江專版）2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理學(xué)案 新人教A版必修4

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1、 2．3.1　平面向量基本定理 預(yù)習(xí)課本P93～94，思考并完成以下問題 (1)平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？ (2)如何定義平面向量基底？

2、 (3)兩向量夾角的定義是什么？如何定義向量的垂直？ 1．平面向量基本定理 條件 e

3、1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量 結(jié)論 這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 [點(diǎn)睛]　對(duì)平面向量基本定理的理解應(yīng)注意以下三點(diǎn)：①e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量；②該平面內(nèi)任意向量a都可以用e1，e2線性表示，且這種表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可作為基底． 2．向量的夾角 條件 兩個(gè)非零向量a和b 產(chǎn)生過程 作向量＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角 范圍 0°≤θ≤180° 特殊情況 θ＝0° a與b同

4、向 θ＝90° a與b垂直，記作a⊥b θ＝180° a與b反向 [點(diǎn)睛]　當(dāng)a與b共線同向時(shí)，夾角θ為0°，共線反向時(shí)，夾角θ為180°，所以兩個(gè)向量的夾角的范圍是0°≤θ≤180°. 1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)任意兩個(gè)向量都可以作為基底．(　　) (2)一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)對(duì)不共線的向量都可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底．(　　) (3)零向量不可以作為基底中的向量．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．若向量a，b的夾角為30°，則向量－a，－b的夾角為(　　) A．60°　　　　　　　　　 B．30°

5、C．120° D．150° 答案：B 3．設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是(　　) A．e1，e2 B．e1＋e2,3e1＋3e2 C．e1,5e2 D．e1，e1＋e2 答案：B 4．在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，則向量，的夾角為______． 答案：135° 用基底表示向量 [典例]　如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)對(duì)角線＝a，＝b，試用基底a，b表示，. [解]　法一：由題意知，＝＝＝a，＝＝＝b. 所以＝＋＝－＝a－b， ＝＋＝a＋b， 法二：設(shè)＝x，＝y(tǒng)，則＝＝y(tǒng)， 又則 所以x＝a－b

6、，y＝a＋b， 即＝a－b，＝a＋b. 用基底表示向量的方法 將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． [活學(xué)活用] 如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的中點(diǎn)，且BC＝3AD，＝a，＝b.試以a，b為基底表示，，. 解：∵AD∥BC，且AD＝BC， ∴＝＝b. ∵E為AD的中點(diǎn)， ∴＝＝＝b. ∵＝，∴＝b， ∴＝＋＋ ＝－b－a＋b＝b－a， ＝＋＝－b＋b－a＝b－a， ＝＋

7、＝－(＋) ＝－(＋)＝－ ＝a－b. 向量夾角的簡(jiǎn)單求解 [典例]　已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？ [解]　如圖所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以，為鄰邊作平行四邊形OACB，則＝a＋b，＝a－b. 因?yàn)閨a|＝|b|＝2，所以平行四邊形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以與的夾角為30°，與的夾角為60°. 即a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°. 求兩個(gè)向量夾角的方法 求兩個(gè)向量的夾角，關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合，根據(jù)向量夾角的概念確定夾角，

8、再依據(jù)平面圖形的知識(shí)求解向量的夾角．過程簡(jiǎn)記為“一作二證三算”． [活學(xué)活用] 如圖，已知△ABC是等邊三角形． (1)求向量與向量的夾角； (2)若E為BC的中點(diǎn)，求向量與的夾角． 解：(1)∵△ABC為等邊三角形， ∴∠ABC＝60°. 如圖，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使AB＝BD，則＝， ∴∠DBC為向量與的夾角． ∵∠DBC＝120°， ∴向量與的夾角為120°. (2)∵E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC， ∴與的夾角為90°. 平面向量基本定理的應(yīng)用 [典例]　如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM

9、與BP∶PN. [解]　設(shè)＝e1，＝e2， 則＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2. ∵A，P，M和B，P，N分別共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得＝λ ＝－λe1－3λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理， 得解得 ∴＝，＝， ∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. [一題多變] 1．[變?cè)O(shè)問]在本例條件下，若＝a，＝b，試用a，b表示， 解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，則＝， ＝＋＝＋＝b＋(－) ＝b＋a－b＝b＋a. 2．[變條件]若本例中的點(diǎn)N為AC的

10、中點(diǎn)，其它條件不變，求AP∶PM與BP∶PN. 解：如圖，設(shè)＝e1，＝e2， 則＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2. ∵A，P，M和B，P，N分別共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得＝λ ＝－λe1－2λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理， 得解得 ∴＝，＝， ∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2. 若直接利用基底表示向量比較困難，可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量( 一般需建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式)，再根據(jù)

11、待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得． 層級(jí)一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．已知ABCD中∠DAB＝30°，則與的夾角為(　　) A．30°　　　　　　　　 B．60° C．120° D．150° 解析：選D　如圖，與的夾角為∠ABC＝150°. 2．設(shè)點(diǎn)O是ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，下列的向量組中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是(　　) ①與；②與；③與；④與. A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 解析：選B　尋找不共線的向量組即可，在ABCD中，與不共線，與不共線；而∥，∥，故①③可作為基底． 3．若AD是△

12、ABC的中線，已知＝a，＝b，則以a，b為基底表示＝(　　) A．(a－b) B．(a＋b) C．(b－a) D．b＋a 解析：選B　如圖，AD是△ABC的中線，則D為線段BC的中點(diǎn)，從而＝，即－＝－，從而＝(＋)＝(a＋b)． 4．在矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若＝e1，＝e2，則＝(　　) A．(e1＋e2) B．(e1－e2) C．(2e2－e1) D．(e2－e1) 解析：選A　因?yàn)镺是矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故選A. 5．(全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則(　　) A．＝－＋ B

13、．＝－ C．＝＋ D．＝－ 解析：選A　由題意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋. 6．已知向量a，b是一組基底，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y的值為______． 解析：∵a，b是一組基底，∴a與b不共線， ∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b， ∴解得∴x－y＝3. 答案：3 7．已知e1，e2是兩個(gè)不共線向量，a＝k2e1＋e2與b＝2e1＋3e2共線，則實(shí)數(shù)k＝______. 解析：由題設(shè)，知＝，∴3k2＋5k－2＝0， 解得k＝－2或. 答案：－2或 8．如下圖，在正方形ABCD中，設(shè)＝a，＝b，＝c，則在以a，b為基

14、底時(shí)，可表示為______，在以a，c為基底時(shí)，可表示為______． 解析：以a，c為基底時(shí)，將平移，使B與A重合，再由三角形法則或平行四邊形法則即得． 答案：a＋b　2a＋c 9.如圖所示，設(shè)M，N，P是△ABC三邊上的點(diǎn)，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，試用a，b將，，表示出來． 解：＝－ ＝－＝a－b， ＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b， ＝－＝－(＋)＝(a＋b)． 10．證明：三角形的三條中線共點(diǎn)． 證明：如圖所示，設(shè)AD，BE，CF分別為△ABC的三條中線，令＝a，＝b.則有＝b－a. 設(shè)G在AD上，且＝，則有＝＋＝a＋(b－a)＝(a＋b)． ＝－＝

15、b－a. ∴＝－＝－ ＝(a＋b)－a＝b－a ＝＝. ∴G在BE上，同理可證＝，即G在CF上． 故AD，BE，CF三線交于同一點(diǎn)． 層級(jí)二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且＝2，設(shè)＝a，＝b，則可用基底a，b表示為(　　) A．(a＋b)　　　　　　　 B．a(chǎn)＋b C．a(chǎn)＋b D．(a＋b) 解析：選C　∵＝2，∴＝. ∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 2．AD與BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，且＝a，＝b，則＝(　　) A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)＋b C．a(chǎn)－b D．－a＋b 解析：選B　設(shè)AD與BE交點(diǎn)為F，則＝a，＝b.所以

16、＝＋＝b＋a，所以＝2＝a＋b. 3．如果e1，e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么，下列命題中正確的是(　　) A．若存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，使得λ1e1＋λ2e1＝0，則λ1＝λ2＝0 B．平面α內(nèi)任一向量a都可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α內(nèi)，λ1，λ2∈R D．對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實(shí)數(shù)λ1，λ2有無數(shù)對(duì) 解析：選B　A中，(λ1＋λ2)e1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B符合平面向量基本定理；C中，λ1e1＋λ2e2一定在平面α內(nèi)；D中，λ1，λ2有且只有一對(duì)． 4．已知非零向

17、量，不共線，且2＝x＋y，若＝λ (λ∈R)，則x，y滿足的關(guān)系是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 解析：選A　由＝λ，得－＝λ(－)， 即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y， ∴消去λ得x＋y＝2. 5．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則e1＋e2＝________a＋________b. 解析：由解得 故e1＋e2＝＋ ＝a＋b. 答案：?。? 6．已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120°，且|b|＝2|a|，則向量a與c的夾角為_______

18、_． 解析：由題意可畫出圖形， 在△OAB中， 因?yàn)椤螼AB＝60°，|b|＝2|a|， 所以∠ABO＝30°，OA⊥OB， 即向量a與c的夾角為90°. 答案：90° 7．設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)證明：a，b可以作為一組基底； (2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若 4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． 解：(1)證明：若a，b共線，則存在λ∈R，使a＝λb， 則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)． 由e1，e2不共線，得? ∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底． (2

19、)設(shè)c＝ma＋nb(m，n∈R)，則 3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. ∴?∴c＝2a＋b. (3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得 4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. ∴? 故所求λ，μ的值分別為3和1. 8．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：＝＋. (1)求△ABM與△ABC的面積之比． (2)若N為AB中點(diǎn)，AM與CN交于點(diǎn)O，設(shè)＝x＋y，求x，y的值． 解：(1)如圖，由＝＋可知M，B，C三點(diǎn)共線， 令＝λ?＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ?λ＝，所以＝，即面積之比為1∶4. (2)由＝x＋y?＝x＋，＝＋y，由O，M，A三點(diǎn)共線及O，N，C三點(diǎn)共線?? 11