3、,1)．
答案：C
4．函數(shù)f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是( )
A．－ B．－ C．－4 D．－
解析：f ′(x)＝x2＋2x－3，
令f ′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，
又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，
故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－.
答案：A
5．曲線y＝－x3＋3x2在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為( )
A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5 D．y＝2x
解析：依題意得，y′＝－3x2＋6x，y′＝－3×1
4、2＋6×1＝3，即所求切線的斜率等于3，故所求直線的方程是y－2＝3(x－1)，整理得y＝3x－1.
答案：A
6．已知曲線y＝－3ln x的一條切線的斜率為2，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為( )
A．3 B．2 C．1 D.
解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，且x0>0，
由y′＝x－，得k＝x0－＝2，∴x0＝3.
答案：A
7．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，且當(dāng)x>0時(shí)，有f ′(x)>0，則當(dāng)x<0時(shí)，有( )
A．f ′(x)≥0 B．f ′(x)>0
C．f ′(x)≤0 D．f
5、 ′(x)<0
解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∵當(dāng)x>0時(shí)，f ′(x)>0，∴f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)也為增函數(shù)，∴f ′(x)>0.
答案：B
8．已知函數(shù)f(x)＝x3－2ax2－3x(a∈R)，若函數(shù)f(x)的圖象上點(diǎn)P(1，m)處的切線方程為3x－y＋b＝0，則m的值為( )
A．－ B．－ C. D.
解析：∵f(x)＝x3－2ax2－3x，
∴f ′(x)＝2x2－4ax－3，
∴過點(diǎn)P(1，m)的切線斜率k＝f ′(1)＝－1－4a
6、.
又點(diǎn)P(1，m)處的切線方程為3x－y＋b＝0，
∴－1－4a＝3，∴a＝－1，
∴f(x)＝x3＋2x2－3x.又點(diǎn)P在函數(shù)f(x)的圖象上，∴m＝f(1)＝－.
答案：A
9．設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)是f ′(x)，且函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，則函數(shù)y＝xf ′(x)的圖象可能是( )
解析：f(x)在x＝－2處取得極小值，即x<－2，f ′(x)<0；x>－2，f ′(x)>0，那么y＝xf ′(x)過點(diǎn)(0,0)及 (－2,0)．當(dāng)x<－2時(shí)，x<0，f ′(x)<0，則y>0；當(dāng)－20，y<0；當(dāng)x>0時(shí)，f
7、 ′(x)>0，y>0，故C正確．
答案：C
10．某廠要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊要砌新墻，當(dāng)砌新墻所用的材料最省時(shí)，堆料場的長和寬分別為( )
A．32米，16米 B．30米，15米
C．40米，20米 D．36米，18米
解析：設(shè)建堆料場與原墻平行的一邊邊長為x米，其他兩邊邊長為y米，則xy＝512，新墻的周長l＝x＋2y＝＋2y(y>0)，令l′＝－＋2＝0，解得y＝16(另一負(fù)根舍去)，當(dāng)016時(shí)，l′>0，所以當(dāng)y＝16時(shí)，函數(shù)取得極小值，也就是最小值，此時(shí)x＝＝32.
答案：A
1
8、1．對(duì)任意的x∈R，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是( )
A．0≤a≤21 B．a(chǎn)＝0或a＝7
C．a(chǎn)<0或a>21 D．a(chǎn)＝0或a＝21
解析：f ′(x)＝3x2＋2ax＋7a，當(dāng)Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21時(shí)，f ′(x)≥0恒成立，函數(shù)不存在極值點(diǎn)．
答案：A
12．f(x)是定義在(0，＋∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf ′(x)－f(x)<0，對(duì)任意正數(shù)a，b，若a
9、－f(x)<0，
∴′＝<0，所以函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，由0，即af(b)1時(shí)，y′<0，
當(dāng)－10，
當(dāng)x<－1時(shí)，y′<0，
故x＝1為y＝3x－x3的極大值點(diǎn)，
即b＝1，
又c＝3b－b3＝3×1－1＝2，∴bc＝2.
答案：2
14．設(shè)f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f(x)在x＝1處的
10、切線與直線x＋3y＋3＝0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為________．
解析：對(duì)f(x)＝ax3＋3x2＋2求導(dǎo)得：f ′(x)＝3ax2＋6x.∵k＝f ′(1)＝3a＋6，
∴(3a＋6)×＝－1，解得a＝－1.
答案：－1
15．若函數(shù)y＝－x3＋bx有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則b的取值范圍是________．
解析：若函數(shù)y＝－x3＋bx有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則其導(dǎo)數(shù)y′＝－4x2＋b＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以b＞0.
答案：(0，＋∞)
16. 做一個(gè)無蓋的圓柱水桶，若要使水桶的體積是27π，且用料最省，則水桶的底面半徑為________．
解析：用料最省，即水桶的表面積最小．
設(shè)圓
11、柱形水桶的表面積為S，底面半徑為r(r>0)，則水桶的高為，所以S＝πr2＋2πr×＝πr2＋(r>0)，求導(dǎo)數(shù)，得S′＝2πr－，令S′＝0，解得r＝3.
當(dāng)03時(shí)，S′>0，所以當(dāng)r＝3時(shí)，圓柱形水桶的表面積最小，即用料最?。?
答案：3
三、解答題(本大題共有6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(12分)已知函數(shù)f(x)＝xn＋1(n∈N*)的圖象與直線x＝1交于點(diǎn)P，若圖象在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，求log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012的值．
解析：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(
12、x)＝(n＋1)xn，所以在x＝1處的切線斜率為k＝f′(1)＝n＋1，所以切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝.所以x1x2…x2 012＝××…×＝，所以log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012＝log2 013＝－1.
18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；
(2)當(dāng)a2＝4b時(shí)，求函數(shù)f(x)＋g(x)的單調(diào)區(qū)間．
解析：(1)f ′(x)＝2ax，g ′(x)＝3x2＋b，
由已知可得
13、解得a＝b＝3.
(2)令F(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋x＋1，F(xiàn)′(x)＝3x2＋2ax＋，令F′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－，
∵a>0，∴x10得，x<－或x>－；
由F′(x)<0得，－，且當(dāng)x∈[1,4a]時(shí)，f(x)≥a3－12a恒成立，試確定a的取值范圍．
解析：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x3－3x2－9x＋1且f ′(x)＝3x2－6x－9，由f
14、′(x)＝0得x＝－1或x＝3.
當(dāng)x<－1時(shí)f ′(x)>0，當(dāng)－13時(shí)f ′(x)>0，
因此x＝3是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為f(3)＝－26.
(2)∵f ′(x)＝3x2－6ax－9a2＝3(x＋a)(x－3a)，a>，
∴當(dāng)1≤x<3a時(shí)f ′(x)<0；
當(dāng)3a0.
∴x∈[1,4a]時(shí)f(x)的最小值為f(3a)＝－26a3.
由f(x)≥a3－12a在[1,4a]上恒成立得－26a3≥a3－12a.
解得
15、－≤a≤.
又a>，∴
16、0，得x1＝－，x2＝3.
當(dāng)x變化時(shí)，f ′(x)、f(x)的變化情況如表：
x
－
3
(3，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
極大值
極小值
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，[3，＋∞)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
21．(13分)已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線y＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大的矩形兩邊長之比．
解析：設(shè)位于拋物線上的矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為(x，y)，其中00，則另一個(gè)在拋物線上的頂點(diǎn)為(－x，y)，在x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為(－x,0)、(x,0)．設(shè)矩形
17、的面積為S，則S＝2x(4－x2)(00；當(dāng)
18、且僅當(dāng)a＝1，x＝－1，故此時(shí)f(x)在R上是增函數(shù)．
②由于a≠0，故當(dāng)a<1時(shí)，f ′(x)＝0有兩個(gè)根
x1＝，x2＝.
若00，故f(x)分別在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函數(shù)；
當(dāng)x∈(x2，x1)時(shí)，f ′(x)<0，
故f(x)在(x2，x1)是減函數(shù)．
若a<0，則當(dāng)x∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)時(shí)，f ′(x)<0，故f(x)分別在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是減函數(shù)；
當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，f ′(x)>0，
故f(x)在(x1，x2)是增函數(shù)．
(2)當(dāng)a>0，x>0時(shí)，f ′(x)＝3ax2＋6x＋3>0，
故當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)．
當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f ′ (1)≥0且f ′(2)≥0，解得－≤a<0.
綜上，a的取值范圍是∪(0，＋∞)．
2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 章末檢測（三） 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 新人教A版選修1 -1
