2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程章末綜合檢測(cè) 蘇教版選修1 -1

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程章末綜合檢測(cè) 蘇教版選修1 -1 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．把答案填在題中橫線上) 1．橢圓＋＝1的焦距為6，則k的值為________． 解析：由已知2c＝6，∴c＝3，而c2＝9，∴20－k＝9或k－20＝9，∴k＝11或k＝29. 答案：11或29 2．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m＝________. 解析：由題意知，m<0，雙曲線mx2＋y2＝1化為標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)2－＝1，故a2＝1，b2＝－，所以a＝1，b＝，則由2＝2×2，解得m＝－. 答案：－ 3．在給定橢圓中，

2、過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為________． 解析：不妨設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則有，即 ①÷②得e＝. 答案： 4．與x2－4y2＝1有相同的漸近線，且過M(4，)的雙曲線方程為________． 解析：設(shè)方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)，將M(4，)代入方程得λ＝4，所以方程為－y2＝1. 答案：－y2＝1 5．已知雙曲線3x2－y2＝9，則雙曲線右支上的點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離之比等于________． 解析：即求離心率，雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程－＝1， 可知a＝，c＝＝＝2，e＝＝＝2. 答案：2 6

3、．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為________． 解析：橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)為(2,0)，而拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)為(，0)，則＝2，故p＝4. 答案：4 7．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若·＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________． 解析：由題意得F(1,0)，設(shè)A(，y0)，則＝(，y0)，＝(1－，－y0)，由·＝－4，解得y0＝±2，此時(shí)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為＝1，故點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，±2)． 答案：(1，±2) 8．設(shè)P是橢圓＋＝1上的任意一點(diǎn)，又點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，－4)，則PQ的最大值為________． 解析

4、：設(shè)P的坐標(biāo)(x，y)，則PQ2＝x2＋(y＋4)2＝25(1－)＋(y＋4)2＝－(y－)2＋(－4≤y≤4)， 當(dāng)y＝4時(shí)，PQ2最大， 此時(shí)PQ最大，且PQ的最大值為 ＝8. 答案：8 9．以雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是________． 解析：由題意知圓心坐標(biāo)應(yīng)為(5,0)．又因?yàn)辄c(diǎn)(5,0)到漸近線y＝±x的距離為4， 所以圓的方程為x2＋y2－10x＋9＝0. 答案：x2＋y2－10x＋9＝0 10．橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為，則這個(gè)橢圓方程為________． 解析：

5、由題意知，解得， 橢圓方程為＋＝1或＋＝1. 答案：＋＝1或＋＝1 11．已知兩點(diǎn)M(－2,0)，N(2,0)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足||·||＋·＝0，則動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程為________． 解析：設(shè)P(x，y)，M(－2,0)，N(2,0)，則＝(4,0)，||＝4，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)； 由||·||＋·＝0， 得4＋4(x－2)＝0， 化簡(jiǎn)整理得y2＝－8x. 答案：y2＝－8x 12．設(shè)過點(diǎn)P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若＝2且·＝1，則點(diǎn)P的軌跡方程是_____

6、___． 解析：設(shè)P(x，y)，則Q(－x，y)，又設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則a>0，b>0. 于是＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)，由＝2可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0. 又＝(－a，b)＝(－x,3y)， 由·＝1可得x2＋3y2＝1(x>0，y>0)． 答案：x2＋3y2＝1(x>0，y>0) 13．拋物線y2＝x上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝m(x－3)對(duì)稱，則m的取值范圍是____________． 解析：法一：設(shè)兩對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2) 且AB所在直線的方程可設(shè)為：y＝－x＋b， 代入y2＝x，得y2＋my－mb＝0， ∴y

7、1＋y2＝－m， 且Δ＝m2＋4mb＞0.① 設(shè)A、B的中點(diǎn)為(x0，y0)，則y0＝＝－， 又A、B的中點(diǎn)在直線y＝m(x－3)上，所以x0＝， 又(x0，y0)在直線y＝－x＋b上． ∴b＝y(tǒng)0＋x0＝－＋， 代入①并整理得：m2＜10， ∴－＜m＜， ∴m的取值范圍是(－，)． 法二：設(shè)兩對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A、B的中點(diǎn)為(x0，y0)，依題意，則有： ①－②得：(y1＋y2)(y1－y2)＝x1－x2， 將③④代入上式得：y0＝－，⑧ 將⑧代入⑥得：x0＝，⑨ 將⑧⑨代入⑦得2＜， ∴m2＜10，∴－＜m＜. ∴m的范圍

8、是(－，)． 答案：(－，) 14．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線－＝1(a>0，b>0且a≠b)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．下面四個(gè)命題： ①△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線x＝a上； ②△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線x＝b上； ③△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線OP上； ④△PF1F2的內(nèi)切圓必通過點(diǎn)(a,0)． 其中真命題有________(寫出所有真命題的代號(hào))． 解析：設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓分別與PF1，PF2切于點(diǎn)A、B，與F1F2切于點(diǎn)M，則PA＝PB，F(xiàn)1A＝F1M，F(xiàn)2B＝F2M，又點(diǎn)P在雙曲線右支上，所以PF1－PF2＝2a

9、，故F1M－F2M＝2a，而F1M＋F2M＝2c，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0)，則由F1M－F2M＝2a可得(x＋c)－(c－x)＝2a解得x＝a，顯然內(nèi)切圓的圓心與點(diǎn)M的連線垂直于x軸，故①④正確． 答案：①④ 二、解答題(本大題共6小題，共90分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)如圖，一個(gè)拋物線形拱橋，當(dāng)水面離拱頂4 m 時(shí)，水面寬8 m. (1)試建立坐標(biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若水面上升1 m，求水面寬度． 解：(1)如圖，以拱頂為原點(diǎn)，水平線為x軸，建立坐標(biāo)系， 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)． 由已知

10、條件可知，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4，－4)，代入方程，得42＝－2p×(－4)，即p＝2. 所以，所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＝－4y. (2)若水面上升1 m，則y＝－3，代入x2＝－4y， 得x2＝－4×(－3)＝12，x＝±2，所以這時(shí)水面寬為4 m. 16．(本小題滿分14分)已知雙曲線過點(diǎn)(3，－2)，且與橢圓4x2＋9y2＝36有相同的焦點(diǎn)． (1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)求以雙曲線的右準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：(1)把橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為＋＝1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)． 故設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)，則，解得， 故所求雙曲線

11、的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. (2)由(1)知雙曲線的右準(zhǔn)線方程為x＝，即為拋物線的準(zhǔn)線方程．故設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p>0)，則有＝，故p＝. 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－x. 17．(本小題滿分14分)已知雙曲線－＝1與點(diǎn)M(5,3)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，試在雙曲線上求一點(diǎn)P，使PM＋PF最小，并求出這個(gè)最小值． 解：雙曲線的右焦點(diǎn)F(6,0)，離心率e＝2，右準(zhǔn)線為l：x＝.作MN⊥l于N，交雙曲線右支于P，連結(jié)FP，則PF＝ePN＝2PN?PN＝PF.此時(shí)PM＋PF＝PM＋PN＝MN＝5－＝為最小值． 在－＝1中，令y＝3，x2＝12?x＝±2； 又∵x>0，∴取x

12、＝2. 即當(dāng)所求P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，3)時(shí)，PM＋PF取最小值. 18．(本小題滿分16分)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)N(－，1)在橢圓上，線段NF2與y軸的交點(diǎn)M滿足＋＝0. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面積． 解：(1)由已知，點(diǎn)N(－，1)在橢圓上， ∴有＋＝1，① 又∵＋＝0，M在y軸上，∴M為NF2的中點(diǎn)， ∴－＋c＝0，c＝.∴有a2－b2＝2，② 由①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，∴a2＝4，故所求橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)PF1＝m，PF2＝n， 則S△F1

13、PF2＝mnsin＝ mn. 由橢圓的定義知PF1＋PF2＝2a，即m＋n＝4.① 又由余弦定理得PF＋PF－2PF1·PF2cos＝F1F，即m2＋n2－mn＝(2)2.② 由①2－②，得mn＝，∴S△F1PF2＝. 19．(本小題滿分16分)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5.過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M. (1)求拋物線方程； (2)過M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)； (3)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)K(m,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線AK與圓M的位置關(guān)系．

14、 解：(1)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－， 于是4＋＝5，∴p＝2.∴拋物線方程為y2＝4x. (2)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,4)，由題意得B(0,4)，M(0,2)， 又∵F(1,0)，∴kFA＝；MN⊥FA，∴kMN＝－， 則FA的方程為y＝(x－1)， MN的方程為y－2＝－x. 解方程組，得， ∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，)． (3)由題意得，圓M的圓心是點(diǎn)(0,2)，半徑為2. 當(dāng)m＝4時(shí)，直線AK的方程為x＝4，此時(shí)，直線AK與圓M相離， 當(dāng)m≠4時(shí)，直線AK的方程為y＝(x－m)， 即為4x－(4－m)y－4m＝0， 圓心M(0,2)到直線AK的距離d＝， 令d

15、>2，解得m>1. ∴當(dāng)m>1時(shí)，直線AK與圓M相離； 當(dāng)m＝1時(shí)，直線AK與圓M相切； 當(dāng)m<1時(shí)，直線AK與圓M相交． 20. (本小題滿分16分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T(t，m)的直線TA、TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m＞0，y1＞0，y2＜0. (1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2－PB2＝4，求點(diǎn)P的軌跡； (2)設(shè)x1＝2，x2＝，求點(diǎn)T的坐標(biāo)； (3)設(shè)t＝9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))． 解：由題設(shè)得A(－3,0)，B(3,0)，F(xiàn)(2,0)．

16、 (1)如圖，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則PF2＝(x－2)2＋y2， PB2＝(x－3)2＋y2. 由PF2－PB2＝4，得(x－2)2＋y2－(x－3)2－y2＝4， 化簡(jiǎn)得x＝. 故所求點(diǎn)P的軌跡為直線x＝. (2)如圖，由x1＝2，＋＝1及y1＞0，得y1＝，則點(diǎn)M，從而直線AM的方程為y＝x＋1； 由x2＝，＋＝1及y2＜0，得y2＝－， 則點(diǎn)N， 從而直線BN的方程為y＝x－. 由解得 所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為. (3)證明：如圖，由題設(shè)知，直線AT的方程為y＝(x＋3)，直線BT的方程為y＝(x－3)． 點(diǎn)M(x1，y1)滿足得 ＝－·. 因?yàn)閤1≠－3，則 ＝－·，解得x1＝， 從而得y1＝. 點(diǎn)N(x2，y2)滿足 解得x2＝，y2＝. 若x1＝x2，則由＝及m＞0，得m＝2，此時(shí)直線MN的方程為x＝1，過點(diǎn)D(1,0)． 若x1≠x2，則m≠2，直線MD的斜率 kMD＝＝， 直線ND的斜率kND＝＝， 得kMD＝kND，所以直線MN過定點(diǎn)D. 因此直線MN必過x軸上的定點(diǎn)(1,0)．