2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 二 圓錐曲線的參數(shù)方程 1 橢圓的參數(shù)方程講義（含解析）新人教A版選修4-4

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 二 圓錐曲線的參數(shù)方程 1 橢圓的參數(shù)方程講義（含解析）新人教A版選修4-4 橢圓的參數(shù)方程 (1)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1(a>b>0)的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，規(guī)定參數(shù)φ的取值范圍是[0,2π)． (2)中心在(h，k)的橢圓普通方程為＋＝1，則其參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． 橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用：求最值 [例1]　已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))． (1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值． [

2、思路點(diǎn)撥]　(1)由橢圓的參數(shù)方程公式，求橢圓的參數(shù)方程，由換元法求直線的普通方程． (2)將橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)成參數(shù)方程的形式，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問題． [解]　(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos θ，3sin θ)到l的距離為d＝|4cos θ＋3sin θ－6|. 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|， 其中α為銳角，且tan α＝. 當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值， 最大值為. 當(dāng)sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為. 利用橢圓的參數(shù)方程，求目標(biāo)

3、函數(shù)的最大(小)值，通常是利用輔助角公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解． 1．已知橢圓＋＝1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)．在橢圓上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離最大． 解：橢圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 設(shè)P(5cos θ，4sin θ)，則 |PA|＝＝ ＝＝|3cos θ－5|≤8， 當(dāng)cos θ＝－1時，|PA|最大． 此時，sin θ＝0，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－5,0). 橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用：求軌跡方程 [例2]　已知A，B分別是橢圓＋＝1的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，動點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動，求△ABC的重心G的軌跡方程． [思路點(diǎn)撥]　由條件可知，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)已知，點(diǎn)C在橢圓上，故可設(shè)出

4、點(diǎn)P坐標(biāo)的橢圓參數(shù)方程形式，由三角形重心坐標(biāo)公式求解． [解]　由題意知A(6,0)、B(0,3)．由于動點(diǎn)C在橢圓上運(yùn)動，故可設(shè)動點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6cos θ，3sin θ)，點(diǎn)G的坐標(biāo)設(shè)為(x，y)，由三角形重心的坐標(biāo)公式可得 即 消去參數(shù)θ得△ABC的重心G的軌跡方程為＋(y－1)2＝1. 本題的解法體現(xiàn)了橢圓的參數(shù)方程對于解決相關(guān)問題的優(yōu)越性，運(yùn)用參數(shù)方程顯得很簡單，運(yùn)算更簡便． 2．已知橢圓方程是＋＝1，點(diǎn)A(6,6)，P是橢圓上一動點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)Q的軌跡方程． 解：設(shè)P(4cos θ，3sin θ)，Q(x，y)，則有 即(θ為參數(shù))， ∴9(x－3)

5、2＋16(y－3)2＝36即為所求． 3．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右兩個焦點(diǎn)． (1)若橢圓C上的點(diǎn)A到F1，F(xiàn)2的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)； (2)設(shè)點(diǎn)P是(1)中所得橢圓上的動點(diǎn)，求線段F1P的中點(diǎn)的軌跡方程． 解：(1)由橢圓上點(diǎn)A到F1，F(xiàn)2的距離之和是4，得2a＝4，即a＝2.又點(diǎn)A在橢圓上，因此＋＝1，得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1，所以橢圓C的方程為＋＝1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)． (2)設(shè)橢圓C上的動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cos θ，sin θ)，線段F1P的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則x＝，y＝，所以x＋

6、＝cos θ，＝sin θ.消去θ，得2＋＝1即為線段F1P中點(diǎn)的軌跡方程. 橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用：證明問題 [例3]　已知橢圓＋y2＝1上任一點(diǎn)M(除短軸端點(diǎn)外)與短軸兩端點(diǎn)B1，B2的連線分別交x軸于P，Q兩點(diǎn)，求證：|OP|·|OQ|為定值． [思路點(diǎn)撥]　利用參數(shù)方程，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并由此得到直線MB1，MB2的方程，從而得到P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出|OP|，|OQ|，再求|OP|·|OQ|的值． [證明]　設(shè)M(2cos φ，sin φ)，φ為參數(shù)， 因為B1(0，－1)，B2(0,1)， 則MB1的方程為y＋1＝·x， 令y＝0，則x＝，即|OP|＝. MB2的方程

7、為y－1＝x， 令y＝0，則x＝. ∴|OQ|＝. ∴|OP|·|OQ|＝·＝4. 即|OP|·|OQ|＝4為定值． 利用參數(shù)方程證明定值(或恒成立)問題，首先是用參數(shù)把要證明的定值(或恒成立的式子)表示出來，然后利用條件消去參數(shù)，得到一個與參數(shù)無關(guān)的定值即可． 4．求證：橢圓(a>b>0,0≤θ≤2π)上一點(diǎn)M與其左焦點(diǎn)F的距離的最大值為a＋c(其中c2＝a2－b2)． 證明：M，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(acos θ，bsin θ)，(－c,0)． |MF|2＝(acos θ＋c)2＋(bsin θ)2 ＝a2cos2θ＋2accos θ＋c2＋b2－b2cos2θ

8、＝c2cos2θ＋2accos θ＋a2 ＝(a＋ccos θ)2. ∴當(dāng)cos θ＝1時，|MF|2最大，|MF|最大，最大值為a＋c. 一、選擇題 1．橢圓(θ為參數(shù))，若θ∈[0,2π]，則橢圓上的點(diǎn)(－a,0)對應(yīng)的θ＝(　　) A．π　　　　　　　　　　 B. C．2π D.π 解析：選A　∵在點(diǎn)(－a,0)中，x＝－a，∴－a＝acos θ，∴cos θ＝－1，∴θ＝π. 2．參數(shù)方程(θ為參數(shù))和極坐標(biāo)方程ρ＝－6cos θ所表示的圖形分別是(　　) A．圓和直線 B．直線和直線 C．橢圓和直線 D．橢圓和圓 解析：選D　對于參數(shù)方程(θ為參數(shù))，

9、 利用同角三角函數(shù)關(guān)系消去θ化為普通方程為＋y2＝1，表示橢圓． ρ＝－6cos θ兩邊同乘ρ， 得ρ2＝－6ρcos θ， 化為普通方程為x2＋y2＝－6x， 即(x＋3)2＋y2＝9. 表示以(－3,0)為圓心，3為半徑的圓． 3．橢圓(θ為參數(shù))的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　) A．(－，0) B．(0，) C．(－5,0) D．(－4,0) 解析：選A　根據(jù)題意，橢圓的參數(shù)方程(θ為參數(shù))化成普通方程為＋＝1， 其中a＝4，b＝3，則c＝＝， 所以橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－，0)． 4．兩條曲線的參數(shù)方程分別是(θ為參數(shù))和(t為參數(shù))，則其交點(diǎn)個數(shù)為(　　) A．

10、0 B．1 C．0或1 D．2 解析：選B　由 得x＋y－1＝0(－1≤x≤0， 1≤y≤2)， 由得＋＝1.如圖所示，可知兩曲線交點(diǎn)有1個． 二、填空題 5．橢圓(θ為參數(shù))的離心率為________． 解析：由橢圓方程為＋＝1，可知a＝5，b＝4， ∴c＝＝3，∴e＝＝. 答案： 6．已知P為曲線C：(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OP的傾斜角為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________． 解析：曲線C的普通方程為＋＝1(0≤y≤4)，易知直線OP的斜率為1，其方程為y＝x， 聯(lián)立消去y，得x2＝， 故x＝，故y＝， 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 答案：

11、 7．已知橢圓的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，點(diǎn)M在橢圓上，對應(yīng)的參數(shù)φ＝，點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線OM的斜率為________． 解析：當(dāng)φ＝時，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)．所以直線OM的斜率為2. 答案：2 三、解答題 8．已知兩曲線的參數(shù)方程分別為(0≤θ<π)和(t∈R)，求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)． 解：將(0≤θ＜π)化為普通方程得： ＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－)， 將x＝t2，y＝t代入得，t4＋t2－1＝0，解得t2＝， ∴t＝，x＝t2＝×＝1， ∴兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為. 9．已知橢圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，求橢圓上一點(diǎn)P到直線(t為參數(shù))的最短距離． 解：設(shè)點(diǎn)P(3co

12、s θ，2sin θ)，直線可化為2x＋3y－10＝0，點(diǎn)P到直線的距離d＝＝.因為sin∈[－1,1]，所以d∈，所以點(diǎn)P到直線的最短距離dmin＝. 10．橢圓＋＝1(a＞b＞0)與x軸正半軸交于點(diǎn)A，若這個橢圓上總存在點(diǎn)P，使OP⊥AP(O為原點(diǎn))，求離心率e的取值范圍． 解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是(θ為參數(shù))(a＞b＞0)，則橢圓上的點(diǎn)P(acos θ，bsin θ)，A(a,0)． ∵OP⊥AP，∴·＝－1， 即(a2－b2)cos2θ－a2cos θ＋b2＝0. 解得cos θ＝或cos θ＝1(舍去)． ∵a＞b，－1≤cos θ≤1，∴0＜≤1. 把b2＝a2－c2代入得0＜≤1. 即0＜－1≤1，解得≤e＜1. 故橢圓的離心率e的取值范圍為.