江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 專題一 三角函數(shù)與平面向量 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質學案

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1、 第1講　三角函數(shù)的圖象與性質 [考情考向分析]　1.以圖象為載體，考查三角函數(shù)的最值、單調性、對稱性、周期性.2.考查三角函數(shù)式的化簡、三角函數(shù)的圖象和性質、角的求值，重點考查分析、處理問題的能力，是高考的必考點． 熱點一　三角函數(shù)的概念、誘導公式及同角關系式 例1　(1)已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的正半軸重合，若它的終邊經(jīng)過點P(2，1)，則tan＝________. 答案?。? 解析　由角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的正半軸重合，若它的終邊經(jīng)過點P(2,1)，可得x＝2，y＝1，tan α＝＝，∴tan 2α＝＝＝， ∴tan＝＝＝－7. (2)已知曲

2、線f(x)＝x3－2x2－x在點(1，f(1))處的切線的傾斜角為α，則cos2－2cos2α－3sin(2π－α)·cos(π＋α)的值為________． 答案　 解析　由f(x)＝x3－2x2－x可知f′(x)＝3x2－4x－1， ∴tan α＝f′(1)＝－2， cos2－2cos2α－3sincos ＝(－sin α)2－2cos2α－3sin αcos α ＝sin2α－2cos2α－3sin αcos α ＝＝ ＝＝. 思維升華　(1)涉及與圓及角有關的函數(shù)建模問題(如鐘表、摩天輪、水車等)，常常借助三角函數(shù)的定義求解．應用定義時，注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關

3、，與終邊上點的位置無關． (2)應用誘導公式時要弄清三角函數(shù)在各個象限內的符號；利用同角三角函數(shù)的關系進行化簡的過程要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等． 跟蹤演練1　(1)在平面直角坐標系中，若角α的終邊經(jīng)過點P，則sin(π＋α)＝________. 答案?。? 解析　由誘導公式可得， sin?＝sin＝－sin?＝－， cos?＝cos＝cos?＝， 即P， 由三角函數(shù)的定義可得， sin α＝＝， 則sin＝－sin α＝－. (2)已知sin(3π＋α)＝2sin，則＝________. 答案　－ 解析　∵sin(3π＋α)＝2sin，

4、 ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α， 則＝ ＝＝＝－. 熱點二　三角函數(shù)的圖象及應用 例2　(1)(2018·江蘇揚州中學模擬)函數(shù)y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ≤π)的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)y＝sin的圖象重合，則φ＝________. 答案　 解析　y＝cos(2x＋φ)的圖象向右平移個單位長度后， 得到y(tǒng)＝cos＝sin ∴sin＝sin， ∴－＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 又φ∈[－π，π]，∴φ＝. (2)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象

5、，若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域為[－1,2]，則θ＝________. 答案　 解析　由函數(shù)f(x)的圖象可知， A＝2，＝－＝，解得T＝π， 所以ω＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)， 當x＝時，f?＝2sin＝0， 又|φ|<π，解得φ＝－， 所以f(x)＝2sin， 因為函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象， 所以g(x)＝2sin＝2cos 2x， 若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域為[－1,2]， 則2cos 2θ＝－1， 則θ＝kπ＋，k∈Z，或θ＝kπ＋，k∈Z， 所以θ＝. 思維升華　(1)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(

6、A>0，ω>0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求A；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置． (2)在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換．變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度數(shù)和方向． 跟蹤演練2　(1)將函數(shù)y＝3sin的圖象向左平移個單位長度后，所在圖象對應的函數(shù)解析式為________________________． 答案　y＝3sin 解析　把函數(shù)y＝3sin的圖象向左平移個單位

7、長度， 所得圖象的解析式是y＝3sin ＝3sin. (2)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則ω＝________；函數(shù)f(x)在區(qū)間上的零點為________． 答案　2　 解析　從圖中可以發(fā)現(xiàn)，相鄰的兩個最高點和最低點的橫坐標分別為，－，從而求得函數(shù)的最小正周期為T＝2＝π，根據(jù)T＝可求得ω＝2.再結合題中的條件可以求得函數(shù)的解析式為f(x)＝2sin，令2x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，結合所給的區(qū)間，整理得出x＝. 熱點三　三角函數(shù)的性質 例3　已知函數(shù)f(x)＝4cos ωxsin(ω>0)的最小正周期是π. (1)求函數(shù)f(

8、x)在區(qū)間(0，π)上的單調遞增區(qū)間； (2)求f(x)在上的最大值和最小值． 解　(1)f(x)＝4cos ωxsin ＝4cos ωx ＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx＋1－1 ＝sin 2ωx－cos 2ωx－1 ＝2sin－1， 因為最小正周期是＝π，所以ω＝1， 從而f(x)＝2sin－1. 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 所以函數(shù)f(x)在(0，π)上的單調遞增區(qū)間為和. (2)當x∈時，2x－∈， 2sin∈， 所以f(x)在上的最大值和最小值分別為1，－1. 思維升華　函數(shù)y＝Asin(

9、ωx＋φ)的性質及應用類題目的求解思路 第一步：先借助三角恒等變換及相應三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式； 第二步：把“ωx＋φ”視為一個整體，借助復合函數(shù)性質求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的單調性及奇偶性、最值、對稱性等問題． 跟蹤演練3　(1)(2018·江蘇泰州中學調研)若函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象關于坐標原點對稱，且在y軸右側的第一個極值點為x＝，則f?＝________. 答案　 解析　由題意得f(x)為奇函數(shù)，∴φ＝0， 又f?＝±1，∴ω＝(ω>0)， ∴ω＝3，∴f?＝sin＝. (2)已知x∈，則函數(shù)f(x)＝－cos

10、2x－sin x·sin?＋cos2x＋的最小值為________． 答案　 解析　因為f(x)＝－cos 2x－sin xsin＋cos2x＋， 所以f(x)＝2sin2x－sin x＋cos2x＋ ＝sin2x－＋＝2＋1. 設t＝sin x，則y＝2＋1. 因為x∈，所以≤t≤1. 又函數(shù)y＝2＋1在上單調遞增， 所以當t＝時，y＝2＋1取得最小值， 且ymin＝2＋1＝， 即函數(shù)f(x)的最小值為. 1．(2018·全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2sin x＋sin 2x，則f(x)的最小值是________． 答案?。? 解析　f′(x)＝2cos x＋2co

11、s 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1) ＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)． ∵cos x＋1≥0， ∴當cos x<時，f′(x)<0，f(x)單調遞減； 當cos x>時，f′(x)>0，f(x)單調遞增， ∴當cos x＝時，f(x)有最小值． 又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)， ∴當sin x＝－時，f(x)有最小值， 即f(x)min＝2××＝－. 2．(2016·江蘇)定義在區(qū)間[0,3π]上的函數(shù)y＝sin 2x的圖象與y＝cos x的圖象的交點個數(shù)是__． 答案　7

12、解析　在區(qū)間[0,3π]上分別作出y＝sin 2x和y＝cos x的簡圖如下： 由圖象可得兩圖象有7個交點． 3．(2018·江蘇)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象關于直線x＝對稱，則φ的值為________． 答案?。? 解析　由題意得f?＝sin＝±1， ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z. ∵φ∈，∴取k＝0，得φ＝－. 4．(2018·全國Ⅲ)函數(shù)f(x)＝cos在[0，π]上的零點個數(shù)為______． 答案　3 解析　由題意可知，當3x＋＝kπ＋(k∈Z)時， f(x)＝cos＝0. ∵x∈[0，π]， ∴3x＋∈， ∴當3x＋的取值為，，時

13、，f(x)＝0， 即函數(shù)f(x)＝cos在[0，π]上的零點個數(shù)為3. 5．(2018·江蘇溧陽中學聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，f?＝－，則f(0)＝________. 答案　 解析　由題圖知＝－＝， ∴T＝，∴ω＝3. 又f?＝A，∴cos＝1， ∴＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－， ∴f?＝Acos＝－，∴A＝， ∴f(0)＝×cos＝×＝. 6．如圖，函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ) 與坐標軸的三個交點P，Q，R滿足P(2,0)，∠PQR＝，M為QR的中點，PM＝2，則A的值為________． 答案　 解析　由題意設

14、Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)． 則M，由兩點間距離公式，得 PM＝＝2， 解得a1＝8，a2＝－4(舍去)， 由此得＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝， 由P(2,0)及|φ|≤，得φ＝－， 代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)，得f(x)＝Asin， 從而f(0)＝Asin＝－8，得A＝. 7．(2018·江蘇海安高級中學模擬)若函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)在一個周期內的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點和最低點，橫坐標分別為1,7.記點P(2，f(2))，點Q(5，f(5))，則·的值為________． 答案?。? 解析　由題圖知T＝12，∴ω

15、＝， 又f(1)＝2，∴sin＝1， ∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z. 又|φ|<，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin， ∴f(2)＝，f(5)＝－1，∴P(2，)，Q(5，－1)， ∴·＝(1，－2)·(－2,1)＝－4. A組　專題通關 1．點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1逆時針方向運動弧長到達Q點，則點Q的坐標為________． 答案　 解析　設點Q的坐標為(x，y)， 則x＝cos＝－，y＝sin ＝. ∴點Q的坐標為. 2．已知tan α＝－2，且<α<π，則sin α＋cos α＝________. 答案　 解析　因為tan α＝－2，

16、且<α<π，sin2α＋cos2α＝1， 故sin α＝，cos α＝－， 所以sin α＋cos α＝－＝＝. 3．若函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期為π，則f?的值是________． 答案　 解析　∵T＝＝π，∴ω＝2， ∴f?＝sin＝sin ＝. 4．(2018·南通市通州區(qū)模擬)將函數(shù)f(x)＝2sin的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度，若所得到圖象關于原點對稱，則φ的最小值為________． 答案　 解析　因為函數(shù)f(x)＝2sin的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度得g(x)＝2sin， 所以2φ－＝kπ(k∈Z)，所以φ＝＋(k∈Z)， 因

17、為φ>0，所以φmin＝. 5.已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－2cos2＋1(ω>0)，將f(x)的圖象向右平移φ個單位長度，所得函數(shù)g(x)的部分圖象如圖所示，則φ的值為________． 答案　 解析　∵f(x)＝sin ωx－2cos2＋1 ＝sin ωx－cos ωx＝2sin， 則g(x)＝2sin＝2sin. 由題圖知T＝2＝π， ∴ω＝2，g(x)＝2sin， 則g＝2sin＝2sin＝2， 即－2φ＝＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝－kπ，k∈Z. 又0<φ<， ∴φ的值為. 6．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，f(x1)＝2，f(x2)＝0，

18、若|x1－x2|的最小值為，且f?＝1，則f(x)的單調遞增區(qū)間為________________． 答案　，k∈Z 解析　由f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值為， 可知＝，∴T＝2，∴ω＝π， 又f?＝1，則φ＝±＋2kπ，k∈Z， ∵0<φ<，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin. 令－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z. 故f(x)的單調遞增區(qū)間為，k∈Z. 7．(2017·全國Ⅲ改編)設函數(shù)f(x)＝cos，則下列結論正確的是________．(填序號) ①f(x)的一個周期為－2π； ②y＝f(x)的圖象關于直

19、線x＝對稱； ③f(x＋π)的一個零點為x＝； ④f(x)在上單調遞減． 答案　①②③ 解析　因為f(x)＝cos的周期為2kπ(k∈Z)， 所以f(x)的一個周期為－2π，①正確； 因為f(x)＝cos圖象的對稱軸為直線x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱，②正確； f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)， 得x＝kπ－，當k＝1時，x＝， 所以f(x＋π)的一個零點為x＝，③正確； 因為f(x)＝cos的單調減區(qū)間為(k∈Z)， 單調增區(qū)間為(k∈Z)， 所以f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，④錯誤． 8．設函數(shù)f(x)(x∈R)

20、滿足f(x－π)＝f(x)－sin x，當－π

21、－4,5] 解析　f(x)＝1＋4cos x－4sin2x ＝1＋4cos x－4(1－cos2x) ＝4cos2x＋4cos x－3 ＝42－4， 因為x∈， 所以cos x∈，所以42－4∈[－4,5]， 故函數(shù)的值域為[－4,5]． 10．已知向量m＝(sin ωx,1)，n＝(cos ωx，cos2ωx＋1)，設函數(shù)f(x)＝m·n＋b. (1)若函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝對稱，且當ω∈[0,3]時，求函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間； (2)在(1)的條件下，當x∈時，函數(shù)f(x)有且只有一個零點，求實數(shù)b的取值范圍． 解　m＝(sin ωx,1)，n＝(cos ω

22、x，cos2ωx＋1)， f(x)＝m·n＋b＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋1＋b ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＋b ＝sin＋＋b. (1)∵函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝對稱， ∴2ω·＋＝kπ＋(k∈Z)， 解得ω＝3k＋1(k∈Z)，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1， ∴f(x)＝sin＋＋b， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(k∈Z)． (2)由(1)知，f(x)＝sin＋＋b， ∵x∈，∴2x＋∈， ∴當2x＋∈，即x∈時，函數(shù)f(x)單調遞增； 當2x＋∈，即x∈時

23、，函數(shù)f(x)單調遞減． 又f(0)＝f?， ∴當f?>0≥f?或f?＝0時，函數(shù)f(x)有且只有一個零點， 即sin≤－b－

24、n cos －＝cos α－sin α ＝cos＝cos＝sin θ＝. 12．函數(shù)y＝2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之差為________． 答案　2＋ 解析　因為0≤x≤9，所以－≤－≤， 因此當－＝時， 函數(shù)y＝2sin取得最大值，即ymax＝2×1＝2. 當－＝－時，函數(shù)y＝2sin取得最小值，即ymin＝2sin＝－， 因此y＝2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之差為2＋. 13．已知函數(shù)f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的圖象的對稱中心完全相同，若x∈，則f(x)的取值范圍是________． 答案　 解析　由兩個三角函數(shù)圖象的對稱中心完全相同可知，兩函數(shù)的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin， 那么當x∈時，－≤2x－≤， 所以－≤sin≤1，故f(x)∈. 14．(2018·株洲質檢)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，其圖象與直線y＝3相鄰兩個交點的距離為π，若f(x)>2對?x∈恒成立，則φ的取值范圍是________． 答案　 解析　因為函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，其圖象與直線y＝3相鄰兩個交點的距離為π， 所以函數(shù)周期為T＝π，ω＝2， 當x∈時，2x＋φ∈， 且|φ|≤， 由f(x)>2知，sin(2x＋φ)>， 所以解得≤φ≤. 18