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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第1講 坐標系單元檢測 北師大版選修4-4
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.原點與極點重合,x軸正半軸與極軸重合,則點(-5,)的極坐標是( ).
A. B.
C. D.
2.已知點P的柱坐標為,則它的直角坐標為( ).
A.(,1,1)
B.(1,1,1)
C.(,,1)
D.(1,0,1)
3.設(shè)點P的直角坐標為(4,4,),則它的球坐標為( ).
A. B.
C. D.
4.極坐標方程(ρ≥0)
2、的直角坐標方程是( ).
A.y=x B.y=-x
C.y=-x(x≤0) D.y=x(x≥0)
5.曲線的極坐標方程為ρ=4cos θ,化成直角坐標方程為( ).
A.x2+(y+2)2=4
B.x2+(y-2)2=4
C.(x-2)2+y2=4
D.(x+2)2+y2=4
6.圓ρ=(cos θ+sin θ)的圓心的極坐標是( ).
A. B.
C. D.
7.已知點P的極坐標為(1,π),則過點P且垂直極軸的直線方程是( ).
A.ρ=1 B.ρ=cos θ
C. D
3、.
8.在極坐標系中,與圓ρ=4sin θ相切的一條直線方程為( ).
A.ρsin θ=2 B.ρcos θ=2
C.ρcos θ=4 D.ρcos θ=-4
9.將極坐標方程ρ=cos θ-2sin θ化為直角坐標方程為( ).
A.x2+y2-x+2y=0
B.x2+y2+x-2y=0
C.x2+y2-2x+y=0
D.x2+y2+2x-y=0
10.在極坐標系中,設(shè)圓ρ=3上的點到直線ρ(cos θ+sin θ)=2的距離為d,則d的最大值為( ).
A.5 B.6
C.4 D.3
二、填空題(本大題
4、共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中的橫線上)
11.從極點作圓ρ′=2asin θ′的弦,則各條弦中點的軌跡方程為__________.
12.極坐標方程分別為ρ=2cos θ和ρ=sin θ的兩個圓的圓心距為__________.
13.已知曲線C1,C2的極坐標方程分別為ρcos θ=3,ρ=4cos θ,則曲線C1與C2交點的極坐標為________.
14.在平面直角坐標系中,已知點A(3,0),P是圓O:x2+y2=1上的一個動點,且∠AOP的平分線交PA于Q點,則Q點的軌跡的極坐標方程是________.
15.若曲線的極坐標方程為ρ=tan θ·,則該曲線的
5、直角坐標方程為__________.
三、解答題(本大題共2小題,共25分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
16.(10分)在下列平面直角坐標系中,分別作出x2+y2=49的圖形:
(1)x軸與y軸具有相同的單位長度;
(2)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的2倍;
(3)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的.
17.(15分)在平面直角坐標系xOy中,以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為,M,N分別為曲線C與x軸、y軸的交點.
(1)寫出曲線C的直角坐標方程,并求M,N的極坐標;
(2)設(shè)M,N的中點為P,求直線OP的極坐標方程.
參
6、考答案
1.答案:B 利用轉(zhuǎn)化公式,代入求值即可.
設(shè)點(-5,)的極坐標為(ρ,θ),則tan θ=,x<0,∴最小正角,ρ==10.
2.答案:B 設(shè)點P的直角坐標為(x,y,z).
則有x=rcos θ==1,y=rsin θ==1,z=1.
∴點P的直角坐標為(1,1,1).
3.答案:A 設(shè)點P的球坐標為(r,φ,θ),
則r==8,tan θ==1.
又∵x>0,∴.
∵=8·cos φ,∴cos φ=.
∵0≤φ≤π,∴.
∴點P的球坐標為.
4.答案:C tan θ==-1,∴y=-x(x≤0).
5.答案:C 由直角坐標和極坐標的互化公式x=ρcos
7、 θ,y=ρsin θ,即ρ2=x2+y2,tan θ=(x≠0)可得x2+y2=4x,整理得(x-2)2+y2=4.
6.答案:A 將圓的方程化為的形式,可得圓心的極坐標為.
7.答案:C 由點P的坐標可知,過點P且垂直于極軸的直線的直角坐標方程為x=-1,化為極坐標方程為ρcos θ=-1,故選C.
8.答案:B 如圖,⊙C的極坐標方程為ρ=4sin θ,CO⊥Ox,OA為直徑,|OA|=4.ρsin θ=2表示直線y=2,ρcos θ=4表示直線x=4,ρcos θ=-4表示直線x=-4,均不與圓相切,故排除選項A,C,D.
9.答案:A ∵ρ=cos θ-2sin θ,
8、∴ρ2=ρcos θ-2ρsin θ,
∴x2+y2=x-2y,∴x2+y2-x+2y=0.
10.答案:.C 極坐標方程ρ=3轉(zhuǎn)化成直角坐標方程為x2+y2=9,所以圓心為(0,0),半徑為3,ρ(cos θ+)=2轉(zhuǎn)化成直角坐標方程為x+=2.則圓心到直線x+=2的距離d′==1.
∴圓上的點到直線的最大距離為d′+3=1+3=4.
11.答案:ρ=asin θ 設(shè)任意一條弦的中點的極坐標為(ρ,θ),則點(2ρ,θ)在圓ρ′=2asin θ′上,∴2ρ=2asin θ,即ρ=asin θ.
12.答案: 由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,化為直角坐標方程為(x-1)2
9、+y2=1.
由ρ=sin θ,得ρ2=ρsin θ,化為直角坐標方程為x2+=1.
所以兩個圓的圓心分別為(1,0)和,
故d=.
13.答案: 由得4cos2θ=3.
∴2(1+cos 2θ)=3,cos 2θ=.
又0≤2θ<π,∴.故,
∴曲線C1與C2的交點的極坐標為.
14.答案: 如圖,以圓心O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設(shè)Q(ρ,θ),P(1,2θ).
因為S△OAQ+S△OQP=S△OAP,
所以·3ρ·sin θ+ρ·sin θ=×3×1×sin 2θ.整理得.
15.答案:x2=y(tǒng) 由ρ=tan θ·,得ρcos2θ=sin θ,
∴
10、ρ2cos2θ=ρsin θ,化為直角坐標方程為x2=y(tǒng).
16.答案:解:(1)建立平面直角坐標系,使x軸與y軸具有相同的單位長度,則x2+y2=49的圖形如下:
(2)如果x軸上的單位長度保持不變,y軸上的單位長度縮小為原來的,則x2+y2=49的圖形如下:
(3)如果y軸上的單位長度保持不變,x軸上的單位長度縮小為原來的,則x2+y2=49的圖形如下:
17.答案:解:(1)由,
得ρcos θ+ρsin θ=1,
∴曲線C的直角坐標方程為,
即x+-2=0.
當θ=0時,ρ=2,∴點M的極坐標為(2,0);
當時,,
∴點N的極坐標為.
(2)由(1)得,點M的直角坐標為(2,0),點N的直角坐標為,∴點P的直角坐標為,
則點P的極坐標為,直線OP的極坐標方程為,ρ∈R.