2022年高考數學第二輪復習 數列教學案

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1、2022年高考數學第二輪復習 數列教學案 考綱指要： 數列綜合及實際問題在高考中占有重要的地位，通常以數列為工具，綜合運用函數、方程、不等式等知識，通過運用逆推思想、函數與方程、歸納與猜想、等價轉化、分類討論等各種數學思想方法，這些題目都考察考生靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力， 考點掃描： 1．等差數列定義、通項公式、前n項和公式。 2．等比數列定義、通項公式、前n項和公式。 3．數列求通項的常用方法如： ①作新數列法；②累差疊加法；③歸納、猜想法；而 對于遞歸數列，則常用①歸納、猜想、數學歸納法證明；②迭代法；③代換法。包括代數代換，對數代數，三角代數。 4．數

2、列求和常用方法如：①公式法；②裂項求和；③錯項相消法；④并項求和。 考題先知： 例1. 已知， ①求函數的表達式； ②定義數列,求數列的通項； ③求證：對任意的有 解：①由，所以 ② ③ 不等式等價于 因為 O y Pn dn x Fn O G

3、n 例2．如圖，已知一類橢圓： ，若橢圓Cn上有一點Pn到右準線的距離是與的等差中項，其中Fn、Gn分別是橢圓的左、右焦點。 （1）試證：； （2）取，并用Sn表示的面積，試證：且。 證明：（1）由題設與橢圓的幾何性質得：2=+=2，故=1， 設，則右準線的方程為：，從而由得 ，即，有； （2）設點，則由=1得， 從而， 所以=， 因函數中，由得 所以Sn在區(qū)間上是增函數，在區(qū)間（）上是減函數， 由，可得，知是遞增數列， 而，故可證且。 評注：這是一道較為綜合的數列與解析幾何結合的題目，涉及到的知識較多，有橢圓的相關知識，列不等式與解不等式，構造函

4、數，利用導數證明其單調性等，這也表明數列只是一個特殊函數的本原問題，提示了數列問題的函數思想方法。 復習智略： 例3　已知二次函數y=f(x)在x=處取得最小值－ (t＞0),f(1)=0 (1)求y=f(x)的表達式； (2)若任意實數x都滿足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］為多項式，n∈N*),試用t表示an和bn； (3)設圓Cn的方程為(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各項都是正數的等比數列，記Sn為前n個圓的面積之和，求rn、Sn 解 (1)設f(x)=a(x－)2

5、－，由f(1)=0得a=1 ∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1 (2)將f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得 (x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1， 上式對任意的x∈R都成立， 取x=1和x=t+1分別代入上式得 且t≠0， 解得an=［(t+1)n+1－1］，bn=［1－(t+1n) (3)由于圓的方程為(x－an)2+(y－bn)2=rn2， 又由(2)知an+bn=1，故圓Cn的圓心On在直線x+y=1上， 又圓Cn與圓Cn+1相切，故有rn+rn+1=｜an+1－an｜=(t+1)n+1 設{rn}的公比為

6、q，則 ②÷①得q==t+1，代入①得rn= ∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=［(t+1)2n－1］ 檢測評估： 1． 動點的橫坐標、縱坐標使、、成等差數列，則點的軌跡圖形是（?。? 1．解：由條件得，即，又，所以化為，故選C。 2、各項都是正數的等比數列{}的公比q≠1，且，，成等差數列，則的值為（　） 　　A 　　　　B 　　C 　　D 或 3．給定正整數（）按右圖方式構成三角形數表：第一行依次寫上數，在下面一行的每相鄰兩個數的正中間上方寫上這兩個數之和，得到上面一行的數（比下一行少一個數

7、），依次類推，最后一行（第行）只有一個數．例如時數表如圖所示，則當時最后一行的數是（　?。? A． B． C． D． 4．設等比數列{an}的各項均為正數，項數是偶數，它的所有項的和等于偶數項和的4倍，且第二項與第四項的積是第3項與第4項和的9倍，則數列{lgan}的前幾項和最大 （ ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知f （x）＝x＋1，g （x）＝2x＋1，數列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝則數列{an}的前xx項的和為 A．5×2xx－xx B．3×2xx－5020 C．6×2xx－5020 D．6×21003－50

8、20 6.在直角坐標系中，O是坐標原點，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的兩個點，若1，x1，x2，4依次成等差數列，而1，y1，y2，8依次成等比數列，則△OP1P2的面積是_________ 7 已知a,b,a+b成等差數列，a,b,ab成等比數列，且0

9、等差數列，且滿足及．若定義，給出下列命題：①是一個等比數列；②；③；④；⑤．其中正確的命題序號為 ． 11、隨著國家政策對節(jié)能環(huán)保型小排量車的調整，兩款1.1升排量的Q型車、R型車的銷量引起市場的關注。已知xx年1月Q型車的銷量為輛，通過分析預測，若以xx年1月為第1月，其后兩年內Q型車每月的銷量都將以1%的比率增長，而R型車前個月的銷售總量大致滿足關系式：. （1）求Q型車前個月的銷售總量的表達式； （2）比較兩款車前個月的銷售總量與的大小關系； （3）試問到xx年底是否會出現兩種車型中一種車型的月銷售量小于另一種車型月銷售量的20%，并說明理

10、由. 12．已知，若數列{an} 成等差數列. （1）求{an}的通項an; （2）設 若{bn}的前n項和是Sn，且 點撥與全解： 1．解：由條件得，即，又，所以化為，故選C。 2.解：設公比為由，從而（負值舍去），故選B。 3.解：設第行的數為，則，從而，即數列是以為首項，為公差的等差數列，得， 所以，故選A。 4.設公比為q,項數為2m,m∈N*,依題意有 化簡得 設數列{lgan}前n項和為Sn,則 Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1) =nlga1+n(n－1)·lgq=n(2

11、lg2+lg3)－n(n－1)lg3 =(－)·n2+(2lg2+lg3)·n 可見，當n=時，Sn最大 而=5,故{lgan}的前5項和最大，故選B 5.解：∵a2n＋2＝a2n＋1＋1＝（2a2n＋1）＋1＝2a2n＋2，∴a2n＋2＋2＝＝2（a2n＋2）， ∴數列{a2n＋2}是以2為公比、以a2＝a1＋1＝2為首項的等比數列． ∴a2n＋2＝2×2 n－1，∴a2n＝2 n－2． 又a2n＋a2n＋1＝ a2n＋2a2n＋1＝3a2n＋1，∴數列{an}的前xx項的和為 a1＋（ a2＋ a3）＋ （ a4＋ a5）＋ （ a6＋ a7）＋ …＋ （ axx＋

12、axx） ＝ a1＋（3a2＋1）＋ （3a4＋1）＋ （3a6＋1）＋ …＋ （3axx＋1） ＝ 1＋（3×2－5）＋ （3×22－5）＋ （3×23－5）＋ …＋ （3×21003－5） ＝ 1＋（3×2－5）＋ （3×22－5）＋ （3×23－5）＋ …＋ （3×21003－5） ＝ 3×（2＋22＋23＋…＋21003＋1－5×1003 ＝6×（21003－1）＋1－5×1003＝6×21003－ 5020 ，故選D． 6.解:由1,x1,x2,4依次成等差數列得 2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3 又由1，y1,y2,8依次成等比數列，得y1

13、2=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4, ∴P1(2,2),P2(3,4) ∴=(3,4) ∴ 7．解：由得，原不等式化為， m (－∞,8)。 8.解：作方程當時， 數列是以為公比的等比數列.于是 9．利用等比數列的求和公式可知： 10．可證①②③⑤正確。 11.解：（1）Q型車每月的銷售量是以首項，公比的等比數列， ∴前個月的銷售總量，（，且）. （2）∵ ，又，，∴. （3）記Q、R兩款車第個月的月銷售量分別為和，則， 當時， ，顯然 當時，若，， ，， ，即從第10個月開始，Q型車的月銷售量小于R型車月銷售量的20%。（不可能） 12．解：設2，f(a1), f(a2), f(a3),……，f(an),2n+4的公差為d，則2n+4=2+(n+2－1)dd=2, （2），